Discrete Math Lecture 10: Graphs

Slides:



Advertisements
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
ความคิดเห็นของประชาชนที่มีต่อ พ.ร.บ.ข้อมูลข่าวสารของราชการ พ.ศ. 2548
Advertisements

คณิตคิดเร็วโดยใช้นิ้วมือ
ที่ โรงเรียน เฉลี่ย 1 บ้านหนองหว้า บ้านสะเดาหวาน
แบบรูปและความสัมพันธ์
Profi le Prod uct Depl oy Outp ut VISION MISSION - สร้างความรู้ - วิจัย - บริการ - สร้างบัณฑิต นโยบาย - บริหาร 13 ข้อ - การเรียนการ สอน 3 ข้อ - พัฒนานักศึกษา.
ยินดีต้อน เข้าสู่ โครงงาน.
ความน่าจะเป็น Probability.
พลังงานในกระบวนการทางความร้อน : กฎข้อที่หนึ่งของอุณหพลศาสตร์
การซ้อนทับกัน และคลื่นนิ่ง
มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารี
นายรังสฤษดิ์ตั้งคณารหัส นายวสันต์ชานุชิตรหัส
นวัตกรรมน่ารู้ นางสาวสินีนาฎ อุ่นใจเพื่อน
มิติที่ 1 มิติด้านประสิทธิผลตามแผนปฏิบัติราชการ
เปรียบเทียบจำนวนประชากรทั้งหมดจากฐาน DBPop Original กับจำนวนประชากรทั้งหมดที่จังหวัดถือเป็นเป้าหมาย จำนวน (คน) 98.08% % จังหวัด.
ผู้จัดทำ 1.นายกิตติพงศ์ ทีภูเวียง เลขที่ 1
การเลื่อนเงินเดือนข้าราชการ
สำเร็จการศึกษาในเวลา 4 ปี
จำนวนนับใดๆ ที่หารจำนวนนับที่กำหนดให้ได้ลงตัว เรียกว่า ตัวประกอบของจำนวนนับ จำนวนนับ สามารถเรียกอีกอย่างว่า จำนวนเต็มบวก หรือจำนวนธรรมชาติ ซึ่งเราสามารถนำจำนวนนับเหล่านี้มา.
1 2 ตามลักษณะ เศรษฐกิจ งบประมา ณ ตาม พ. ร. บ. ( ล้าน บาท ) ได้รับ จัดสรร ( ล้าน บาท ) เบิกจ่าย ร้อย ละ / งบ จัดสร ร สำนัก ชลประทานที่ 13 1,164,64 0,305.
การขอเบิกเงินนอกงบประมาณ
ตารางเปรียบเทียบ ปริมาณน้ำฝน - ปริมาณน้ำท่า กลุ่มลุ่มน้ำสาขาแม่น้ำโขง
เป้าเบิกจ่าย งบรวม เป้าเบิกจ่าย งบลงทุน งบรวม เบิกจ่าย.
MAT 231: คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง (4) ความสัมพันธ์ (Relations)
จำนวนทั้งหมด ( Whole Numbers )
เรื่อง ความรู้เกี่ยวกับการจัดเก็บภาษีสุรา
การดำเนินงานอาชีวเวชศาสตร์: แพทย์ที่ผ่านการอบรม
การประเมินผลผลลัพธ์การดำเนินงาน ที่สำคัญ ( พ. ศ. ๒๕๕๓ ) ๑. ความพึงพอใจของประชาชนต่อคุณภาพ การให้บริการของหน่วยงานระดับ Front Office ( ๓. ๑. ๑. ๑ ) ๒. ความพึงพอใจของประชาชนต่อการ.
Office of information technology
ความคิดเห็นของประชาชนเกี่ยวกับ กองทุนหมู่บ้านและชุมชนเมือง
สำนักงานสถิติแห่งชาติ กระทรวงเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร
ความคิดเห็นของประชาชนเกี่ยวกับผู้มีอิทธิพล
สรุปผลการสำรวจ ความคิดเห็นของประชาชนที่มีต่อ
สรุปผลการสำรวจ ความต้องการของประชาชนเกี่ยวกับ
สรุปผลการสำรวจ ความคิดเห็นของประชาชนเกี่ยวกับ กองทุนหมู่บ้านและชุมชนเมือง พ.ศ สำนักงานสถิติแห่งชาติกระทรวงเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร สิงหาคม.
ข้อมูลเศรษฐกิจการค้า
งานอนามัยแม่และเด็ก ปี 2551
การเลื่อนเงินเดือนในระบบใหม่
การใช้จ่ายเงินงบประมาณประจำปี พ. ศ.2553 สำนักงานการปฏิรูปที่ดินเพื่อเกษตรกรรม สำนักบริหารกลาง 11 สิงหาคม 2553 ณ วันที่ 11 สิงหาคม
สำนักวิชาการและแผนงาน
ความก้าวหน้าระดับความสำเร็จ การปฏิบัติราชการของปฏิรูปที่ดิน จังหวัด 5 ครั้ง ณ 30 มิถุนายน 2555 สำนักวิชาการและ แผนงาน.
ความก้าวหน้าระดับความสำเร็จ การปฏิบัติราชการของปฏิรูปที่ดิน จังหวัด 5 ครั้ง ณ 31 พฤษภาคม 2555.
ความก้าวหน้าระดับความสำเร็จ การปฏิบัติราชการของปฏิรูปที่ดิน จังหวัด 5 ครั้ง ณ 15 มิถุนายน 2555.
พระราชบัญญัติ คุ้มครองแรงงาน (ฉบับที่ 4) พ. ศ
การดำเนินงานตามแผนปฏิบัติการ โครงการที่ได้รับ
การดำเนินงานตามแผนปฏิบัติการ โครงการที่ได้รับ
การดำเนินงานตามแผนปฏิบัติการ โครงการที่ได้รับ
ภาพรวมเศรษฐกิจไทยล่าสุด (ณ เดือนตุลาคม) และแนวโน้มไตรมาส 3/50 และ 4/50
การเข้า E-Conference จากทุกหน่วยงานประชุมศูนย์ ปฏิบัติการการเงินการคลัง กลุ่มประกันสุขภาพ 2554.
สรุปผลการดำเนินงาน (เบื้องต้น) ม. ค. - มิ. ย ของ อ. อ. ป
ความคิดเห็นของประชาชนเกี่ยวกับเกมออนไลน์ ในเขตกรุงเทพมหานคร
โรคทางระบาดวิทยาที่มีอัตราป่วยสูง 10 ลำดับแรกของจังหวัดเลย สะสมตั้งแต่วันที่ 1 มกราคม – 29 เมษายน 2555.
ผลการทดสอบทางการศึกษา ระดับชาติขั้นพื้นฐาน ( O-NET) ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ผู้จัดทำ นางสาวภัทศิรา ภูมิเมือง เลขที่ 16 นางสาวสุพัชรญา มะโนรา เลขที่
สรุปสถิติ ค่ากลาง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เรียงข้อมูล ตำแหน่งกลาง มัธยฐาน
สถานการณ์ โรคเฝ้าระวังทางระบาดวิทยา ธันวาคม 2553 งานระบาดวิทยา งานระบาดวิทยา สำนักงานสาธารณสุขอำเภอเมืองลำปาง.
สรุปผลสัมฤทธิ์ปีการศึกษา 2552 ชั้ น จำนว นสาระการเรียนรู้ นักเรี ยนทค ค. เพิ่มวสพ.พ. ศ.ศ. ดน ตรีง.ง. คอ ม. อ อ. เพิ่ม ป.1ป
ขั้นตอนการจัดนักศึกษาเข้าสังกัดสาขาวิชา
สรุปผลการสำรวจ ความคิดเห็นของประชาชนเกี่ยวกับ การป้องกันและปราบปรามยาเสพติด (ก่อนและหลัง การประกาศสงครามขั้นแตกหักเพื่อเอาชนะยาเสพติด) พ.ศ สำนักงานสถิติแห่งชาติ
ผลการทดสอบทางการศึกษาระดับชาติขั้นพื้นฐาน
สรุปผลการสำรวจ ความคิดเห็นของประชาชน
การค้นในปริภูมิสถานะ
สถานการณ์ โรคเฝ้าระวังทางระบาดวิทยา กุมภาพันธ์ 2554 งานระบาดวิทยา งานระบาดวิทยา สำนักงานสาธารณสุขอำเภอเมืองลำปาง.
แผนที่บ้านหนองสำโรง หมู่ 8 ตำบลโคกนาโก
สถานการณ์ โรคเฝ้าระวังทางระบาดวิทยา มิถุนายน 2554 งานระบาดวิทยา งานระบาดวิทยา สำนักงานสาธารณสุขอำเภอเมืองลำปาง.
กราฟเบื้องต้น.
สถานการณ์ โรคเฝ้าระวังทางระบาดวิทยา ตุลาคม 2553 งานระบาดวิทยา งานระบาดวิทยา สำนักงานสาธารณสุขอำเภอเมืองลำปาง.
กราฟเบื้องต้น.
กรมสนับสนุนบริการสุขภาพ กระทรวงสาธารณสุข
ผลการประเมิน คุณภาพการศึกษาขั้นพื้นฐาน ปีการศึกษา
คณิตศาสตร์ (ค33101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 หน่วยการเรียนที่ 7
แผนภูมิแสดงแผนและผลการใช้จ่ายงบประมาณปี 2549 การใช้ จ่าย ( สะสม ) ต.ค.ต.ค. พ.ย.พ.ย. ธ.ค.ธ.ค. ม.ค.ม.ค. ก.พ.ก.พ. มี. ค. เม. ย. พ.ค.พ.ค. มิ. ย. ก.ค. ก.ค.
ใบสำเนางานนำเสนอ:

461191 Discrete Math Lecture 10: Graphs San Ratanasanya CS, KMUTNB Adapted from Dr. Goanchanart, RSU and Assist. Prof. Suksomboon, LPRU

Today’s topics Review of Relations Administrivia Graphs 9.1 – 9.5 9.6 – 9.8 2

Relations Relations (ความสัมพันธ์) แสดงถึงโครงสร้าง หรือความสัมพันธ์ของสมาชิกใน set ซึ่งเราสามารถนำความสัมพันธ์นี้ไปใช้แก้ปัญหาในหลายๆเรื่องได้ เช่น การออกแบบฐานข้อมูล การออกแบบและวางเครือข่ายคอมพิวเตอร์ เป็นต้น คุณสมบัติที่น่าสนใจของ Relations เช่น Reflexive Symmtric Antisymmetric Transitiveคำว่า Relation โดยทั่วไปจะหมายถึง Binary Relation เราใช้สัญลักษณ์ a R b แทน relation R จาก a ไป b และ a R b หมายถึง a และ b ไม่มี relation R ต่อกัน เราสามารถแสดงใช้ Matrix หรือ DiGraph ความสัมพันธ์ได้ Matrix และ DiGraph สามารถบอกถึงคุณสมบัติที่มีอยู่ในความสัมพันธ์นั้นได้ / 3

Examples Relation บน {1,2,3,4} ใดต่อไปนี้ เป็น reflexive, symmetric, antisymmetric, และ transitive ตามลำดับ ? R1 = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4) } R2 = { (1,1), (1,2), (2,1) } R3 = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4) } R4 = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) } R5 = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4) } R6 = { (3,4) } Reflexive: R3, R5 Symmetric: R2, R3 Antisymmetric: R4, R5, R6 Transitive: R4, R5, R6 4

Examples ให้ A = {1,2,3} และ B = {1,2,3,4} และมี Relation R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)} และ R2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)} จงหา R1  R2 R1  R2 R1 - R2 R2 – R1 จงหา Composite ของ R และ S โดยที่ R เป็น relation จาก {1,2,3} ไปยัง {1,2,3,4} โดยที่ R = {(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)} และ S เป็น relation จาก {1,2,3,4} ไปยัง {0,1,2} โดยที่ S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1)} S○R = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)} {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)} {(1,1)} {(2,2), (3,3)} {(1,2), (1,3), (1,4)} 5

Examples ให้ Relation R บน Set แสดงด้วย Matrix ข้างล่าง จงหาว่า Rเป็น Reflexive, Symmetric และ/หรือ Antisymmetric R จะเป็น Reflexive และ Symmetric แต่ไม่เป็น Antisymmetric

Example จงหาว่า Relation ที่แสดงด้วย Directed Graph ดังรูปข้างล่างเป็น Reflexive, Symmetric, Antisymmetric และ/หรือ Transitive Symmetric

Warshall’s Algorithm

Equivalence Relations R ต้องมีคุณสมับติ Reflexsive, Symmetric, Transitive แบ่ง set ออกเป็นส่วนๆ (Partition) โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้รายละเอียดปลีกย่อยของสมาชิกในส่วนนั้นๆ ใช้เป็นตัวแทน (Representative) คุณสมบัติของสมาชิกของส่วนที่แบ่งแล้วได้

Examples จงหา Equivalence Class ของ 0 และ 1 สำหรับ congruence modulo 4 [0] = {…, -8, -4, 0, 4, 8, …} [1] = {…, -7, -3, 1, 5, 9, …}

Partial Ordering R ที่มีคุณสมบัติ Reflexive, Anti-symmetric, Transitive POSET = Partially Ordered Set หรือ (S, R) เช่น (Z, >) หมายถึง ในเซต Z ความสัมพันธ์ > มีลักษณะเป็น Partial Ordered หรือ > บน Z เป็น POSET นั่นเอง POSET สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ Graph ได้ หรือจะใช้ Hasse diagram ก็ได้ Topological Sorting เปรียบเสมือนการหา POSET

Examples

Administrivia Midterm Exam Statistic Summary: n = 109 Max: 15.3 Mean: 6.8 Min: 1 Standard Deviation: 3.00 HW 7 and 8, and Programming Assignment 2 due today Final Exam (comprehensive) is in 1 month. Be prepared! 17

Graph กราฟเป็นโครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่อง(Discrete Structure) ที่ประกอบด้วยส่วนของ Vertices และส่วนของ Edges ที่เชื่อมต่อระหว่าง Vertices โดยที่เราสามารถแบ่งกราฟได้เป็นหลายชนิดตามแต่ลักษณะการเชื่อมต่อของ Edge Edge 2 edge ใดๆ ที่เชื่อมคู่ของ 2 Vertices เดียวกันไม่สามารถทับกันได้ ถ้าเรามี Vertices จำนวนนับไม่ถ้วน (Infinite) เราจะพูดได้ว่าเรามี Infinite Graph ถ้าเรามี Vertices จำนวนจำกัด (Finite) เราจะพูดได้ว่าเรามี Finite Graph ในบทนี้เราจะศึกษาเฉพาะ Finite Graph

Types of Graph

Types of Graph

Types of Graph

Types of Graph

Types of Graph

Multiple Edges Allowed? Summary Type Edges Multiple Edges Allowed? Loops Allowed? Simple graph Undirected   Multigraph Undirected   Pseudograph Undirected   Simple directed graph Directed   Directed multigraph Directed  

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Exercise Directed/Undirected? Multiple Edges? Loops? Type?

Graph Model

Graph Model

Graph Model: Influence

Graph Model

Graph Model

Graph Model: Precedence Graph

Graph Terminology

Graph Terminology a b c d e b c d a f e g

Graph Terminology

Graph Terminology

Graph Terminology

Special Graph

Special Graph

Special Graph

Special Graph

Special Graph: Bipartite

Special Graph: Bipartite

Special Graph: Bipartite

Application of Graph: LAN

Application of Graph (Parallel Processing)

Construction of New Graph

Construction of New Graph

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex?

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex?

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex?

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex?

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex? Initial vertices? End vertices? In-degree Out-degree

Exercise Number of vertices? Number of edges? Degree of each vertex? Initial vertices? End vertices? In-degree Out-degree

Graph Representation

Graph Representation

Graph Representation:Adjacency Matrix

Graph Representation:Adjacency Matrix

Graph Representation:Adjacency Matrix

Graph Representation:Adjacency Matrix

Graph Representation:Adjacency Matrix 8

Graph Representation:Incident Matrix

Graph Representation:Incident Matrix

Graph Representation:Incident Matrix

Graph Isomorphism Greek roots isos: “equal” morphe: “form”

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Graph Isomorphism

Connectivity หลายๆปัญหาสามารถ Model ด้วยการเดินทางไปตาม Edge ของกราฟ เช่นการส่งข้อมูลใน Data Network หรือปัญหาในการวางแผนการเดินทางสำหรับร้านส่งของ การเก็บขยะ การ Diagnostic ในระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ เป็นต้น ซึ่งปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยการ Model ด้วยกราฟ

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Path

Connectivity:Connectness

Connectivity:Connectness

Path of 2 Vertices

Path of 2 Vertices

Euler and Hamilton Path เมือง Konigsberg ประเทศ Prussia ในศตวรรษที่18 ได้ถูกแบ่งออกเป็น 4 ส่วนด้วยแม่น้ำ Pregel ที่ไหลผ่านตัวเมือง ซึ่งก่อให้เกิดเกาะกลางระหว่างแขนงของแม่น้ำตามรูป ดังนั้นชาวเมืองจึงสร้างสะพานขึ้น 7 สะพานเพื่อเชื่อมส่วนต่างๆของเมืองเข้าด้วยกัน นักท่องเที่ยวที่เดินชมเมืองเกิดข้อสงสัยว่าจะเป็นไปได้ไหมที่เขาจะเดินชมทุกส่วนของเมืองโดยข้ามสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียว และท้ายสุดกลับมาที่จุดเดิม

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Euler and Hamilton Path

Shortest-Path Problem

Ex: Weighted Graph Modeling an Airline System

Ex: Weighted Graph Modeling an Airline System

Ex: Weighted Graph Modeling an Airline System

Shortest-Path Problem

Shortest-Path Problem

Dijkstra’s Algorithm

Dijkstra’s Algorithm

Shortest-Path Problem จงหา Shortest Path ระหว่าง a และ z

Traveling Salesman Problem

Planar Graph เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเชื่อมต่อ น้ำ ไฟฟ้า และ แกส เข้ากับบ้านทั้ง 3 หลังนี้ โดยไม่ให้ท่อส่งทับกัน?

Planar Graph Definition 1

Examples: Planar Graph?

Euler’s Formula Theorem 1

Example

Corollary 1 Corollary 2 ถ้า G เป็นกราฟระนาบธรรมดาที่ต่อถึงกันแล้ว G จะมี vertex ที่มีดีกรีไม่เกิน 5 Corollary 3

Examples

Kuratowski’s Theorem Theorem 2

Homeomorgraphic Graphs

Planar Graph?

Graph Coloring ในการทำแผนที่นั้น จะมีการระบายสีขอบเขตต่างๆ ของแผนที่ เราจะมีวิธีการอย่างไรที่จะทำให้ขอบเขตที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน และใช้สีให้น้อยที่สุด ปัญหาข้างต้นเราสามารถใช้กราฟแก้ปัญหาได้ โดยการสร้างแบบจำลองของแผนที่ โดยให้จุดแทนขอบเขต และขอบเขตที่อยู่ติดกันให้มีเส้นเชื่อมจุดนั้นๆ

Graph Coloring Definition 1 Definition 2

Examples

Four Color Theorem คำถามนี้เกิดขึ้นในปี 1950 พิสูจน์โดย Kenneth Appel และ Wolfgang ในปี 1976

Examples

Applications of Graph Coloring

Applications of Graph Coloring

สรุป

Homework 9 Section 9.1 11, 12 Section 9.2 36, 37, 47, 48 Section 9.3 34, 44, 60, 61, 64 Section 9.4 38, 39, 49, 54, 55 Section 9.5 24, 25, 56, 64 Section 9.6 4, 21, 23, 27 Section 9.7 4, 5, 8, 13, 19-26, 30 Section 9.8 1, 4, 10, 11, 20, 25 Supplementary --- 135

Programming Assignment 3 จงเขียนโปรแกรมเข้ารหัสแบบ Caesar โดยให้ผู้ใช้สามารถกำหนด key เองได้ ในการเข้ารหัสให้ใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่เท่านั้นและให้ถือว่าตัวอักขระที่เป็น Space อยู่ต่อจากตัว Z จงเขียนโปรแกรมเข้ารหัสแบบ Huffman จงเขียนโปรแกรม Dijkstra จงเขียนโปรแกรมจัดตารางสอบ จงเขียนโปรแกรมเครื่องคิดเลขแบบ pre-, in-, post-fix จงเขียนโปรแกรม วิธีการส่งงาน: - ส่งทาง e-mail ใช้ชื่อ Subject ว่า 461191 Assignment 3 ให้ทำการบีบอัดไฟล์ต่างๆเป็นไฟล์เดียว โดยใช้ format เป็น zip หรือ rar ไฟล์ที่ทำการบีบอัดให้ใช้ชื่อไฟล์เป็นรหัสนศ. Each program should be submitted with a report showing its code and how it works (some screen shorts plus descriptions).