บทกลับของทฤษฎีพิทาโกรัส กล่าวว่า: ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว a , b และ c หน่วยและ c2 = a2+ b2 จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมีด้านที่ยาว c หน่วย เป็นด้านตรงมุมฉาก สรุป ถ้า c2 = b2 + b2 แล้ว ABC เป็น มุมฉาก จำ ในรูป ใดๆ ที่มีด้านยาว (3 , 4 , 5) (5 , 12 , 13) (7 , 24 , 25) เป็นด้านของ มุมฉากเสมอ

กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลียมต่าง ๆ ดังต่อนี้ จงหาว่าสามเหลี่ยมข้อใดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ 1 1) 6 , 8 , 10 2) 4 , 6 , 8 3) 8 , 10 , 12 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 102 = 62 + 82 82 = 42 + 62 122 = 82 + 102 100 = 36 + 64 64 = 16 + 36 144 = 64 + 100 100 = 100 64 52 = 144 164 = ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

4) 8 , 17 , 15 5) 1 , 4 , 6 6) 0.3 , 0.4 , 0.5 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 0.52 = 0.32 + 0.42 172 = 82 + 152 62 = 12 + 42 0.25 = 0.09 + 0.16 289 = 64 + 225 36 = 1 + 16 289 = 289 36 17 = 0.25 0.25 = ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ 2 จงแสดงว่า ABC ในแต่ละข้อเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2.1 AB2 = AD2 + BD2 A B C D AB2 = 242 + 182 AB2 = 576 + 324 = 900 18 24 32 AC2 = AD2 + DC2 AC2 = 242 + 322 AB2 = 576 + 1024 = 1600 BC2 = AB2 + AC2 ABC เป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก (18+32)2 = 302 + 402 502 = 900 + 1600 2500 = 2500

ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก D B A 25 60 144 D B A C D A C B A AB2 = 625 + 3600 AC2 = 20736 + 3600 AB2 + AC2 BC2 = = 4225 = 24336 (25 + 144)2 = 652 + 1562 28561 28561 AB = 65 AC = 156 = ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ กำหนดให้ ABC มี CD ตั้งฉากกับ AB ที่จุด D จงพิจารณาว่าความยาวที่กำหนดให้ในข้อใด ทำให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะเหตุใด ข้อ 3 1) AC = 13 , BC = 15 และ CD = 12 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 13 15 12 152 - 122 BD2 = 225 - 144 BD2 = = 81 AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 132 - 122 AD2 = 132 + 152 (5+9) 2 = 169 - 144 AD2 = = 25 169 + 225 196 = ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ 2) AC = 10 , BC = 17 และ CD = 8 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 172 - 82 BD2 = 10 17 8 289 - 64 BD2 = = 225 AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 102 - 82 AD2 = 102 + 172 (15+6) 2 = 100 - 64 AD2 = 100 + 289 441 = = 36 ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ 2) AC = 3 , BC = 4 และ CD = 2.4 D C B A BC2 - CD2 BD2 = 42 - 2.42 BD2 = 3 4 2.4 BD2 = 16 - 5.76 = 10.24 AC2 - CD2 AD2 = AC2 + BC2 AB2 = 32 - 2.42 AD2 = 32 + 42 (3.2+1.8) 2 = 9 - 5.76 AD2 = 9 + 16 25 = = 3.24 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพราะ AC2 + BC2 AB2 =

บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 60 63 ข้อ 4 ABC มี AB = 63 เซนติเมตร AC = 60 เซนติเมตร และ BC = 87 เซนติเมตร จงหาความสูง AD (ตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง A C B D บทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 60 63 87 BC2 = AB2 + AC2 872 = 632 + 602 7569 = 3969 + 3600 = 7569 ดังนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 1 2 x ฐาน สูง พื้นที่สามเหลี่ยม = 1 2 x 60 63 พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = = 1890 2 1 x 87 AD แต่ 1890 = 1890 x 2 87 AD = = 43.45 เซนติเมตร

ข้อ 5 จากรูปกำหนดให้ AB = 21 หน่วย , BC = 28 หน่วย , CD = 7.2 หน่วย DE = 9.6 หน่วย AE = 37 หน่วย จงหาพื้นที่ของ ACE B E D C A 28 9.6 37 21 7.2 ใน CDE CE2 = CD2 + DE2 CE2 = 7.22 + 9.62 CE2 = 51.84 + 92.16 = 144 ใน ABC ใน ACE AC2 = AB2 + BC2 AE2 = AC2 + CE2 AC2 = 212 + 282 372 = 352 + 122 AC2 = 441 + 784 = 1225 = 1225 + 144 1369 = 1369 ดังนั้น ACE เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = 210 ตารางหน่วย B E D C A 37 35 12 1 2 x ฐาน สูง พื้นที่สามเหลี่ยม = พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = 1 2 x 12 35 ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ACE = 210 ตารางหน่วย

ชายคนหนึ่งต้องการตรวจสอบว่า ผนังของบ้านตั้งฉากกับพื้นดินหรือไม่ เขาจึงทำเครื่องหมายที่ผนังสูงจากพื้นขึ้นไป 8 ฟุต แล้ว ใช้ปลายข้างหนึ่งของเชือกยาว 10 ฟุต ผูกที่จุดที่ทำเครื่องหมาย ไว้นั้น ปลายเชือกข้างหนึ่งผูกไว้ที่หลัก ซึ่งปักอยู่บนพื้นดิน ระยะระหว่างหลักและผนังต้องเป็นเท่าไร จึงจะบอกได้ว่าผนัง ตั้งฉากกับพื้นดิน ข้อ 6 ถ้าผนังตึกตั้งฉากกับพื้นดิน เชือกจะต้องเป็นด้านที่ตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น a เป็นระยะห่างจากผนังตึกกับหลักที่ปักบนดิน จะได้ a2 = 102 - 82 a2 = 100 - 64 = 36 10 8 a ระยะห่างจากผนังตึกกับหลักที่ปักบนดิน = 6 ฟุต

ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า ข้อ 7 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีด้านยาว 7 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร มีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว 15 เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้จะยาวกว่าหรือสั้นกว่า 15 เซนติเมตร ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า A B C D 7 12 15 152 = 122 + 72 225 = 144 + 49 193 225 แต่ ดังนั้น ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เส้นทแยงมุม BD จะสั้นกว่า เส้นทแยงมุม AC เพราะ AC เป็นด้านปิดมุมป้าน แต่ BD เป็นด้านปิดมุมแหลม