METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME 654 OPTIMUM DESIGN OF MECHANICAL PARTS บทที่ 4 การหาจุดต่ำที่สุดของฟังก์ชั่น ที่ไม่มีข้อจำกัด ด้วยวิธีการเชิงตัวเลข ดุลยโชติ ชลศึกษ์ Mechanical Engineering Department Thammasat University

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 2 หัวข้อ การหาจุดต่ำที่สุดของ ฟังก์ชั่นตัวแปรเดียว ด้วยวิธีการเชิงตัวเลข การหาจุดต่ำที่สุดของฟังก์ชั่น หลายตัวแปรด้วยวิธีการ เชิงตัวเลข

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 3 การหาจุดต่ำที่สุดของฟังก์ชั่นตัวแปรเดียว ด้วยวิธีการ เชิงตัวเลข 1  วิธีตัดครึ่ง  วิธีตัดส่วนทอง  วิธีประมาณด้วย พาราโบลา  วิธีของนิวตัน x f(x)f(x)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 4 วิธีตัดครึ่ง 1. หาจุด 3 จุดเรียงกัน A B C โดยที่จุด B อยู่ต่ำที่สุด 2. หาจุด D โดยการแบ่งครึ่งช่วง A-B 3. เรียกจุดที่ต่ำที่สุดเป็นจุด B ใหม่ จุดที่อยู่ข้างซ้ายของจุด B เป็นจุด A และข้างขวาเป็นจุด C

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 5 วิธีตัดครึ่ง (2) ทำการหาจุด D โดยสลับไปแบ่งครึ่งช่วง B-C ตามรูป 4.1 ให้เรียกจุดที่ต่ำที่สุดเป็นจุด B ใหม่ จุดที่อยู่ข้างซ้ายของจุด B เป็นจุด A และข้างขวาเป็นจุด C

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 6 วิธีตัดครึ่ง (3) ทำซ้ำไปเรื่อยๆจนได้ความละเอียดที่ต้องการ

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 7 โปรแกรม Bisection C BRACKETING DO 100 I=1,MAXITER XC=XB+STEP CALL OBJFNC(XC,FC) IF (ABS(FC-FB).LT.FTOL) GOTO 200 IF (FC.GT.FB) GOTO 200 XA=XB FA=FB XB=XC FB=FC 100 CONTINUE C BISECTION 200 XD=(XC+XB)/2 CALL OBJFNC(XD,FD) IF (FD.LT.FB) THEN XA=XB FA=FB XB=XD FB=FD ELSE XC=XD FC=FD ENDIF XD=(XA+XB)/2 CALL OBJFNC(XD,FD) IF (FD.LT.FB) THEN XC=XB FC=FB XB=XD FB=FD ELSE XA=XD FA=FD ENDIF I=I+1 IF (I.GT.MAXITER) GOTO 300 IF (ABS(FA-F0).LT.FTOL) GOTO 300

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 8 วิธีตัดส่วนทอง สมมุติว่าสัดส่วนระหว่างระยะ A-B และ B-C เป็น และสมมุติว่าทำการแบ่งช่วง B-C ที่จุด D โดยมีสัดส่วน

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 9 วิธีตัดส่วนทอง (2) ต้องการให้ความกว้างของช่วงการค้นหาลดลงอย่างสม่ำเสมอ จะต้องกำหนดให้ หรือ รักษาสัดส่วนการค้นหาตามเดิม หรือ

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 10 วิธีตัดส่วนทอง (3) แก้สมการทั้งสอง จะได้

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 11 วิธีตัดส่วนทอง (4)  สัดส่วน w = เรียกว่าสัดส่วนทอง (Golden Ratio)  ในการค้นหาแต่ละรอบความกว้างของช่วงที่ ค้นหาจะลดลงเหลือ เท่าของช่วงเดิม เสมอ  ในการค้นหาแบบตัดครึ่งช่วงกว้างจะลดลงด้วย สัดส่วนที่ไม่แน่นอน  คืออาจลดลงเหลือ 0.75 หรือ 0.5 เท่าของ ช่วงเดิมแล้วแต่จังหวะของการค้นหา

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 12 วิธีของนิวตัน ประมาณฟังก์ชั่นด้วยอนุกรมของเทย์เลอร์ ที่จุดต่ำที่สุด ความชันเป็นศูนย์ ใช้ Forward Difference

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 13 ตัวอย่าง 4.1

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 14 ตัวอย่าง 4.1 (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 15 ตัวอย่าง 4.1 (3)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 16 การบ้าน 4

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 17 การหาจุดต่ำที่สุดของฟังก์ชั่นหลายตัวแปร ด้วยวิธีการ เชิงตัวเลข 2

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 18 วิธีค้นหาทีละทิศทาง

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 19 ตัวอย่าง 4.2

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 20 ตัวอย่าง 4.2 (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 21 วิธีลงทางชันที่สุด

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 22 วิธีลงทางชันที่สุด (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 23 ตัวอย่าง 4.3

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 24 ตัวอย่าง 4.3 (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 25 ปัญหาของวิธีลงทางชันที่สุด การเดินแบบซิกแซก

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 26 วิธีเกรเดี้ยนร่วม

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 27 วิธีเกรเดี้ยนร่วม (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 28 ตัวอย่าง 4.5

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 29 ตัวอย่าง 4.5 (2)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 30 เปรียบเทียบการลู่เข้า

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 31 เปรียบเทียบการลู่เข้า

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 32 การเขียนโปรแกรม PROGRAM CONJUG PARAMETER N=2 DIMENSION X(N),X1(N),G(N),D(N),G0(N),D0(N) C SPECIFY OPTIMIZATION PARAMETERS MAXITER=100 XTOL= FTOL= GTOL= F0=1.E9 C SPECIFY INITIAL VALUE OF VARIABLES X(1)=-1 X(2)=1 OPEN (2,FILE='CONOUT.TXT') OPEN(3,FILE='CONLOG.TXT') C EVALUATE THE INITIAL POINT CALL OBJFNC(X,N,F) C START STEEPEST DIRECTION PROCESS DO 200 J=1,MAXITER WRITE(2,*) J,(X(I),I=1,N),F WRITE(*,*) J,(X(I),I=1,N),F IFLAG=0 C EVALUATE GRADIENT CALL GRADF(X,N,G)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 33 การเขียนโปรแกรม C FIND SIZE OF G SIZEG=0 DO 110 I=1,N 110SIZEG=SIZEG+G(I)*G(I) SIZEG=SQRT(SIZEG) C EXIT CONDITION 1 IF (ABS(SIZEG).LT.GTOL) GOTO 600 C COMPUTE CONJUGATE DIRECTION IF (J.EQ.1) THEN DO 112 I=1,N D(I)=-G(I) D0(I)=-G(I) 112G0(I)=G(I) SIZEG0=SIZEG ELSE BETA=(SIZEG/SIZEG0)**2 DO 114 I=1,N D(I)=-G(I)+BETA*D0(I) G0(I)=G(I) 114D0(I)=D(I) SIZEG0=SIZEG ENDIF

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 34 การเขียนโปรแกรม C LINE SEARCH IN CONJUGATE DIRECTION SIZED=SIZVEC(D,N) DO 130 I=1,N 130D(I)=D(I)/SIZED C EVALUATE OBJECTIVE FUNCTION CALL MLINE(X,N,D,F) C EXIT CONDITION 2 190IF ((J.GT.2).AND.(ABS(F- F0).LT.FTOL))GOTO 600 F0=F 200CONTINUE 600WRITE(2,*) J,(X(I),I=1,N),F END

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 35 โปรแกรมย่อย OBJFNC SUBROUTINE OBJFNC(X,N,F) DIMENSION X(N) C ***** INPUT YOUR OBJECTIVE FUNCTION HERE.***** C THE DEFAULT FUNCTION IS 2D ROSENBROCK FUNCTION. F=(1-X(1))**2+100*(X(2)-X(1)**2)**2 WRITE(3,*) (X(I),I=1,N),F END

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 36 โปรแกรมย่อย GRADF SUBROUTINE GRADF(X,N,G) DIMENSION X(N),G(N) C ***** INPUT YOUR GRADIENT FUNCTION HERE ****** C –- OR -- C USE CENTRAL DIFFERENCE IN CASE NO ANALYTICAL EXPRESSION FOR C GRADIENT DX= DO I=1,N X(I)=X(I)+DX CALL OBJFNC(X,N,FF) X(I)=X(I)-2*DX CALL OBJFNC(X,N,FB) G(I)=(FF-FB)/2/DX X(I)=X(I)+DX ENDDO WRITE(*,*) 'G',(G(I),I=1,N) END

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 37 วิธีของนิวตันสำหรับตัวแปรหลายมิติ ในหลายมิติ

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 38 การบ้าน 4

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 39 วิธีค้นหาแบบตาราง

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 40 วิธีค้นหาแบบตาราง

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 41 วิธีสามเหลี่ยมสะท้อน

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 42 วิธีสามเหลี่ยมสะท้อน

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 43 การสุ่มลดพื้นที่

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 44 วิธีลำดับขั้นตอนทางพันธุกรรม

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 45 การผสม

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 46 การกลายพันธุ์

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 47 ตัวอย่างการทำงาน

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 48 การสุ่มจุดใน N มิติ C SPECIFY THE RANGE NDATA=10000 XMIN=-10 XMAX=10 FMAX=1.E9 FMIN=-1.E9 C RANDOMLY GENERATE DATA POINTS DX=XMAX-XMIN DO 200 J=1, NDATA 50 DO 100 I=1,N CALL RANDOM_NUMBER(RR) 100X(I)=XMIN+DX*RR 200WRITE(*,*) (X(I),I=1,N)

METU Mechanical Engineering Department Faculty of Engineering, Thammasat University ME654 Module 4 : Numerical Method for Unconstrained Optimization 49 การบ้าน