การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน CVE 619 Infrastructure System Development # 8 การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน CVE 619 Infrastructure System Development โครงการวิศวกรรมและการบริหารการก่อสร้าง ภาควิชาวิศวกรรมโยธา มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าธนบุรี ภาคการศึกษาที่ 1 ปีการศึกษา 2548 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

Financial Derivatives (ตราสารอนุพันธ์)

อะไรคือ ตราสารอนุพันธ์ เป็นตราสารทางการเงินประเภทหนึ่งที่มีมูลค่าหรือราคาเกี่ยวเนื่องกับมูลค่าของสินทรัพย์ที่ตราสารอนุพันธ์นั้นอ้างอิงอยู่ (สินทรัพย์อ้างอิง – underlying asset) สินทรัพย์อ้างอิงเหล่านี้โดยปกติจะอยู่ในตลาดโดยมีการซื้อขายและส่งมอบกันในทันที ณ ราคาเงินสด หรือ ราคาสปอต (cash price or spot price) ตราสารอนุพันธ์จะมีการกำหนดวันครบกำหนดที่แน่นอนและผลตอบแทนจะถูกคำนวณในวันที่ตราสารครบกำหนด

จุดประสงค์ของการใช้ตราสารอนุพันธ์ Objectives: Risk management (การจัดการความเสี่ยง) Speculation (การเก็งกำไร)

ประเภทของตราสารอนุพันธ์ แบ่งออกเป็นสองประเภทคือ ตราสารอนุพันธ์แบบซื้อขายล่วงหน้า (forward commitments) Future Forward Swap ตราสารอนุพันธ์แบบสิทธิเรียกร้อง (contingent claims) Option

“Futures” - สัญญาซื้อขายล่วงหน้าฟิวเจอร์ คือสัญญาระหว่างผู้ซื้อและผู้ขายในการตกลงว่าจะซื้อจะขายสินทรัพย์อ้างอิง โดยมีการกำหนดราคาและวันเวลาส่งมอบที่แน่นอนไว้ล่วงหน้า ซื้อขายกันตลาดแลกเปลี่ยนกลาง – เช่นตลาดหลักทรัพย์

“Forward” - สัญญาซื้อขายล่วงหน้าฟอร์เวิร์ด ลักษณะเหมือน future เพียงแต่เป็นการซื้อขายในตลาดต่อรอง (over-the-counter) ทำการซื้อขายโดยไม่ต้องมีกลไกตลาดรองรับ

รูปแบบผลตอบแทนของ futures และ forward ราคาสินทรัพย์อ้างอิง (St) ราคาสินทรัพย์อ้างอิง (St) X X = St – X = X – St สถานะผู้ซื้อ สถานะผู้ขาย

“Option” - สัญญาออปชั่น คือสัญญาที่ให้สิทธิ (แต่ไม่ใช่ภาระผูกพัน) กับผู้ถือครองสัญญาในการที่จะซื้อ (หรือ ขาย) สินทรัพย์อ้างอิง ในราคาที่ตกลงกันไว้ และภายในระยะเวลาที่กำหนด A contract which gives its holder the right, without obligation, to buy (or sell) an asset at some pre-agreed price within a specified period of time

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน ประเภทของออปชั่น คอลออปชั่น (Call Option) สัญญาที่ให้สิทธิที่จะ ซื้อ สินทรัพย์อ้างอิง ณ ราคาที่ตกลงกันไว้ ภายในเวลาที่กำหนด พุทออปชั่น (Put Option) สัญญาที่ให้สิทธิที่จะ ขาย สินทรัพย์อ้างอิง ณ ราคาที่ตกลงกันไว้ ภายในเวลาที่กำหนด Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 4

องค์ประกอบสำคัญของออปชั่น คอลออปชั่น Call option สินทรัพย์อ้างอิง Underlying asset ออปชั่นสำหรับซื้อ หุ้น CPF จำนวน 100 หุ้น ณ ราคา 50 บาทต่อหุ้น ภายในวันที่ 16 พฤศจิกายน 2548 ราคาใช้สิทธิ Exercise price (Strike price) วันหมดอายุ Expiration

สถานะการซื้อขายของออปชั่น สถานะซื้อเรียกว่าอยู่ใน “long position” สถานะขายเรียกว่าอยู่ใน “short position”

ประเภทของออปชั่น แบ่งตามเวลาของการใช้สิทธิ American Option – คือออปชั่นที่ผู้ถือครองสามารถใช้สิทธิ ณ เวลาใดก็ได้ก่อนหมดอายุออปชั่น European Option – คือออปชั่นที่ผู้ถือครองสามารถใช้สิทธิ ณ เวลาที่ออปชั่นหมดอายุเท่านั้น

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน ผลตอบแทนของออปชั่น ผลตอบแทนของออปชั่น ผลตอบแทนของออปชั่นจะขึ้นอยู่กับราคาของสินทรัพย์ ณ เวลาที่ใช้สิทธิ ตัวอย่าง – ออปชั่นที่มีราคาใช้สิทธิ (exercise price) เท่ากับ 55 15 40 55 70 ราคาสินทรัพย์ Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 7

รูปแบบผลตอบแทนของ “Option” Max (0,St – X) –Max (0,St – X) X ผลตอบแทน ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ Long Call X ผลตอบแทน ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ Short Call X ผลตอบแทน ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ Long Put X ผลตอบแทน ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ Short Put Max (X – St, 0) –Max (X – St, 0)

ประโยชน์ที่ผู้ถือครองออปชั่นได้รับ ผลตอบแทน ผลตอบแทน ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ ราคาสินทรัพย์ ณ เวลาใช้สิทธิ X X Long Call Long Put การถือครองออปชั่นนั้นเป็นการกำจัดผลตอบแทนส่วนที่ไม่ดีออกไป เสมือนกับเป็นการผ่องถ่ายความสูญเสียไปให้กับผู้ขายออปชั่น ดังนั้นออปชั่นจึงมีคุณค่ากับผู้ถือครอง

วิธีการคำนวณราคา (คุณค่า) ของ “ออปชั่น” ทฤษฎี “Option pricing theory” วิธีการเชิงวิเคราะห์ Black-Scholes model วิธีการแบบ Numerical Finite differences Binomial วิธีการแบบ Simulation Monte Carlo simulation Etc.

วิธี Binomial No Arbitrage opportunities เราสามารถสร้างกลุ่มของหลักทรัพย์ที่ให้ผลตอบแทนเช่นเดียวกับผลตอบแทนของออปชั่นทุกประการได้ ฉะนั้นราคาของออปชั่นต้องเท่ากับต้นทุนในการสร้างกลุ่มของหลักทรัพย์นั้นเอง กลุ่มของหลักทรัพย์นี้เรียกว่า “replicating portfolio” วิธีการนี้นำเสนอโดย Cox, Ross and Rubinstein (1979) No Arbitrage opportunities

No arbitrage opportunity ตลาดทำงานอย่างมีประสิทธิภาพ (Efficient market) หลักทรัพย์ที่มีรูปแบบผลตอบแทน (ทั้งมูลค่าและความเสี่ยงของผลตอบแทน) เหมือนกันจะต้องมีราคา (คุณค่า) เท่ากันด้วย หากมีการ overprice หรือ underprice ตลาดจะปรับตัวเข้าสู่จุดดุลยภาพ (Equilibrium) อย่างรวดเร็ว

การวิเคราะห์: 1 สมมุติว่าเราถือครองออปชั่นสำหรับซื้อหุ้น บริษัท ก ในราคา 21 บาท โดยขณะนี้ราคาหุ้นในตลาดอยู่ที่ 20 บาท ในอีกหนึ่งปีข้างหน้าราคาอาจจะขึ้นไปอยู่ที่ 22 บาท หรือ 18 บาท T= 0 T=1 21 Payoff price at expiration 22 1 18 22 Max (0,22–21) = 1 20 18 Max (0,18–21) = 0

การวิเคราะห์: 2 – รูปแบบการเคลื่อนไหวของราคาหลักทรัพย์และราคาออปชั่น uS0 Cu = max [0, uS0－X] S0 C dS0 Cd= max [0, dS0－X] Stock price movement Option value S = Stock price u = up movement factor d = down movement factor X = Exercise price of the option C = Option value Cu = Option value when price move up Cd = Option value when price move down

Replicating portfolio (1) เราสามารถสร้างกลุ่มของหลักทรัพย์ที่ประกอบไปด้วย หลักทรัพย์อ้างอิง (หลักทรัพย์ที่มีความเสี่ยง) จำนวน m หน่วย และพันธบัตรรัฐบาล (หลักทรัพย์ที่ไร้ความเสี่ยง) จำนวน B หน่วย และกลุ่มของหลักทรัพย์นี้ให้ผลตอบแทนเลียนแบบผลตอบแทนของ ออปชั่นทุกประการ umS + RB Cu = max [0, uS0－X] C mS + B Cd = max [0, dS0－X] dmS + RB R= risk-free interest rate =(1+r)

Replicating portfolio (2) umS+RB dmS+RB mS+B Cu Cd C

Replicating portfolio (3)

ตัวอย่างที่ 1 – Call Option จงหาราคาของ “call option” ที่มีหลักทรัพย์อ้างอิงเป็นหุ้นของบริษัท ก ซึ่งราคาปัจจุบันอยู่ที่ 20 บาท ออปชั่นนี้มีราคาใช้สิทธิ (exercise price) = 21, อายุ = 1 ปี, rf = 5 % โดยจากการคาดการณ์ในอีก 1 ปีราคามีแนวโน้มที่จะขยับขึ้นไปอยู่ที่ 22 บาท หรือขยับลงไปที่ 18 บาท การเคลื่อไหวของราคาหุ้นตัวนี้เป็นดังนี้ t= 0 t=1 uS=22 Cu=Max (0,22–21) = 1 S=20 dS=18 Cd=Max (0,18–21) = 0

T = 1 rf = 5 % uS=22 S=20 C=? dS=18 Cu=Max (0,22–21) = 1 Cd=Max (0,18–21) = 0

ข้อมูลที่ต้องการเพื่อการวิเคราะห์ ราคาปัจจุบันของสินทรัพย์อ้างอิง (S) ราคาใช้สิทธิ (Exercise price) (X) ค่าสัดส่วนความเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ (Movement factors) upward movement factor (u) downward movement factor (d) อัตราดอกเบี้ยสำหรับสินทรัพย์ไร้ความเสี่ยง (risk-free interest rate) (r) อายุของออปชั่น (T)

Variable CALL PUT ราคาปัจจุบันของสินทรัพย์อ้างอิง ＋ － ราคาใช้สิทธิ อายุของออปชั่น ความเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์อ้างอิง อัตราดอกเบี้ยสินทรัพย์ไร้ความเสี่ยง เงินปันผล

ตัวอย่างที่ 2 – Put Option จงหาราคาของ “put option” ของสินทรัพย์อ้างอิงในตัวอย่างที่ 1 โดยมีราคาใช้สิทธิ (exercise price) = 20, T = 1, rf = 5 %, t= 0 t=1 uS=22 Cu=Max (0,20–22) = 0 S=20 dS=18 Cd=Max (0,20–18) = 3

T = 1 rf = 5 % uS=22 S=20 dS=18 t= 0 t=1 Cu=Max (0,20–22) = 0 Cd=Max (0,20–18) = 2

Generalization (1) Single  Multiple time step The example was single time step In practice, multiple step valuation is necessary Dividing time into multiple step improves accuracy of the valuation Matching volatility with u and d Discrete  Continuous compounding interest

Single  Multiple time steps uS0 u2S0 uS0 S0 S0 udS0 dS0 dS0 d2S0 t=0.25 t=0.75 t=0 t=0.5 t=1 u4S0 u2S0 u3d1S0 S0 u2d2S0 u1d3S0 d2S0 d4S0

Matching volatility with u and d Volatility of stock price is represented by variance or standard deviation ( ) We must transform it into u and d factor = time per one time step

Discrete  Continuous compounding interest

Generalized binomial approach

Example: multiple-steps binomial CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Example: multiple-steps binomial Example Price = 36 = .40 T = 90 days D t = 30 days Exercise = 40 r = 10% u = 1.1215 d = .8917 p = .5075 (1 – p) = .4925 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน u = 1.1215 d = .8917 40.37 36 32.10 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน 50.78 40.37 32.10 25.52 u = 1.1215 d = .8917 45.28 36 28.62 40.37 32.10 36 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Option value = max(0,50.78 – 40)=10.78 50.78 40.37 32.10 25.52 10.78 45.28 36 28.62 40.37 32.10 0.37 36 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Max (Option price, Option value) = Max (5.60, 5.28) 10.78 5.60 50.78 40.37 32.10 25.52 (45.28 – 40) 45.28 36 28.62 2.91 0.37 40.37 32.10 0.19 1.51 36 0.1 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

+ Put – Call Parity (1) CALL ! Payoff Payoff Stock price Stock price X Share Put option Payoff CALL ! Stock price X Portfolio

Put – Call Parity (2) If you buy the share and a put option to see it for X, you receive the same pay off as from buying a call option and set money of X aside for exercising it Value of Call + present value of exercise price = Value of put + Share price

Strategic portfolio of options (Spreads) (1) Payoff Sell Option B Stock price XA XB Buy option A Bull Spreads (by calls)

Strategic portfolio of options (Spreads) (2) Sell option B Payoff Stock price XA XB Buy option A Bull Spreads (by puts)

Strategic portfolio of options (Spreads) (3) Sell option A Payoff Stock price XA XB Buy option B Bear Spreads (by calls)

Strategic portfolio of options (Spreads) (4) Sell Option A Payoff Stock price XA XB Buy option B Bear Spreads (by puts)

Strategic portfolio of options (Spreads) (5) Buy Option A Sell 2 unit of Option B Payoff Buy option C Stock price XA XB XC Butterfly Spreads (by calls)

Strategic portfolio of options (Spreads) (5) Buy option C Sell 2 unit of Option B Payoff Stock price XA XB XC Buy Option A Butterfly Spreads (by puts)

Strategic portfolio of options (Spreads) (6) Buy a call Buy a put Payoff Stock price X Straddle (by call and put)

What’s “Real Options”?

What is “Real Options”? Options Real Options The right, but not the obligation, to buy (or sell) an asset at some predetermined price within a specified period of time Real Options The right, but not the obligation, to take action with a predetermined expenses within a specified period of time

Where are they? “Real Options are everywhere” Real Options are embedded in almost every activities (both business and non-business) Investment Life Industrial activity Construction process Etc.

What “Real Options” help? Concept of real options is used for over a decade in investment valuation theory Real options fit management’s intuition better than the traditional way of valuation (NPV) NPV assumes that management looks passively during project process In fact, management can actively takes valuable actions that can improve profitability of the project Management actions are “Real Options” – the right but not obligation to take action

NPV’s assumption Time 1 2 3 4 5 6 Cash flow Investment cost Risks

Defer (Expend I1 to secure investment opportunity) Cash flow diagram Time 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time Cash flow Stochastic cash flows Deterministic cash flows Abandon (forgo I2) Defer (Expend I1 to secure investment opportunity) Downsize (save IC) Expand (Additionally Invest IE) Grow (Additionally invest in subsequent project) I1 I2 I3 IC IE IG Sources with modifications: Trigeorgis (1996) and Mun (2002)

NPV shortfall NPV systematically undervalues everything because it fails to capture the value of flexibility NPV may lead to the wrong decision, if there are naturally embedded options in the project Almost all projects contains such option-like features

When options have the greatest value? Uncertainty Likelihood of receiving new information Low High Moderate Flexibility Value High Flexibility Value Low Flexibility Value Managerial Flexibility Ability to respond High Low Source: Copeland and Antikarov (2001)

Favorable Unfavorable

How can we have options? Naturally embedded option in many activities By creation

Variables in Real Options Stock Options Real Options Asset price Project’s PV Exercise price The expenses required for taking action Time to expiration Project time Volatility of stock price Volatility of NPV Risk-free rate Dividend Cash out flow (optional)

“Real options” in investment valuation

Types of RO in investment context Option to invest (deferral option) Option to expand (expansion option) Option to abandon (cancellation option) Option to contract down (downsizing option) Option to choose (mixed) Option to switch among mode of operation Compound options

Option to invest

Option to invest Right without obligation to make investment “Making investment now may not be optimum, considering ability to receive more information that will become resolved (at least partially) in the future” Investment choices are not only “invest” or “not to invest”, but also “invest now” or “invest later” Searching for the best investment timing Also called “Deferral option”

Simplified example t= 0 t=1 0.5 300 200 0.5 100 200 200 200 200 200 Time (t) . . . . . 1 2 3 4 T= infinity Investment cost 1,600

Its NPV t=1 t= 0 3,300 0.5 2,200 0.5 1,100 Investment cost (I) = 1600 Cost of capital (r) = 10% NPV

If we wait for a year t=1 t= 0 3,300 0.5 2,200 1,100 Investment cost (I) = 1600 Cost of capital (r) = 10%

Value of waiting Value of waiting for new information about uncertainty = 733 – 600 = 133 This is simplified version of the value of “option to invest”

Value of information This concept utilize “value of information” The example was actually based on Decision Tree analysis 3,300 -1,600 600 0.5 1,100 – 1,600 Invest Not invest 3,300 – 1,600 1,100 – 1,600 1,700 / 1.1 0.5 Good Bad Invest Not invest 733 Value of Information = 733 – 600 = 133

Solving with Real Options theory 3,300 Cu=Max(3,300-1600,0) = 1,700 0.5 rf = 5% 2,200 C 0.5 1,100 Cd=Max(1,100-1600,0) = 0 u = 3,300 / 2,200 = 1.5 d = 1,100 / 2,200 = 0.5

Value of the “Option to invest” By RO analysis, = 888.195 – 600 = 288.195 Which answer is more reliable? Same concept but different answer

Decision tree vs Real Options Both concepts are from the same root “waiting for information that become resolved in the future is valuable” – Value of Information Differences Discount rate DT violates “no arbitrage law” RO analysis automatically adjusts discount rate according to the actual level of risk

Option variables

Option to expand

Option to expand Manager has the right (but not obligation) to expand capacity of project, when project goes on favorably When project is expanded, NPV is enlarged The expenses required for expansion is in essence “exercise price” Payoff = Max [unexercised, expanded value - expenses]

Variables in “option to expand” Stock Options Option to expand Underlying stock The Project Asset price Project’s PV Exercise price The expenses for expansion Time to expiration Time limitation Volatility of stock price Volatility of PV Risk-free rate

Option to abandon (cancellation)

Option to abandon Manager has the right (but not obligation) to abandon (cancel) the project , when it goes on unfavorably When project is cancel, the loss is discontinued We also can receive salvage value of the cancelled project Payoff = Max [unexercised, salvage value]

Variables in “option to abandon” Stock Options Option to expand Underlying stock The Project Asset price Project’s PV Exercise price Salvage value Time to expiration Time limitation Volatility of stock price Volatility of PV Risk-free rate

Option to contract (downsizing)

Option to contract down Manager has the right (but not obligation) to contract down (downsize) the project , when it goes on unfavorably When project is downsized, the losses are partially reduced It means we have some saving (by losses reduction) Payoff = Max [unexercised, downsized value + saving]

Variables in “option to abandon” Stock Options Option to expand Underlying stock The Project Asset price Project’s PV Exercise price Saving Time to expiration Time limitation Volatility of stock price Volatility of PV Risk-free rate

(expansion + cancellation + downsizing) Option to choose (expansion + cancellation + downsizing)

Option to choose Manager has the right (but not obligation) to expand, abandon or contract down the project , according to changing uncertainties Manager hold a portfolio consisted of “option to expand”, “option to abandon”, and “option to contract” Payoff = Max [unexercised, expand, contract, abandon]

Interaction of options in portfolio Sum of value of options in portfolio is not equal to value of portfolio of options Exercise of one option affects the others For example, Exercise of abandon option killed the other options Exercise of contract down option downsize magnitudes of the other options

Compound option Options whose value is contingent on the value of other options Option on Option Two types: Simultaneously compound – option on equity (stock) Sequentially compound – phased investment, R&D investment

Switching option Buying flexibility Right (without obligation) to change to better mode of production when environment is changed Change mode of production = abandon existing mode + utilize the other mode

Consolidation of uncertainties by Monte Carlo Simulation Input Process (Monte Carlo Simulation) Output Uncertainty 1 Risk Model Probability Outcome Uncertainty 2 Uncertainty 3

Real options by business sectors

RO from risk management viewpoint (1) CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน RO from risk management viewpoint (1) Risk is not always unfavorable By RO idea, more efforts should be made to maintain flexibility (to create options) How to have option? Identify the existing (hidden) option Manage to have new option Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

RO from risk management viewpoint (2) CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน RO from risk management viewpoint (2) 4. Instead of make decision in advance (traditional approach), we may create alternative (Options) and wait until the right time Real Options approach Traditional Options set 1 Options set 2 Response 1 Response 2 Response 3 Options set 3 Time line Pre-implementation Implementing Problem occur Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

RO from risk management viewpoint (3) CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน RO from risk management viewpoint (3) 5.New ways of managing risks Risk management → Risk utilization 6. Gaining of “Value of Control ” Retention Avoidance Reduction Transfer Sharing Insurance Defer Abandon Expand Contract Switch Compound Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT

Utilizing concept of “real options” Environments in real market are somehow different from those in financial market Critical issue is “how to recognize and structure mechanism of RO in phenomenon occurred in everyday world” How to match real variables with options variables Aim is to meet “risk management” demand -“lower risk premium”

Value of information without soil information

Value of information value of information = 22,500 – 20,000 = 2,500 with soil information -$5,000 value of information = 22,500 – 20,000 = 2,500

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Black-Scholes model OC = S0[N(d1)] - X[N(d2)]e-rt OC- Call Option Price S0 - Stock Price N(d1) - Cumulative normal density function of (d1) X - Strike or Exercise price N(d2) - Cumulative normal density function of (d2) r - discount rate (90 day comm paper rate or risk free rate) t - time to maturity of option (as % of year) v - volatility - annualized standard deviation of daily returns Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 7

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Black-Scholes model S0 X v2 2 ln + ( r + ) t (d1)= v t N(d1)= 32 34 36 38 40 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 8

Cumulative Normal Density Function CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Cumulative Normal Density Function S0 X v2 2 ln + ( r + ) t (d1)= v t (d2) = d1 - v t Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 9

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Example – Call option What is the price of a call option given the following? So = 36 r = 10% v = .40 X = 40 t = 90 days / 365 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 10

Determine input variables CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Determine input variables Example What is the price of a call option given the following? S0 = 36 r = 10% v = .40 X = 40 t = 90 days / 365 S0 X v2 2 ln + ( r + ) t (d1) = v t (d1) = - .3070 N(d1) = 1 - .6206 = .3794 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 11

Determine input variables CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Determine input variables Example What is the price of a call option given the following? S0= 36 r = 10% v = .40 X = 40 t = 90 days / 365 (d2) = d1 - v t (d2) = - .5056 N(d2) = 1 - .6935 = .3065 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 12

CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Answer Example What is the price of a call option given the following? S0 = 36 r = 10% v = .40 X = 40 t = 90 days / 365 OC = S0N(d1)] - X[N(d2)]e-rt OC = 36[.3794] - 40[.3065]e - (.10)(.2466) OC = $ 1.70 Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT 13

Black-Scholes model: assumptions The stock underlying the call option provides no dividends during the call option’s life. There are no transactions costs for the sale/purchase of either the stock or the option. Risk-free interest rate (rf ) is known and constant during the option’s life. Security buyers may borrow any fraction of the purchase price at the short-term risk-free rate. (More...)

Black-Scholes model: assumptions No penalty for short selling and sellers receive immediately full cash proceeds at today’s price. Call option can be exercised only on its expiration date. Security trading takes place in continuous time, and stock prices move randomly in continuous time.

How estimated call price changes as number of binomial steps increases CVE 619: การพัฒนาระบบโครงสร้างพื้นฐาน Binomial vs. Black-Scholes How estimated call price changes as number of binomial steps increases No. of steps Estimated value 1 48.1 2 41.0 3 42.1 5 41.8 10 41.4 50 40.3 100 40.6 Black-Scholes 40.5 Binomial Santi Charoenpornpattana, Department of Civil Engineering, KMUTT