การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) น.ส. นราธิป หอมอุทัย 521995011 น.ส. รจเรข กำแหงกิจ 521995013

การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) การวัดการกระจาย เป็นสถิติที่ใช้อธิบายลักษณะข้อมูลที่ศึกษา บอกถึงการกระจายของกลุ่มข้อมูลว่า ค่าต่างๆ ที่ได้มานั้นมีค่าแตกต่าง กันมากน้อยเพียงใด ทำให้เห็นโดยรวมของข้อมูลชุดนั้นๆ ได้ชัดเจนขึ้น (นรา บูรณรัช. 2543 : 33 )

การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) (ต่อ) ข้อมูลในชุดหนึ่งๆ ส่วนใหญ่จะประกอบไปด้วยค่าต่างๆ กัน เรียกว่า ข้อมูลมีการกระจาย ถ้าค่าต่างๆ ในข้อมูลชุดนั้นมีค่าใกล้เคียงกัน เรียกว่า ข้อมูลมีการกระจายน้อย หรือกระจายแคบ แต่ถ้าข้อมูลมีค่าแตกต่างกันมาก เรียกว่า ข้อมูลมีการกระจายมาก หรือกระจายกว้าง และถ้าข้อมูลมีค่าเท่ากันหมด เรียกว่า ข้อมูลไม่มีการกระจาย (นรา บูรณรัช. 2543 : 33)

วิธีวัดการกระจายมีหลายวิธี ได้แก่ พิสัย ความเบี่ยงเบนควอไทล์ ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย ความแปรปรวนและความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่าง ข้อมูลต่อไปนี้ ข้อมูลชุดที่ 1 : 9 , 12 , 37 , 73 , 105 ข้อมูลชุดที่ 2 : 52 , 60 , 63 , 61 , 65 ข้อมูลชุดที่ 3 : 35 , 35 , 35 , 35 , 35 จะเห็นได้ว่าข้อมูลทั้ง 3 ชุดนี้มีลักษณะการกระจายต่างกัน โดยข้อมูลชุดที่ 1 ข้อมูลมีความแตกต่างกันมาก ข้อมูลชุดที่ 2 ข้อมูลมีความแตกต่างกันน้อย ส่วนข้อมูลชุดที่ 3 ข้อมูลแต่ละตัวมีค่าเท่ากัน

พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด 1. พิสัย (Range) พิสัย คือ ผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุดกับข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดของข้อมูลชุดนั้น สูตร พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด

คะแนนสูงสุด = และคะแนนต่ำสุด = จากสูตร พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด ตัวอย่าง จงหาพิสัยของคะแนนสอบของนักศึกษา 7 คน ซึ่งมีดังนี้ 35 , 48 , 32 , 64 , 73 , 55 , 70 วิธีทำ คะแนนสูงสุด = และคะแนนต่ำสุด = จากสูตร พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด = 73 – 32 = 41 ดังนั้น ค่าพิสัยของคะแนนสอบของนักศึกษา 7 คน คือ 41 73 32

2. ความเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation : Q.D.) ความเบี่ยงเบนควอไทล์ คือ ครึ่งหนึ่งของความแตกต่างระหว่าง ควอไทล์ที่ 3 (Q3) และควอไทล์ที่ 1 (Q1) สูตร Q1 หาได้จาก ข้อมูลตัวที่ Q3 หาได้จาก ข้อมูลตัวที่ ความเบี่ยงเบนควอไทล์ (Q.D.) =

L๐ แทน ขีดจำกัดล่างจริงของชั้นที่มีควอไทล์ตกอยู่ i แทน อันตรภาคชั้น จากสูตร Q1 = L๐ + i Q3 = L๐ + i เมื่อ L๐ แทน ขีดจำกัดล่างจริงของชั้นที่มีควอไทล์ตกอยู่ i แทน อันตรภาคชั้น N แทน จำนวนข้อมูลทั้งหมด Fc แทน ความถี่สะสมของชั้นก่อนที่มีควอไทล์ตกอยู่ F แทน ความถี่ของชั้นที่มีควอไทล์ตกอยู่

ตัวอย่าง จงหาความเบี่ยงเบนควอไทล์ของข้อมูล ต่อไปนี้ 20 , 16 , 29 , 32 , 19 , 38 , 28 , 25 วิธีทำ เรียงลำดับของข้อมูล 16 19 20 25 28 29 32 38 ตำแหน่ง Q3 = = = 6 Q3 = ตำแหน่งตัวที่ 6 คือ 29

ตำแหน่ง Q1 = = = 2 Q1 = ตำแหน่งตัวที่ 2 คือ 19 Q.D. = Q.D. = 5

3. ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean Deviation ) ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ ผลต่างของคะแนนแต่ละตัวกับคะแนนเฉลี่ยโดยคิดค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) แล้วหารด้วยข้อมูลทั้งหมด ใช้สัญลักษณ์ M.D. มีสูตร ดังนี้ 1. กรณีที่ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ M.D. =

M.D = เมื่อ M.D แทน ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย X แทน ข้อมูลแต่ละตัว 2. กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่ M.D = เมื่อ M.D แทน ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย X แทน ข้อมูลแต่ละตัว แทน คะแนนเฉลี่ย f แทน ความถี่ของข้อมูลแต่ละชั้น N แทน จำนวนข้อมูลทั้งหมด แทน ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) เป็นค่าที่ไม่คิดเครื่องหมาย

ตัวอย่าง จงหาค่าความเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลต่อไปนี้ 3 , 2 , 3 , 5 , 7 ตัวอย่าง จงหาค่าความเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลต่อไปนี้ 3 , 2 , 3 , 5 , 7 วิธีทำ = 4 = M.D. = = = = ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย = 1.6

ความแปรปรวนและความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Variance and Standard Deviation) ความแปรปรวน คือ ค่าเฉลี่ยของผลรวมทั้งหมดของคะแนน เบี่ยงเบนยกกำลังสอง (ล้วน สายยศและอังคณา สายยศ. 2540 : 100) ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของความแปรปรวน เป็นค่าวัดการกระจายในรูปเส้นตรง ทำให้ทราบว่า ข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย คิดเป็นระยะทางโดยเฉลี่ยเท่าไหร่ (นรา บูรณรัช. 2543 : 37)

ประชากร กลุ่มตัวอย่าง สัญลักษณ์แทนความแปรปรวน σ2 S2 หรือ S.D2 สัญลักษณ์แทนความเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ S หรือ S.D

การคำนวณค่าความแปรปรวน มีสูตรดังนี้ กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ σ2 = หาจากประชากร หาจากกลุ่มตัวอย่าง S.D2 =

2. กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 2. กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ σ2 = หาจากประชากร หาจากกลุ่มตัวอย่าง S.D2 =

การคำนวณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน มีสูตรดังนี้ 1. กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ σ = หาจากประชากร S.D = หาจากกลุ่มตัวอย่าง

2. กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 2. กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ σ = หาจากประชากร หาจากกลุ่มตัวอย่าง S.D =

ตัวอย่าง จงหาค่าความแปรปรวนและความเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่ม ตัวอย่างต่อไปนี้ 3 , 5 , 7 , 10 , 6 , 5 วิธีทำ X (X-X)2 X2 3 9 5 1 25 7 49 10 16 100 6 36 Σ 36 28 244

ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2.37 6 S.D2 = = ความแปรปรวน = 5.6 S.D = ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 2.37

ตัวอย่าง จงคำนวณหาความเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของความสูงของนักศึกษา 5 คน ต่อไปนี้ 162 170 173 158 164 วิธีทำ หา จากสูตร = = = 165.4 165.4 =

สูตรหาความเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = = = 11.56 + 21.16 + 57.76 + 54.76 + 1.96 = 147.2 σ = σ = 5.42 ดังนั้น ความเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักศึกษา 5 คน เท่ากับ 5.42 เซนติเมตร

จบการนำเสนอ