INC341 Second Order Systems & Block Diagram Reduction Lecture 4

1st order review Time constant = 1/a Settling Time (Ts) = 4 เท่าของ time constant

Type of Systems First-order Systems Second-order Systems Higher-order Systems

Second-order Systems ระบบที่มี 2 poles ตัวอย่างเช่นดังรูป จะพิจารณา Output ที่ได้ จากการป้อน Input เป็น unit step u(t)

Nature of response for 2nd order systems พิจารณาตามตำแหน่งของ poles (ลักษณะกราฟ) แบ่งได้เป็น 4 cases Overdamped response: all poles on real axis Underdamped response: complex poles on left-half plane Undamped: complex poles on imaginary axis Critically damped: repeated roots on real axis

Overdamped Underdamped Undamped Critically damped

การจะดูว่าอยู่ใน case ไหน ให้ดูที่ตำแหน่งของ poles เช่น เป็น underdamped

General form of Second-order Systems Natural frequency Damping ratio Undamped natural frequency (rad/sec) Damping ratio (unitless)

ดังนั้น ζ เป็นตัวกำหนดชนิดของ response ต่างๆได้ Poles สามารถหาได้เท่ากับ ดังนั้น ζ เป็นตัวกำหนดชนิดของ response ต่างๆได้

Natural Frequency x Distance from origin is natural frequency x Frequency at which system would oscillate if all damping was removed, i.e., frequency of oscillation of a series RLC circuit with the resistance shorted would be the natural frequency.

Damped Natural Frequency x Imaginary component is damped natural frequency x Frequency at which system actually oscillates

Damping Ratio ζ = x/ω x ω Angle x x

Damping factor Effect

Example 4.4 จงบอกชนิดของ response ในแต่ละ system Clue: overdamped critically damped underdamped จงบอกชนิดของ response ในแต่ละ system Clue:

System Specifications Peak time, Tp: Time to reach maximum peak. Percentage overshoot, %OS: The amount that the waveform overshoots the steady state of final value

ทั้ง 3 อย่างนี้มีความสัมพันธ์กับ poles Settling time Ts: Time required for oscillations to be bounded within 2% of steady state value Tp ทั้ง 3 อย่างนี้มีความสัมพันธ์กับ poles b %OS=b/a × 100% a

Line of Constant Decay Rate Real part of pole gives rate of decay All poles lying on the same vertical line will decay at same rate x Settling time Ts x

Line of Constant Frequency Imaginary part of pole gives oscillation frequency All poles lying on same horizontal line in s-plane have same oscillation frequency x

Lines of constant damping Poles on radial lines extending out from origin have same damping ratio x x

Same settling time Same peak time Same % overshoot

Time constant and damped frequency Time constant (second): หาได้จาก reciprocal of real part of dominant pole Damped frequency of oscillation (radian): หาได้จาก imaginary part of dominant pole Note: dominant pole คือ pole ตัวที่อยู่ใกล้ imaginary axis มากที่สุด ซึ่งก็คือ pole ตัวที่มีผลต่อระบบมากที่สุดนั่นเอง

Questions Q: จงบอกชนิดของ response พร้อมทั้งหา time constant และ damped frequency ของระบบต่อไปนี้

ตำแหน่ง poles บอกอะไรบ้าง Real part: บอกถึง settling time โดยที่ pole ตัวที่อยู่ใกล้ origin มากสุด, จะมี settling time มากสุด, จะทำให้เกิดผลตอบสนองต่อระบบช้าที่สุด เราเรียก pole ตัวนี้ว่า dominant pole ซึ่งเป็น pole ที่มีความสำคัญที่สุดในระบบ Imaginary part: บอกถึงลักษณะการสั่นของสัญญาณตอบสนองที่จะเกิดขึ้น ซึ่งหมายถึง % overshoot และ peak time

Effect of Zero’s Position Zeros จะมีผลมากถ้ามันอยู่ใกล้ dominant poles (pole-zero cancellation) เช่น ระบบที่มี poles ที่ -1±j2.828 ถ้าเพิ่ม zero ณ ที่ต่างๆจะได้ผลตามรูป

Example Poles อยู่ที่ -3±j7 ให้หา Tp, Ts, %OS

Type of Systems First-order Systems Second-order Systems Higher-order Systems

Higher-Order System จะประมาณเป็น second-order systems โดยดูจาก dominant poles Dominant poles คือ 2 poles ที่อยู่ใกล้แกนตั้งมากที่สุด Example 1 Overdamped Example 2 Underdamped

(∞) = Case III

Nise’s Proposition ถ้า poles ไกลกว่า dominant poles 5 เท่าของแกนจำนวนจริง จะถือว่าตัดทิ้งไปได้

conclusions ในบทนี้จะศึกษา response ของระบบในช่วง transient เท่านั้น ซึ่งเน้นศึกษาแค่ 1st and 2nd order systems Terms ต่างๆที่สำคัญๆคือ time constant, settling time (4 times of time constant), dominant pole, natural frequency, damping ratio (ส่งผลให้เกิด response แตกต่างกันออกไป) ตำแหน่ง poles และ zeros มีผลต่อผลตอบสนองของระบบอย่างไร

Multiple Subsystems and Reduction หา specification ของระบบ แบ่งเป็นส่วนๆและวาด Block Diagram มองระบบรวมและเขียน Schematics วิเคราะห์ด้วย ทฤษฎี ลดรูป Block Diagram หา transfer function ของแต่ละ block

Block Symbols

Cascade Connections

Parallel Connections

Feedback Loop

Box-moving Technique Move pass summing junction

Move pass pick-off point

Example ให้ลดรูปจนเหลือ block เดียว

Example ให้ลดรูปจนเหลือ block เดียว