INC341 Block Reduction & Stability

งานนำเสนอเรื่อง: "INC341 Block Reduction & Stability"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 INC341 Block Reduction & Stability
Lecture 5

2 Example ใช้สูตร หาค่า K ที่ทำให้ระบบนี้มี %OS = 10%

3 หา ζ กับ ω

4 โจทย์ต้องการ %OS =10%

5 Signal-Flow Graph เป็นวิธีการเขียนแผนภาพแสดงระบบอีกรูปแบบหนึ่ง

6 Block Diagram Symbols Signal- Flow Graph Symbols Signal (and Summing
Junction) Transfer Function Signal- Flow Graph Symbols

7 Connections Series (Cascade) Parallel Feedback

8 Stability เทอมนี้เป็นตัวบอกว่า stable หรือไม่
Stability – ระบบ stable เมื่อ output อยู่ในขอบเขตจำกัด สำหรับ input ใดๆที่อยู่ในขอบเขตจำกัด เทอมนี้เป็นตัวบอกว่า stable หรือไม่

9 Type of Stability Stable – Natural response approaches zero as time approaches infinity Unstable – Natural response grows without bound as time approaches infinity Marginally Stable - Natural response neither decay nor grows, but remains constant or oscillate as time approaches infinity

10 Poles and Stability Approach 0 Approach ∞ เมื่อ t -> ∞

11 Bottom Line เน้น Im Re Poles over here are stable Poles over here
Left half-plane Right half-plane Re Poles over here are stable Poles over here are unstable เน้น ถ้ามี pole แม้แต่อันเดียวอยู่ทางขวา, ระบบจะไม่ stable

12

13 มี feedback ตำแหน่งของ poles เปลี่ยน
แล้วระบบใหม่ stable ไหม ?

14 Routh-Hurwitz Criterion
เอาไว้ใช้กับตัวส่วน polynomial เพื่อดูว่ามี pole อยู่ทางขวามือหรือไม่ จะดูจากสัมประสิทธิ a4, a3, a2, a1, a0

15 ขั้นตอนของ Routh-Hurwitz method
ดูสัมประสิทธิของ polynomial ถ้ามีทั้งบวกและลบจะแสดงว่ามี pole อยู่ทางขวามือ ถ้าสัมประสิทธิของ polynomial เป็นบวกหรือลบหมด ให้สร้าง Routh-Hurwitz table ดูสัมประสิทธิของ column แรกในตาราง ถ้าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ระบบจะ stable

16 เอาสัมประสิทธิของ polynomial มาเรียงกัน 2 แถว

17 เติมบรรทัดต่อๆมาอีก n-1 บรรทัด
ถ้า a4, a3, b1, c1, d1 มีเครื่องหมายเดียวกันหมด ระบบจะ stable

18 คุณสมบัติของ Routh-Hurwitz Table
เราสามารถคูณแถวทั้งแถวด้วยค่าคงที่โดยไม่มีผลกับการหาค่า Root จำนวนครั้งการเปลี่ยนเครื่องหมายของ column แรก จะเท่ากับจำนวน poles ใน right-half plane

19 Example ให้ทดสอบ stability ของระบบข้างบน

20 มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง แสดงว่ามี 2 poles อยู่ใน right-half plane
ระบบ unstable

21 Special Cases of Routh-Hurwitz Criterion
Case 1 มีค่า 0 ใน first column ??Infinity??

22 ถ้ามี 0 แทนด้วย ε แล้ว ใส่ limit ε→0 ทีหลัง

23 พิจารณา 2 cases ε = 0+ และ 0- เช่น กับ จะพบว่าระบบ unstable

24 Alternative approach ใช้หลักการว่า “กลับเศษเป็นส่วนไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย” แล้วให้ 1/s =d จะได้ มองเป็น polynomial แล้วใช้ Routh-Hurwitz กับ polynomial นี้แทน

25 พบว่าไม่มีเลขใน column แรกอันไหนเป็น 0 และมีการเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง
Unstable

26 Case 2 ทั้งแถวเป็น 0 เกิดจากมี odd, even polynomial เป็นส่วนประกอบ
Even polynomial มีแต่เทอม s กำลังคู่ Odd polynomial มีแต่เทอม s กำลังคี่

27 Odd และ Even Polynomial จะมี Roots เป็น Symmetry ดังรูป

28 Example จะแทน row ที่เป็น 0 หมดด้วย Differential ของ auxiliary polynomial

29 แทน row ที่เป็น 0 หมดด้วย

30 เครื่องหมายไม่เปลี่ยน แสดงว่าไม่มี right-half poles
จากกฏ symmetry แสดงว่าต้องเป็น case B ซึ่ง poles อยู่บนแกน jω เกิด row เป็น 0 หลังจาก s4 แสดงว่าเป็น even polynomial กำลัง 4 จากข้อสรุปเหล่านี้ ระบบมี 4 poles บนแกน jω และอีก 1 pole ใน left-half plane Marginally Stable

31 Example

32 เครื่องหมายเปลี่ยน 2 ครั้งก่อนเจอแถวเป็น 0
Unstable

33 MATLAB Commands Roots – Find roots of a polynomial
Poly – Find coefficients of a polynomial from roots