Formulate Mathematical Model Lecturer : Kanjana Thongsanit Silpakorn University

Decision Variable เมื่อคำตอบที่ต้องการ เป็น จำนวนนับ เช่น 1,2,3 ,… เมื่อคำตอบที่ต้องการ เป็น จำนวนนับ เช่น 1,2,3 ,… ต้องจ้างคนจำนวนเท่าไร, เป็นคำตอบ ใช่หรือไม่ใช่ x = {0, 1} 1 เมื่อ product นี้ถูกสั่งให้ผลิต 0 อื่น ๆ

Problem

An employee scheduling problem บริษัทต้องการ จัดตารางงานของพนักงาน โดยที่จากข้อมูลเดิม คือ Day ต้องการพนักงาน (คน) วันอาทิตย์ 18 วันจันทร์ 27 วันอังคาร 22 วันพุธ 26 วันพฤหัส 25 วันศุกร์ 21 วันเสาร์ 19

An employee scheduling problem เวลาในการทำงานคือ 5 วัน หยุด 2 วันติดต่อกัน ค่าแรงปกติอยู่ที่ 655 $ ต่อ สัปดาห์ เนื่องจากพนักงานส่วนใหญ่ ชอบมากกว่าที่จะหยุดวัดเสาร์ หรือวันอาทิตย์ ดังนั้นบริษัทจึงให้เงินพิเศษ 25$ ต่อวัน สำหรับสมาชิกผู้ที่ทำงานในวันนี้ ดังนั้นค่าแรงจึงเป็น

An employee scheduling problem กะ วันหยุด ค่าแรง 1 วันอาทิตย์ และวันจันทร์ 655 + 25 = 680 2 วันจันทร์ และ วันอังคาร 705 3 วันอังคาร และ วันพุธ 4 วันพุธ และ วันพฤหัส 5 วันพฤหัส และ วันศุกร์ 6 วันศุกร์ และ วันเสาร์ 680 7 วันเสาร์ และ วันอาทิตย์ 655

An employee scheduling problem ผู้จัดการต้องการให้มีค่าใช้จ่ายในการจ้างงานต่ำสุด โดยต้องการให้ ได้พนักงานในจำนวนที่ต้องการ คำถามคือ จะกำหนดพนักงานในแต่ละกะอย่างไร Xi = จำนวนพนักงานที่ถูกมอบหมาย ให้ทำงานกะ i เช่น x1 = จำนวนงานที่ถูกถูกมอบหมายให้ทำงานที่กะที่ 1 คือทำงาน 5 วันได้หยุดวันอาทิตย์ และวันจันทร์

An employee scheduling problem Sid อาทิตย์ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัส ศุกร์ เสาร์ Cost: wi กะ 1 (x1) 1 680 กะ 2 (x2) 705 กะ 3 (x3) กะ 4 (x4) กะ 5 (x5) กะ 6 (x6) กะ 7 (x7) 655 No (Rd) worker Required 18 27 22 26 25 21 19

An employee scheduling problem

An employee scheduling problem :จันทร์ :อังคาร :พุธ :พฤหัส :ศุกร์ :เสาร์ :อาทิตย์

Check 1 Using Excel solver, determine the optimal solution

Binary Variables and Logical Conditions สมมุติว่า เรามีผลิตภัณฑ์ 3 ชนิด แต่ต้องการเลือกผลิตได้ไม่เกิน 1 ชนิด x1 + x2 + x3 <= 1 ต้องผลิต 1 ประเภทจากทางเลือกที่มี x1 + x2 + x3 = 1 xi = 1 , ผลิตผลิตภัณฑ์ i xi = 0 , ไม่ผลิตผลิตภัณฑ์ i

Binary Variables and Logical Conditions ผลิตภัณฑ์ที่ 4 จะผลิตได้ก็ต่อเมื่อผลิตภัณฑ์ ที่ 5 ได้ถูกสั่งให้ผลิต x4 <= x5 x4 x5 1

The Fixed-Charge Problem จะเกี่ยวข้องกับ Set up cost เช่น ถ้ามีการผลิต ผลิตภัณฑ์นี้จะมี ค่าใช้จ่ายในการเตรียม line ผลิตเกิดขึ้น ถ้าผลิตผลิตภัณฑ์ ที่ 1 (x1) จะเกิดค่าใช้จ่าย 1000 $ ดังนั้นหมายความว่าถ้า x1 มีค่า มากกว่า 1 (ผลิต) x1 > 0 ก็จะเกิดค่าใช้จ่าย 1000 $

Product 1 Product 2 Product 3 ชม. แรงงาน (hr.) Machining (hr.) 2 3 6 600 Grinding 4 300 Assembly 5 400 Profit($) 48 55 50 Set up cost ($) 1000 800 900

The Fixed-Charge Problem บริษัทผลิต 3 ผลิตภัณฑ์ โดยแต่ละผลิตภัณฑ์ ต้องการชั่วโมงแรงงานตามตาราง และโรงงานมีชั่วโมงแรงงานที่จำกัดตามตาราง แต่ละผลิตภัณฑ์ขายได้กำไรตามที่ระบุในตาราง ถ้าผลิตภัณฑ์ ถูกเลือกก็มี Set up cost เช่น ถ้า ผลิตภัณฑ์ ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิตก็จะ เกิดค่าใช้จ่าย 1000 $ สำหรับผลิตภัณฑ์ ที่ 2,3 คือ 800 และ 900 ตามลำดับ ต้องการหาคำตอบว่าควรจะผลิต อะไร จึงจะทำให้มีกำไรสูงสุด

The Fixed-Charge Problem ให้ xi คือ จำนวนของผลิตภัณฑ์ที่สั่งผลิต e.g. 1,2,3…, integer วิธีการ สร้าง Formulation 1.กำหนด ตัวแปร 1 ตัว เช่น y1 ที่เป็น binary เพื่อที่จะใช้ในการคำนวณค่า setup cost เช่น 1,000y1 ถ้า y1 เป็น 1 แปลว่ามี ค่าใช้จ่าย เกิดขึ้น 1,000 2. สร้างความสัมพันธ์ ระหว่าง ตัวแปร y1 และ xi โดย กำหนด ถ้า x1 ถูกผลิต (x1 > 0 )แล้ว, y1 จะมีค่าเท่ากับ 1

The Fixed-Charge Problem X1 ≤ My1 M = ตัวเลขที่มีค่ามาก ๆ เช่น 10,000 y1 = 1 ถ้า ผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิต 0 ถ้า ผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิต e.g. x1 = 100 100 ≤ 1000y1

The Fixed-Charge Problem 100 ≤ 1000y1 จะเห็นว่าด้วยสมการนี้ ถ้า x มีค่า > 0 , y1 จะมีค่าเป็น 1 ถ้า x มีค่า = 0 หรือไม่ถูกให้ผลิต 0 ≤ 100y1 y1 จะมีค่าเป็น 0 หรือ 1 ก็ได้

The Fixed-Charge Problem Objective หากำไรสูงสุด MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3 เงื่อนไขด้านการผลิต 2x1 + 3x2 + 6x3 ≤ 600 : machining constraint หมายถึง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 2 ชั่วโมง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 2 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 3 ชั่วโมง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 3 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 6 ชั่วโมง โดยจำนวนชั่วโมงที่ผลิตรวมกันต้องไม่เกิน 600 ชั่วโมง

The Fixed-Charge Problem 6x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 : Grinding constraint 5x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 400 : Assembly constraint x1 ≤ M1y1 x2 ≤ M2y2 x3 ≤ M3y3 x1,x2,x3 integer y1,y2,y3 binary

คำถามเกี่ยวกับ M M ก็ควรจะมีขนาดใหญ่อย่างน้อยเท่ากับ ค่าสูงสุดของ xi x1 ≤ 60 y1

คำถามเกี่ยวกับ M จำนวนผลิตสูงสุดของ x1 2x1 + 0 + 0 ≤ 600  X1 ≤ 300 6x1 + 0 + 0 ≤ 300  X1 ≤ 50 5x1 + 0 + 0 ≤ 400  X1 ≤ 80 ค่าสูงสุด ของ x1 ที่เป็นไปตามทุกเงื่อนไขของต้นคือ 50 Max x2 = Min (600/3, 300/3, 400/6) = 66.67 Max x3 = Min (600/6, 300/4, 400/2) = 75

Formulation MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3 ดังนั้นค่า M1 = 50 , M2 = 67 , M3 = 75 MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3 Subject to 2x1 + 3x2 + 6x3 ≤ 600 : machining constraint 6x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 : Grinding constraint 5x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 400 : Assembly constraint x1 ≤ 50y1 x2 ≤ 67y2 x3 ≤ 75y3 x1,x2,x3 integer y1,y2,y3 binary

Check 2 Using Excel solver, determine the optimal solution

Minimum order/ purchase size ถ้ากรณี Fixed charge ที่การซื้อมีการกำหนดปริมาณ ต่ำสุดที่จะผลิต เช่น ถ้ากำหนด x3 ต้องมากกว่า 40 x3 ≤ M3y3 x3 ≥ 40y3 ถ้า x3 = 0 , y3 = 0 ถ้า x3 = 35 , y3 = ? ถ้า x3 = 45 , y3 = 1

Airline hub location problem เป็นปัญหาการจำนวนที่ตั้งศูนย์กลางการบินของสายการบิน โดยบริษัทสายการบินต้องการที่จะตั้งที่ตั้งของศูนย์การบิน โดยต้องการตั้งที่ตั้งจำนวนน้อยสุดซึ่งถ้าตั้ง hub ที่เมืองใด ก็ถือว่า hub นั้น จะรับความต้องการของพื้นที่ใกล้เคียงได้ด้วย เช่น ถ้า ตั้ง hub ที่พื้นที่ 5 เขตที่อยู่ติดกัน ไม่จำเป็นต้องตั้งศูนย์ อีกเพราะสามารถมาใช้ที่พื้นที่ 5 ได้ เราต้องการให้ปริมาณของ hub ที่จะสร้างมีจำนวนน้อยที่สุด xj = 1 ถ้าเมือง j ถูกเลือกเพื่อตั้งศูนย์กลางการบิน = 0 ในกรณีอื่นๆ

Airline hub location problem

Airline hub location problem Sij ที่ตั้งของเมือง ( j ) คลุม(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Subject to

Formulation Subject to

Network Modeling Minimum Cost Network Flow problem Shortest path problem

Minimum Cost Network Flow problem

Cost ในการส่งจาก Newark to Boston = 30 $/item Objective X12 = the number of cars shipped from node 1(Newark) to node 2 (Boston) Cost ในการส่งจาก Newark to Boston = 30 $/item Objective Min Total Cost ?

Minimum Cost Network Flow problem Model

=VLOOKUP(B3,$J$3:$K$10,2) =SUMIF($D$3:$D$13,J3,$A$3:$A$13)-SUMIF($B$3:$B$13,J3,$A$3:$A$13)

Shortest path problem

Shortest path problem

Check 3 Using Excel solver, determine the optimal solution