San Ratanasanya สรร รัตนสัญญา CS, KMUTNB Discrete Mathematics for Computer Science คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ San Ratanasanya สรร รัตนสัญญา CS, KMUTNB

Course Description (คำอธิบายรายวิชา) พื้นฐานและรากฐานต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับทางด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ ตรรกะและการพิสูจน์ เซต ฟังก์ชัน ขั้นตอนวิธี การให้เหตุผลแบบอุปนัยความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิด ทฤษฎีกราฟ โครงสร้างแบบทรี [ ระบบเลขฐาน เมตริกซ์ เครื่องจักรทัวริง ] Course Objectives (จุดมุ่งหมายรายวิชา) เพื่อศึกษาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางคอมพิวเตอร์ เพื่อเป็นพื้นฐานในการศึกษา วิเคราะห์และออกแบบโครงสร้างข้อมูลรวมถึงขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาทางคอมพิวเตอร์ เพื่อเป็นพื้นฐานในการออกแบบหน่วยประมวลผลกลาง และ ชุดคำสั่งของคอมพิวเตอร์

Course Outline (โครงร่างรายวิชา) Tentative Logics and Proofs Sets, Functions, Sequences, and Sums Algorithm, the Integers, and Matrices Induction and Recursion Counting and Advance Counting Techniques Discrete Probability Relations Graphs and Trees Boolean Algebra Modeling Computation

Textbooks Main Text Supplementary Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 6th edition, McGraw-Hill, 2006 Supplementary Any related textbooks

Other Details Office Hours Instructor: TBA TA: TBA Contact Info Class Agreement Assignments Grading Class webpage http://sailom4.cs.kmutnb.ac.th/Members/srs/s2y2008/index_html See Syllabus

What and Why Discrete Math? Discrete หมายความว่า ไม่ต่อเนื่อง (not continuous) สิ่งที่จับต้องได้ นับได้ วัดได้ เป็นจำนวนเต็มหน่วย รู้ปริมาณแน่ชัด เช่น 1, 2, 3,… หรือ 2.1, 2.2, 2.3,… True, False Computer มีวิธีการทำงานแบบ Discrete เราศึกษาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะเป็น Discrete เพื่อเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจการทำงาน การวิเคราะห์และออกแบบวิธีการเพื่อแก้ปัญหาการทำงานของ Computer

Discrete Math in Real World Internet Computer Graphics Image Processing and Computer Vision Computer Security Database Compiler Design Computer Networking AI and Robotics Etc.

Today’s topics Review of Logics and Proofs (Ch. 1) Propositional Logic Propositional Equivalences Predicates and Quantifiers Nested Quantifiers [Rules of Inference] [Introduction to Proofs] [Proof Methods and Strategy]

Propositional Logic : Overview Propositional Logic is the logic of compound statements built from simpler statements using Boolean connectives. Applications: Design of digital electronic circuits. Expressing conditions in programs. Queries to databases & search engines.

Logic เป็นพื้นฐานของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ใช้สำหรับ Design of computing machines/circuits Specification of systems Artificial intelligence Construction of computer program Programming languages

Proof Makes up a correct mathematical argument Once we prove a mathematical statement is true, we call it a theorem Knowing the proof of a theorem makes it possible to modify the result to fit new situations Proofs play an essential role in the development of new ideas

ความสำคัญของ Proof ใน Computer Science Plays essential roles when we verify that computer programs produce the correct output for all possible input values when we show that algorithms always produce correct result when we establish the security of a system when we create artificial intelligence Automated reasoning systems have been constructed that allow computers to construct their own proofs

Sentence (ประโยค) Declarative Sentence – ประโยคบอกเล่า เรากำลังเรียนวิชา Discrete Math Exclamatory Sentence – ประโยคอุทาน โอ้! พระเจ้ายอด มันจอร์จมาก Interrogative Sentence – ประโยคคำถาม วันนี้เป็นวันที่เท่าไหร่ Imperative Sentence – ประโยคยืนยัน, คำสั่ง กรุณาปิดเครื่องมือสื่อสาร ห้ามคุย

What is Proposition ? Definition A proposition (p, q, r, …) is simply a statement (i.e., a declarative sentence) with a definite meaning, having a truth value that’s either true (T) or false (F) (never both, neither, or somewhere in between). [In probability theory, we assign degrees of certainty to propositions. For now: True/False only!] สรุปคือ ในตรรกศาสตร์ proposition (ประพจน์) เป็นประโยคที่มีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ เท่านั้น

Examples of Proposition q: 1+1=4 r: นนทบุรีไม่ใช่เมืองหลวงของประเทศไทย Washington, D.C. is the capital of the United State of America

Examples of NOT Proposition ไปกินข้าวกัน 1 + 1 หากพวกเรากำลังสบาย จงปรบมือพลัน ไผเน่ a + b = 10

Compound Proposition Compound Proposition คือ ประพจน์ หรือประโยคที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์เดี่ยวมากกว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกันโดยใช้ตัวเชื่อมทางตรรกวิทยา

Truth Table Has a row for each of the two possible truth values of a proposition

Negation Operator (¬) ใช้เป็นตัวขยายประโยค Negation of p : ¬p not – ไม่ it is not true that… – มันไม่จริงที่ว่า… Negation of p : ¬p ตัวอย่าง p: วันนี้เป็นวันศุกร์ p: มีคนในห้องนี้อย่างน้อย 10 คน

Truth Table for Negation

Logical Connectives/Operators ตัวเชื่อมทางตรรกวิทยา Conjunction (٨): and และ Disjunction (٧): or หรือ Exclusive Or (): xor Conditional (): if … then ถ้า … แล้ว Biconditional (): if and only if ถ้าและเพียงแต่ถ้า, เมื่อและต่อเมื่อ

Conjunction Definition: Let p and q be propositions. The conjunction of p and q, denoted by p ٨ q, is the proposition “p and q.” The conjunction p ٨ q is true when both p and q are true and is false otherwise.

Truth Table for Conjunction

Example: Conjunction p is the proposition “Today is Friday”. q is the proposition “It is 6 PM”.

Disjunction Definition: Let p and q be propositions. The disjunction of p and q , denoted by p ٧ q, is the proposition “p or q.” The disjunction p ٧ q is false when both p and q are false and is true otherwise.

Truth Table for Disjunction p q T T T T F T F T T F F F

Example: Disjunction p is the proposition “Today is Friday” q is the proposition “It is 8 PM”.

Exclusive Or Definition: Let p and q be propositions. The exclusive or of p and q, denoted by , is the proposition that is true when exactly one of p and q is true and is false otherwise.

Exclusive Or p q T T F T F T F T T F F F

Example – การเลือกใช้ operator ในประโยคภาษาไทย วันนี้ฝนตกและลมแรง ระบายสีด้วยสีแดงหรือสีเหลือง ห้องนี้สำหรับนักศึกษาภาควิชาคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์เท่านั้น เสต็กกับ มันอบหรือขนมปัง

Conditional Statement Definition: Let p and q be propositions. The conditional statement p -> q is the proposition “if p, then q.” The condition statement p -> q is false when p is true and q is false, and true otherwise. A conditional statement is also called an “Implication.”

Truth Table for Conditional p q p ® q T T T T F F F T T F F T

Conditional Statement In the conditional statement p -> q, p is called the hypothesis (or antecedent or premise) and q is called the conclusion (or consequence).

Conditional q, if p if p then q q, when p p only if q q, whenever p p implies q p is sufficient condition for q q is necessary condition for p q, if p q, when p q, whenever p q, provided p

Example ถ้าผมได้รับเลือกเป็นหัวหน้าห้อง, ผมจะเลี้ยงข้าวกลางวันเพื่อนในห้องทุกคน ถ้าคุณสอบได้คะแนนเต็ม 100, คุณจะได้เกรด A ถ้าวันนี้เป็นวันเสาร์, พระอาทิตย์จะตกตอนเย็น conclusion is true, truth value of hypothesis does not matters ถ้าวันนี้เป็นวันเสาร์, พระอาทิตย์จะตกตอนเที่ยง F เฉพาะวันเสาร์ Propositional language is an artificial language.

Biconditional Statement Definition: Let p and q be propositions. The biconditional statement p <-> q is the proposition “p if and only if q.” The biconditional statement p <-> q is true when p and q have the same truth values, and is false otherwise. Biconditional statement is also called bi-implications.

Biconditional Statement p <-> q is true when both the conditional statements p -> q and q -> p are true and is false otherwise.

Biconditional Statement p q q p « T T T T F F F T F F F T

Biconditional Statement p is necessary and sufficient for q if p then q, and conversely p iff q

ทบทวน Logical Operators

Discrete Mathematics for Computer Science

Discrete Mathematics for Computer Science

Discrete Mathematics for Computer Science

Discrete Mathematics for Computer Science

Discrete Mathematics for Computer Science

Precedence of Logical Operators 1 2 3 4 5 6

Example วิธีคิด

Truth Table for Compound Statement q T T F T T T T F T T F F F T F F F T F F T T F F

Truth Table for Compound Statement - ลองทำเอง q r T F

จำนวนแถวในตารางค่าความจริง (Truth Table) ตารางค่าความจริง สำหรับ compound proposition ที่มีตัวแปร propositional variables จำนวน n ตัว จะมีจำนวนแถวเป็น 2n แถว

ตัวอย่างการแปลงประโยคให้อยู่ในรูป Compound Statement ถ้าคุณเป็นนักศึกษาภาควิชาคอมพิวเตอร์และลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง คุณจะสามารถพบอาจารย์ผู้สอนได้ในวันอาทิตย์ กำหนดให้ p คือประพจน์ “คุณเป็นนักศึกษาภาควิชาคอมพิวเตอร์” q คือประพจน์ “คุณลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง” r คือประพจน์ “คุณสามารถพบอาจารย์ผู้สอนได้ในวันอาทิตย์”

ตัวอย่างการนำไปใช้ การระบุ system specification/requirement (hardware/software) for system development Logic and Bit Operations Boolean search: web page searching Logic puzzles

Example: Logical Puzzle บนเกาะแห่งหนึ่งมีคนสองประเภท คือ knights ที่จะพูดแต่ความจริงกับ knaves ที่จะพูดแต่เรื่องโกหก ถ้าเจอคนสองคนที่พูดว่า A: B เป็น knight B: พวกเราทั้งสองคนเป็นคนคนละประเภทกัน ถามว่า A และ B เป็นคนประเภทไหน

วิธีคิด กำหนดให้ สมมติว่า p เป็นจริง (A เป็น knight) q หมายถึง “B เป็น knight” สมมติว่า p เป็นจริง (A เป็น knight) แสดงว่าสิ่งที่ A พูดเป็นความจริงก็คือ B เป็น knight ซึ่งหมายถึง q เป็นจริง เมื่อ q เป็นจริง สิ่งที่ B พูดก็เป็นความจริง (A และ B เป็นคนละประเภทกัน) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น สรุปได้ว่า p จะต้องเป็นเท็จเท่านั้น

วิธีคิด (ต่อ) หาก p เป็นเท็จ นั่นคือ A เป็น knave ดังนั้นสิ่งที่ A พูดไม่เป็นความจริง คือ p หรือ “B เป็น knight” เป็นเท็จ แปลได้ว่า “B เป็น knave” เมื่อ B เป็น knave สิ่งที่ B พูดก็เป็นเท็จ นั่นคือ q หรือ “A และ B เป็นคนละประเภทกัน” เป็นเท็จ ดังนั้น สรุปคำตอบได้ว่า ทั้ง A และ B เป็น knave เหมือนกัน

คำตอบ logic puzzle ข้างต้น ทั้งสองคนเป็น knave

1.2 Propositional Equivalences

ประเภทของ Compound Propositions Definition: A compound proposition that is always true, no matter what the truth values of the propositions that occur in it, is called a tautology. A compound proposition that is always false is called a contradiction. A compound proposition that is neither a tautology nor a contradiction is called a contingency

Example: Tautology p T F

Example: Contradiction F

ความสมมูล Logically Equivalent Definition: The compound propositions p and q are called logically equivalent if is a tautology. The notation or denotes that p and q are logically equivalent.

Logically Equivalent เมื่อ เป็น tautology

การตรวจสอบความสมมูลของประพจน์ ใช้ Truth table

Example: Logical Equivalence

Example: Logical Equivalence

Example: Logical Equivalence Discrete Mathematics for Computer Science

Example: Logical Equivalence

Example: Logical Equivalence Discrete Mathematics for Computer Science

กฎของการสมมูล

De Morgan’s Law พิสูจน์ว่ากฏของ De Morgan เป็นจริง (ใช้ Operation “<-->” แสดงให้เห็นว่าเป็น tautology โดยใช้ truth table)

Important Logical Equivalences Identity Laws Domination Laws

Important Logical Equivalences Idempotent Laws Double Negation Law

Important Logical Equivalences Commutative Laws Associative Law

Important Logical Equivalences Distributive Laws Discrete Mathematics for Computer Science

Important Logical Equivalences Absorption Laws Negation Laws

Example1 จงแสดงว่า compound proposition ต่อไปนี้สมมูลกัน

Example1 (cont.) De Morgan’s Law Double Negation Law Distributive Law Commutative Law for Disjunction Identity Law

Table 7: Logical Equivalences Involving Conditional Statements code C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

Table 8: Logical Equivalences Involving Biconditionals code B1 B2 B3 B4

Example2 จงแสดงว่า เป็น tautology Table 7: C1 De Morgan’s Law Associative and Commutative Law for disjunction Commutative Law for disjunction and Negation law Domination law

Practice: แสดงว่าประโยคต่อไปนี้สมมูลกัน และ

Homework And quiz next section

1.3 Predicate Calculus: Predicates and Quantifiers

Predicate Predicate refers to a property that the subject of the statement can have. x is greater than 3 เขียนแทน “x is greater than 3” ว่า P(x) P(x): Propositional function of P at x Subject (Variable) Predicate

Example กำหนดให้ P(x) หมายถึง “x>3” จงบอกค่าความจริงของ P(4) , P(2) ? กำหนดให้ A(x) หมายถึง “Student x is a man.” จงบอกค่าความจริงของ A(สมชาย) , A(ส้มโอ) กำหนดให้ Q(x,y) หมายถึง “x=y+3.” จงบอกค่าความจริงของ Q(1,2) , Q(3,0)

Quantifiers Express the value of a predicate over a range of elements on a domain. Universal Quantifiers Existential Quantifiers

Definition: Universal Quantifiers The universal quantification of P(x) is the statement “P(x) for all values of x in the domain.” The notation denotes the universal quantification of P(x). Here is called the universal quantifier. We read as “for all x P(x)” or “for every x P(x).” An element for which P(x) is false is called a counterexample of

จำนวนจริง

Example: Universal Quantifier กำหนดให้ P(x) หมายถึง “x+1>x.” จงบอกค่าความจริงของ เมื่อกำหนดโดนเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด กำหนดให้ Q(x) หมายถึง “x<2.” จงบอกค่าความจริงของ เมื่อกำหนดให้โดเมนคือจำนวนจริงทั้งหมด T F

Note Empty Domain: จงหาค่าของ ในโดเมนที่ประกอบด้วยสมาชิกได้แก่ : มีค่าเป็นจริง เนื่องจากไม่มีสมาชิก x ตัวใดในโดเมนที่ทำให้ค่า P(x) เป็น false. ในโดเมนที่ประกอบด้วยสมาชิกได้แก่ : ค่าของ หมายถึง

Example: Universal Quantifier จงหาค่าความจริงของ เมื่อกำหนดให้ P(x) หมายถึง และโดเมนประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 4 F T T T F

Definition: Existential Quantifiers The existential quantification of P(x) is the statement “There exists an element x in the domain such that P(x).” We use the notation for the existential quantification of P(x). Here is called the existential quantifier.

Example: Existential Quantifier กำหนดให้ P(x) หมายถึง “x>3” จงบอกค่าความจริงของ เมื่อกำหนดให้โดเมนเป็นจำนวนจริง กำหนดให้ Q(x) หมายถึง “x=x+1” เมื่อกำหนดโดเมนเป็นจำนวนจริง T F

Note Empty Domain: จงหาค่าของ โดเมนที่ประกอบด้วย : มีค่าเป็น false สำหรับ P(x) ใดๆ เพราะไม่มีสมาชิกใดที่ทำให้ P(x) มีค่าเป็น true โดเมนที่ประกอบด้วย : ค่าของ สามารถหาได้จาก

Example: Existential Quantifier จงหาค่าความจริงของ เมื่อกำหนดให้ P(x) หมายถึง และกำหนดโดเมนประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 4 T F F F T

Truth Value Statement When True When False P(x) is true for every x. There is an x for which P(x) is false. There is an x for which P(x) is true. P(x) is false for every x.

Precedence of Quantifiers Quantifiers and have higher precedence than all logical operators from propositional calculus

Logical Equivalences Involving Quantifiers: Definition Statement involving predicates and quantifiers are logically equivalent if and only if they have the same truth value no matter which predicates are substituted into these statements and which domain of discourse is used for the variables in these propositional functions. We use the notation S Ξ T to indicate that two statement S and T involving predicates and quantifiers are logically equivalent.

Logical Equivalences Involving Quantifiers: Example

Negating Quantified Expressions

De Morgan’s Laws for Quantifiers

De Morgan’s Laws for Quantifiers

De Morgan’s Laws for Quantifiers

1.4 Nested Quantifiers

Nested Quantifiers Q(x)

Order of Quantifiers The order of the quantifiers is important, unless all the quantifiers are universal quantifiers or all are existential quantifiers

Order of Quantifiers Not equivalent to

Example T F กำหนดให้ Q(x,y) หมายถึง “x+y=0” จงบอกค่าความจริงของ statement ต่อไปนี้ T F

Discrete Mathematics for Computer Science Note Discrete Mathematics for Computer Science

Exercise Write truth table for Find if the following pairs are logically equivalent Using truth table: and Using equivalent rules: and