การแจกแจงปกติ

ค่ามาตรฐาน สถิติในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง ควรพิจารณา 3 เรื่อง คือ ค่ากลาง การกระจาย และลักษณะการแจกแจงของข้อมูล ในหน่วยการเรียนรู้นี้จะกล่าวถึงการแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติที่เกี่ยวข้องกับค่ามาตรฐาน (standard score or Z-score) ซึ่งมีประโยชน์หลายประการ เช่น ใช้ในการวัดตำแหน่งที่หรือตำแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล ใช้ในการเปรียบเทียบข้อมูล และใช้เป็นพื้นฐานของการคำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติและความน่าจะเป็น

การเปรียบเทียบค่าของข้อมูลตั้งแต่สองค่าขึ้นไปที่มาจากข้อมูลคนละชุดว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่บางครั้งไม่สามารถเปรียบเทียบได้โดยตรง เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เท่ากัน จำเป็นต้องแปลงค่าของข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรค่ามาตรฐาน ถ้า xi เป็นค่าที่ i ของตัวแปร x แล้ว ค่ามาตรฐานของ xi คือ

การแปลงค่าของข้อมูลของตัวแปรแต่ละตัวให้เป็นค่ามาตรฐาน จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐาน เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ค่ามาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้น ๆ กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น เป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่ามาตรฐานจึงเป็นค่าวัดตำแหน่งของข้อมูล หรือค่าวัดตำแหน่งสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 นักเรียนคนหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษซึ่งมีคะแนนเต็มวิชาละ 100 คะแนน และผลการวิเคราะห์ข้อมูลดังตาราง จงเปรียบเทียบดูว่านักเรียนคนนี้เรียนวิชาใดดีกว่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 ในการสอบคณิตศาสตร์ประจำภาคเรียน สมัยสอบได้ 65 คะแนน สมรสอบได้ 54 คะแนน ถ้าคะแนนมาตรฐานของสมัยและสมรเป็น 2.6 และ 0.4 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้ สมัยสอบได้ 65 คะแนน คะแนนมาตรฐานเป็น 2.6

สมรสอบได้ 54 คะแนน คะแนนมาตรฐานเป็น 0.4 ดัง นั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 52 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบคือ 5 คะแนน ตอบ

โค้งปกติ (Normal Curve) คุณสมบัติ 1. มีลักษณะสมมาตรเป็นรูประฆังคว่ำ 2. Mean, Median, Mode อยู่บนจุดเดียวกัน 3. เกิดจากจำนวน Case ที่นับไม่ถ้วน 4. สัดส่วนของพื้นที่ภายใต้โค้งปกติในแต่ละช่วงของคะแนนมาตรฐานที่แยกออกจาก Mean ต่อพื้นที่ทั้งหมดมีสัดส่วนที่แน่นอน

โค้งปกติ (Normal Curve)

Proportions under the normal curve 34.13% 34.13% 13.6% 13.6% 2.13% 2.13% - 3 s -2 s -s X +s +2 s +3 s

หมายความว่า + 1 s ครอบคลุมพื้นที่ 68.26 ระยะห่างจาก Mean แต่ละหน่วยของ S หรือ S.D. นี้เราเรียกว่าคะแนนมาตรฐาน (Standard Score หรือ Z-Score)

ต.ย. ชุมชนแห่งหนึ่งประชากรมีรายได้เฉลี่ยเดือนละ 10,000 บาท มีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2,000 บาท อยากทราบว่าถ้าการกระจายรายได้ของคนในชุมชนนี้เป็นแบบปกติ (ก) จะมีประชากรร้อยละเท่าใดที่มีรายได้ระหว่าง 6,000 – 10,000บาท และ (ข) จะมีประชากรร้อยละเท่าใดที่มีรายได้ระหว่าง 11,000 – 15,000 บาท

ข้อ (ก) 47.73% X X i 6.000 10.000

หาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 6,000 - 10,000 โดยการหา พ. ท หาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 6,000 - 10,000 โดยการหา พ.ท. ภายใต้โค้งปกติ (โดยการหาคะแนนมาตรฐาน) Z = 6,000 - 10,000 2,000 = - 2 (เปิดค่าในตาราง Z จะได้ 0.4772) พ.ท. = 47.72 % ของพื้นที่ทั้งหมด

47.73% 47.73% X X i 6.000 10.000

ข้อ (ข) X 10.000 11.000 15.000

หาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 11,000 - 15,000 โดยการหา พ. ท หาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 11,000 - 15,000 โดยการหา พ.ท. ภายใต้โค้งปกติระหว่างคะแนน 10,000 - 15,000 ก่อน (โดยการหาคะแนนมาตรฐาน) Z1 = 15,000 - 10,000 2,000 = 2.5 (เปิดค่าในตาราง Z จะได้ 0.4938) พ.ท. = 49.38 % ของพื้นที่ทั้งหมด

49.38 % X 10.000 15.000

จากนั้นจึงหาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 10,000 - 11,000 โดยการหา พ. ท จากนั้นจึงหาประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 10,000 - 11,000 โดยการหา พ.ท. ภายใต้โค้งปกติ (โดยการหาคะแนนมาตรฐาน) Z2 = 11,000 - 10,000 2,000 = 0.5 พ.ท. = 19.15 % ของพื้นที่ทั้งหมด

X 10.000 11,000

จากนั้นจึงนำพื้นที่ ภายใต้โค้งปกติระหว่างรายได้ 10,000-11,000 (19 จากนั้นจึงนำพื้นที่ ภายใต้โค้งปกติระหว่างรายได้ 10,000-11,000 (19.15%) ลบออกจากพื้นที่ภายใต้โค้งปกติระหว่างรายได้ 10,000-15,000 (49.38%) จะทำให้ได้พื้นที่ภายใต้โค้งที่เราต้องการ พื้นที่ภายใต้โค้งระหว่าง 11,000 - 15,000 บาท = 49.38 - 19.15 = 30.23% ของพื้นที่ทั้งหมด

19.15 X 10.000 11,000

19.15 X 10.000 11.000 15.000

30.23% X 10.000 11.000 15.000

แบบฝึกหัด จากโจทก์เดิม จงหา (ก) ประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 7,000-9,000 บาท และ (ข) ประชากรที่มีรายได้ระหว่าง 12,000-16,000 บาท

ตัวอย่าง ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเป็น 69.5 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 2.5 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนสอบได้คะแนนต่ำกว่า 65 คะแนน กี่เปอร์เซ็นต์

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง -1.8 < Z < 0 เท่ากับ 0.4641 หาพื้นที่ตรงนี้มีค่าเท่าไหร่ 0.4641 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง -1.8 < Z < 0 เท่ากับ 0.4641 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง Z < -1.8 เท่ากับ 0.5 – 0.4641 = 0.0359 ดังนั้น มีนักเรียนสอบได้คะแนนต่ำกว่า 65 คะแนน เท่ากับ 3.59% ตอบ

ตัวอย่าง น้ำหนักสุทธิของกระป๋องนมที่ผลิตโดยบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีน้ำหนักสุทธิเฉลี่ยเป็น 15.00 กรัม ถ้ากระป๋องที่มีน้ำหนักสุทธิน้อยกว่า 14.40 กรัม มีอยู่ 30.85% จงหาความแปรปรวนของน้ำหนักสุทธิของกระป๋องนมที่ผลิตโดยบริษัทนี้

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในช่วง x < Z < 0 เท่ากับ 0. 5000 – 0 จากตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ A = 0.1915 จะได้ Z = 0.50 ค่ามาตรฐานที่ตรงกับ x คือ -0.50 ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ำหนักสุทธิของกระป๋องนมที่ผลิตเท่ากับ S2 = (1.2)2 = 1.44 ตอบ

เรื่องเก่าเอามาเล่าใหม่ ศึกษาให้เข้าใจ อย่าลืมสูตรที่จะเอามาใช้