บทที่ 6 โปรแกรมเชิงเส้น Linear Programming ภาคการศึกษา 1/2552 อ.นัทธปราชญ์ นันทิวัฒน์กุล

ประเด็นบทที่ 6 ลักษณะของปัญหา ประโยชน์ของโปรแกรมเชิงเส้น ประเด็นบทที่ 6 ลักษณะของปัญหา ประโยชน์ของโปรแกรมเชิงเส้น การสร้างแบบจำลองโปรแกรมเชิงเส้น การแก้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้น ปัญหาควบคูในโปรแกรมชิงเส้น

ลักษณะของปัญหา โปรแกรมเชิงเส้น(linear programming) เป็นเทคนิควิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรการผลิตได้แก่ ที่ดิน เงินทุน แรงงาน และผู้ประกอบการ ในการผลิตสินค้าหรือบริการของหน่วยการผลิตภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด วิธีการนี้จึงถูกนำไปใช้ในภาคธุรกิจสำหรับการจัดการปัจจัยการผลิต ปัญหาของหน่วยผลิตที่ต้องใช้วิธีการโปรแกรมเชิงเส้นในการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการจัดสรรทรัพยากรการผลิตภายใต้กระบวนการผลิต ตามเป้าหมายของหน่วยผลิต

ประโยชน์ของโปรแกรมเชิงเส้น 1) ก่อให้เกิดประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจของประเทศ จากการใช้ปัจจัยการผลิตที่มีอยู่อย่างจำกัดให้เกิดประโยชน์สูงสุด 2) เพิ่มศักยภาพในการแข่งขันทางเศรษฐกิจระหว่างประเทศ 3) เสริมศักยภาพในการแข่งขันของหน่วยผลิต จากการผลิตที่มีประสิทธิภาพ 4) ลดการสูญเสีย(ค่าเสียโอกาส)ในกระบวนการผลิต 5) เพิ่มรายได้ ลดค่าใช้จ่ายของหน่วยผลิต

การสร้างแบบจำลองโปรแกรมเชิงเส้น แบบจำลองโปรแกรมเชิงเส้นมีโครงสร้างที่สำคัญ 2 ส่วนคือ 1) เป้าหมายหลัก มีได้ 1 เป้าหมาย ได้แก่ ค่าสูงสุด(Maximinzed) หรือ ค่าต่ำสุด(Minimized) 2) เงื่อนไข มีได้หลายเงื่อนไข 3) ลักษณะของสมการเงื่อนไข เป็นอสมการ

การแก้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้น วิธีกราฟ(Graphic Approach) และ วิธีการซิมเพลกซ์(Simplex Algorithm)

ตัวอย่าง สุธิดาเปิดร้านขายเบเกอรี่ A และคิดจะเพิ่มรายการอาหารให้มากขึ้น โดยเห็นว่าจะเพิ่มเค้กเป็น 4 ชนิดจากเดิมที่มีเพียง 1 ชนิด และเพิ่มคุกกี้เป็น 8 ชนิดจากเดิม 4 ชนิด ทั้งนี้ร้านขายเบเกอรี A ต้องใช้แป้งในการทำเค้ก 30 % และ 40% ในการทำคุกกี้ ส่วนที่เหลือใช้ในการทำเบเกอรี่ประเภทอื่นๆ ร้านขายเบเกอรี A ต้องใช้น้ำตาลในการทำเค้ก 45 % และ 30% ในการทำคุกกี้ ส่วนที่เหลือใช้ในการทำเบเกอรี่ประเภทอื่นๆ ร้านขายเบเกอรี A ต้องใช้เวลาในการทำเค้ก 0.5 เท่าของเวลาในการทำคุกกี้และคุกกี้จะใช้เวลาเป็น 2.5 เท่าของเบเกอรี่ประเภทอื่น คุกกี่อื่นๆจะใช้เวลา 1 ชั่วโมง ทั้งนี้เวลาทั้งหมด 500 ชม. ผู้ประกอบการประมาณการว่าจะมีรายได้เค้กเฉลี่ยชิ้นละ 50 บาท และคุกกี่จะมีรายได้เฉลี่ยชิ้นละเป็น 2/5 เท่าของเค้ก

K = ? C = ? Objective Max. TR = 50K + (2/5)x(50)xC สิ่งที่ผู้ประกอบการต้องการคือ จำนวนที่ควรผลิตแล้วทำให้ได้รายได้สูงที่สุด K = ? C = ?

แก้ไขสมการ Objective Max. TR - 50K - 20C = 0 TR = 0 + 50K + 20C

การหาผลเฉลยด้วยกราฟ K 3 1 A 300 2 B C C 300

Ans.

การหาผลเฉลยด้วยวิธีการ Simplex Method Objective Max. TR - 50K - 20C = 0 TR = 0 + 50K + 20C

ตาราง Simplex

สมาชิกหลัก แถวนอนหลัก แถวตั้งหลัก Min. and element Min. -333.33 = 100/-0.3 -333.33 = 100/-0.3 สมาชิกหลัก -400 = 500/-1.25 แถวนอนหลัก Min. and element Min.

สมาชิกหลักใหม่ = 1 / สมาชิกหลัก 4000 = 0 – (500 x 20)/-2.5 -8 = 20/(-2.5) 0.16=(-0.4)/(-2.5) 0.12=(-0.3)/(-2.5) Min. and element Min. 200 = 500 -0.5 = -1.25 -(-2.5) -(-2.5) -0.4 = 1/(-2.5) สมาชิกหลักใหม่ = 1 / สมาชิกหลัก สมาชิกใหม่แถวตั้งหลัก = สมาชิกเดิม / สมาชิกหลัก สมาชิกใหม่แถวนอนหลัก = สมาชิกเดิม / - (สมาชิกหลัก) สมาชิกใหม่ที่เหลือ = สมาชิกเดิม - (ผลคูณทแยงมุมตรงกันข้ามของ แถวตั้งหลักกับแถวนอนหลัก) / สมาชิกหลัก

ตาราง Simplex ขั้นที่ 2 ตาราง Simplex ขั้นที่ 3

ตอบ ร้านขายเบเกอรี่ A Surplus ควรผลิตเค้ก 200 ชิ้น คุกกี้ 100 ชิ้น ควรผลิตเค้ก 200 ชิ้น คุกกี้ 100 ชิ้น มีรายได้สูงสุด 12,000 บาท โดยจะใช้เวลา 500 ชม. ใช้แป้ง 100 กก. แต่จะใช้น้ำตาลเกิน 20 กก. Surplus

ปัญหาควบคูในโปรแกรมชิงเส้น 1) กำหนดปัญหาเบื้องต้นของโปรแกรมเชิงเส้น โดยให้พิจารณาตัวแปร ค่าคงที่ ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเป้าหมายและอสมการเงื่อนไข 2) กำหนดปัญหาควบคู่ในลักษณะที่ตรงข้าม กล่าวคือ

ปัญหาเบื้องต้น ปัญหาควบคู่ เป้าหมายหาค่าสูงสุด  เป้าหมายหาค่าต่ำสุด เป้าหมายหาค่าต่ำสุด  เป้าหมายหาค่าสูงสุด ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเป้าหมาย  ค่าคงที่ของอสมการเงื่อนไข ค่าคงที่ของอสมการเงื่อนไข  ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเป้าหมาย