ลำดับเรขาคณิต Geometric Sequence

ลำดับเรขาคณิต ( Geometric Sequence ) บทนิยาม ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนระหว่าง พจน์ที่ n+ 1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน สำหรับจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวนี้ว่า อัตราส่วนร่วม เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r ให้ 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , …., 𝑎 𝑛 เป็นลำดับเรขาคณิต นั่นคือ r = 𝑎 2 𝑎 1 = 𝑎 3 𝑎 2 = 𝑎 4 𝑎 3 = … = 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 เช่น ลำดับ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , … 2 1 =2 4 2 =2 8 4 =2 16 8 =2 จะได้ว่าเป็นลำดับเรขาคณิต มี r = 2

จะได้ว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 ซึ่งจะได้ว่า 𝑎 1 = 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑟 𝑎 3 = 𝑎 2 𝑟= 𝑎 1 𝑟 2 𝑎 4 = 𝑎 3 𝑟= 𝑎 1 𝑟 3 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 𝑟= 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 จะได้ว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 เมื่อ 𝑎 1 เป็นพจน์ที่ 1 ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ r เป็นอัตราส่วนร่วมที่ไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 1 จงหาห้าพจน์แรกของลำดับเรขาคณิต ที่มี 𝑎 1 =3และ r=2 วิธีทำ จาก 𝑎 1 =3 𝑎 2 =3×2=6 𝑎 3 =6×2=12 𝑎 4 =12×2=24 𝑎 5 =24×2=48 ดังนั้น ห้าพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ 3, 6,12, 24และ 48

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตที่มี 16 เป็นพจน์ที่ 5 และ มี 2 เป็นอัตราส่วนร่วม วิธีทำ จาก 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 (พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต) 𝑎 5 = 𝑎 1 𝑟 5−1 16= 𝑎 1 2 4 16 16 = 𝑎 1 1= 𝑎 1 ดังนั้น พจน์แรกของลำดับ คือ 1

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, 1 2 , 1 4 , … จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิต 1, 1 2 , 1 4 , … วิธีทำ จาก 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 (พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต) 𝑎 10 = 𝑎 1 𝑟 10−1 𝑎 10 =1× 1 2 9 𝑎 10 = 1 2 9 ดังนั้น พจน์ที่ 10 ของลำดับ คือ 1 2 9 หรือ 1 512

ตัวอย่างที่ 4 ลำดับเรขาคณิต 8, 4, 2, … , 1 16 จงหาว่าลำดับนี้มีกี่พจน์ ลำดับเรขาคณิต 8, 4, 2, … , 1 16 จงหาว่าลำดับนี้มีกี่พจน์ วิธีทำ จากโจทย์ 𝑎 1 = 8 และ r = 4 8 = 1 2 จาก 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 (พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต) 1 16 =8 1 2 𝑛−1 1 2 4 × 1 2 3 = 1 2 𝑛−1 1 2 7 = 1 2 𝑛−1 จึงได้ว่า 7 = n-1 n = 8 ดังนั้น ลำดับนี้มี 8 พจน์

ตัวอย่างที่ 5 ดังนั้น พจน์ที่ 8 คือ 2× 3 2 7 หรือ 3 7 2 6 ถ้าพจน์ที่ 2 และ พจน์ที่ 5 ของลำดับเรขาคณิต มีค่าเท่ากับ 3 และ 81 8 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 8 ของลำดับนี้เท่ากับเท่าใด วิธีทำ จาก 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛−1 (พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต) จะได้ 𝑎 2 = 𝑎 1 𝑟 นั่นคือ 3 = 𝑎 1 𝑟 ………………… และ 𝑎 5 = 𝑎 1 𝑟 4 นั่นคือ 81 8 = 𝑎 1 𝑟 4 ………………… นำ    ได้ 27 8 = 𝑟 3 นั่นคือ 𝑟= 3 2 จาก 𝑟= 3 2 แทนค่าใน  จะได้ 𝑎 1 =2 นั่นคือ 𝑎 8 =2× 3 2 7 ดังนั้น พจน์ที่ 8 คือ 2× 3 2 7 หรือ 3 7 2 6

ทบทวนความรู้

ยังไม่ถูกค่ะ ยังไม่ถูกนะคะ ถูกต้องค่ะ ลองคิดอีกทีนะคะ ข้อ 1 ลำดับในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต a. 2, 4, 8, 16, 32, … ยังไม่ถูกค่ะ b. 3, 9, 17, 81, 243, … ยังไม่ถูกนะคะ c. 10, 20, 30, 40, 50, … ถูกต้องค่ะ d. -1, -4, -16, -64, -256, … ลองคิดอีกทีนะคะ ข้อถัดไป

ยังไม่ถูกค่ะ ยังไม่ถูกนะคะ ลองคิดอีกทีนะคะ ถูกต้องค่ะ ข้อ 2 จากลำดับเรขาคณิต 2, 6, 18, 54, … ข้อใดกล่าวถูกต้อง a. มีอัตราส่วนร่วม (r) เท่ากับ 2 ยังไม่ถูกค่ะ b. 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 ยังไม่ถูกนะคะ c. 𝑎 5 ÷ 𝑎 1 = 54 ลองคิดอีกทีนะคะ d. พจน์ที่ 8 มีค่าเท่ากับ 4,374 ถูกต้องค่ะ ข้อถัดไป

ถูกต้องค่ะ ยังไม่ถูกนะคะ ลองคิดอีกทีนะคะ ยังไม่ถูกค่ะ ข้อ 3 162 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับเรขาคณิต 2, -6, 18, … a. พจน์ที่ 5 ถูกต้องค่ะ b. พจน์ที่ 6 ยังไม่ถูกนะคะ c. พจน์ที่ 7 ลองคิดอีกทีนะคะ d. พจน์ที่ 8 ยังไม่ถูกค่ะ ข้อถัดไป

ข้อ 4 ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีพจน์ที่ 7 เท่ากับ 256 และ มีพจน์ที่ 5 เท่ากับ 64 จงหาอัตราส่วนร่วม (r) และพจน์ที่ 1 ของลำดับเรขาคณิตนี้ เฉลย r =  2 และ 𝒂 𝟏 =𝟒 ข้อถัดไป

ข้อ 5 ผลบวกของลำดับเรขาคณิต 3 พจน์ มีค่าเท่ากับ 21 2 และผลคูณของพจน์ทั้งสามมีค่าเท่ากับ 27 แล้วพจน์ที่มี ค่ามากที่สุดมีค่าเท่าใด เฉลย มีค่าเท่ากับ 6

นักเรียนฝึกทำแบบฝึกหัด ในเอกสารประกอบการเรียนนะคะ