โปรดคลิกเมื่ออ่านจบแต่ละบรรทัด MA101: Fundamental Mathematics การทบทวนวิชา MA101: Fundamental Mathematics เรื่อง การดำเนินการของเซต สวัสดีครับ นักศึกษาที่รัก วันนี้ครูจะมาทบทวน เรื่อง การดำเนินการของเซต ครูหวังว่านักศึกษาคงได้ศึกษารายละเอียดในชั้นเรียนมาบ้างแล้ว เวลานี้จึงเป็นเวลาของการทบทวน แต่ถ้านักศึกษายังไม่เคยเรียนมาก่อน ครูก็หวังว่า หลังจากเรียนจบในครั้งนี้แล้ว นักศึกษาจะสามารถเรียนในชั้นเรียนได้อย่างมีประสิทธิภาพ หมายถึง นักศึกษาจะสามารถทำความเข้าใจคำบรรยายในชั้นเรียนได้อย่างรวดเร็ว ประโยชน์ของเรื่องนี้มีอยู่ด้วยกันหลายอย่าง ประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ เราสามารถนำหลักการที่ได้เรียนนี้ไปใช้ในการค้นหาข้อความบน internet ซึ่งจะมีประโยชน์ในการค้นคว้าและการวิจัย โดยผ่านโปรแกรมการค้นหาที่เรียกว่า Search engines ซึ่งครูจะได้นำมาแสดงในตอนท้ายต่อไป ก่อนอื่นครูขอทบทวนเรื่องเซตก่อน เซตคืออะไร เขียนและอ่านได้อย่างไร เพื่อจะได้นำไปสู่เรื่อง การดำเนินการของเซตต่อไป พร้อมหรือยังครับ ถ้าพร้อมแล้วก็ละจากใบหน้าครูไปสู่บทเรียนได้ ณ บัดนี้

เซต คือ กลุ่ม ของ สิ่งของ ชื่อเซต: A, B, C, … , Z สิ่งของหรือสมาชิก: a, b, c, ... , z เซต คือ กลุ่ม ของ สิ่งของ อ่านว่า a เป็นสมาชิกของเซต A  a A a B  อ่านว่า a ไม่เป็นสมาชิกของเซต B { } วงเล็บที่ใช้ในเรื่องของเซต สมาชิกซ้ำกันให้นับครั้งเดียว {1, 2, 2, 3, 3, 4} เซต คือ กลุ่มของสิ่งของ นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ ได้แก่ A, B, C, … , Z เป็นชื่อกลุ่มหรือเซต ใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก ได้แก่ a, b, c, ... , z เป็นสิ่งของหรือสมาชิกของเซต ใช้สัญลักษณ์  อ่านว่า เป็นสมาชิกของ ดังนั้น เขียน a  A จึงอ่านว่า a เป็นสมาชิกของเซต A ใช้สัญลักษณ์  อ่านว่า ไม่เป็นสมาชิกของ ดังนั้น เขียน a  B จึงอ่านว่า a ไม่เป็นสมาชิกของเซต B ใช้วงเล็บปีกกา คือ { } เป็นสัญลักษณ์ของเซต และในการเขียนเซตโดยวิธีการแจกแจง เราจะคั่นสมาชิกแต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค “,” หากมีสมาชิกซ้ำกันเรานิยมเขียนตัวที่ซ้ำเพียงครั้งเดียว เช่น A = {1, 2, 2, 3, 3, 4} ซึ่ง 2 และ 3 ซ้ำกัน ดังนั้น เขียนได้ดังนี้ A = {1, 2, 2, 3, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} เซตย่อยและเซตย่อยแท้ ให้ A, B เป็นเซตใดๆ ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B หรือสมาชิกทุกตัวของ A เป็นส่วนหนึ่งของ B เรียกว่า A เป็นเซตย่อยหรือสับเซตของ B เขียน A  B แต่ถ้า A  B และจำนวนสมาชิกของ A น้อยกว่าจำนวนสมาชิกของ B แล้วเราเรียกว่า A เป็นเซตย่อยแท้หรือ proper สับเซตของ B เขียน A  B = {1, 2, 3, 4} A  B เช่น {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4} A  B เช่น {1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4}

เรียกว่า การดำเนินการของเซต แผนภาพเวนน์ U A B เลขจำนวน ใช้     เช่น 2  3 = 5 การดำเนินการของเซต เรียกเซตที่ครอบคลุมสมาชิกทุกตัวของเซตที่เรากำลังพิจารณาว่า เอกภพสัมพัทธ์ เรียกสั้นๆว่า เอกภพ เขียนตัวยู (U) แทน ซึ่งมาจากคำ Universe และเพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจเรื่องเซต เรามักเขียนภาพแทนเซต ซึ่งเรียกว่า แผนภาพเวนน์ ตามคนชื่อ John Venn นายเวนน์คนนี้แกนิยมใช้วงกลมหรือวงรี แทนเซตทั่วไป และสี่เหลี่ยม แทน U โดยเขียนยูให้ครอบคลุมเซตอื่นๆที่กำลังพิจารณาในขณะนั้น ในสมัยเด็กๆ ตอนที่นักศึกษาเรียนเรื่องเลขนั้น เลข 2 ตัวใดๆ เราสามารถดำเนินการเรื่องเลขได้ 4 เรื่องคือ การบวก ลบ คูณ และ หาร เช่น 2+3 = 5 หรือ 2x3 = 6 เป็นต้น สำหรับเรื่องเซตก็มีวิธีการของมันโดยเฉพาะ โดยเซต 2 ตัวใดๆ เราสามารถดำเนินการได้ 4 เรื่อง เช่นเดียวกันคือ ส่วนร่วม สัญลักษณ์ที่ใช้คล้ายยูหงาย ส่วนรวม สัญลักษณ์ที่ใช้คล้ายยูคว่ำ ผลต่าง สัญลักษณ์ที่ใช้คือเครื่องหมายลบ และ ส่วนเติมเต็ม สัญลักษณ์ที่ใช้คือ ขีด เราเรียกการนำ 2 เซตใดๆมาดำเนินการกันเพื่อให้ได้เซตที่ 3 ว่า การดำเนินการของเซต ในโอกาสนี้ครูจะได้ทบทวน 4 เรื่องดังกล่าวนี้ 2  3 = 6 เป็นต้น เซต ใช้     เรียกว่า การดำเนินการของเซต

แผนภาพเวนน์สำหรับใช้ประกอบคำบรรยาย U 1 2 3 4 A B A = {1, 2} B = {2, 3} เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ เราจะพิจารณาแผนภาพเวนน์ ซึ่งประกอบด้วยเซต A, B, U ต่อไปนี้ จากแผนภาพนี้ เซต A ประกอบด้วยสมาชิก 1 และ 2 คือ A = {1, 2} เซต B ประกอบด้วยสมาชิก 2 และ 3 คือ B = {2, 3} เซต U ประกอบด้วยสมาชิก 1 2 3 และ 4 คือ U = {1, 2, 3, 4} เราจะใช้แผนภาพนี้เพื่อศึกษาการดำเนินการของเซตทั้ง 4 เรื่องดังต่อไปนี้ U = {1, 2, 3, 4}

1. ส่วนร่วม: Intersection A  B = {2} 1. ส่วนร่วม คือ การอยู่ร่วมกันของสมาชิก ส่วนร่วมมาจากคำ intersection ใช้สัญลักษณ์คล้ายยูคว่ำคือ  มีความหมายดังนี้ A  B = เซตของสมาชิกที่อยู่ทั้งในเซต A และเซต B พร้อมกัน ตามแผนภาพคือ {2} ดังนั้น A  B = {2} ข้อสังเกต ส่วนร่วมของ A กับ B และ ส่วนร่วมของ B กับ A มีความหมายเหมือนกัน ดังนั้น A  B = B  A ข้อสังเกต A  B = B  A

2. ส่วนรวม: Union A  B = {1, 2, 3} ข้อสังเกต A  B = B  A 2. ส่วนรวม คือ การอยู่รวมกันของสมาชิก ส่วนรวมมาจากคำ union ใช้สัญลักษณ์คล้ายยูหงายคือ  มีความหมายดังนี้ A  B = เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซต A หรือ เซต B หรือ อยู่พร้อมกันทั้งสองเซต ตามแผนภาพคือ {1, 2, 3} ดังนั้น A  B = {1, 2, 3} ข้อสังเกต A รวมกับ B และ B รวมกับ A มีความหมายเหมือนกัน ดังนั้น A  B = B  A ข้อสังเกต A  B = B  A

3. ผลต่าง: Difference A - B = {1} B - A = {3} ข้อสังเกต A - B  B - A 3. ผลต่าง คือ การไม่อยู่ในอีกเซตหนึ่ง หรือ เซตลบกัน ผลต่างมาจากคำ difference ใช้เครื่องหมายลบคือ - มีความหมายดังนี้ A - B = เซตของสมาชิกที่อยู่ใน A และไม่อยู่ใน B ตามแผนภาพซ้ายคือ {1} ดังนั้น A - B = {1} B - A = เซตของสมาชิกที่อยู่ใน B และไม่อยู่ใน A ตามแผนภาพขวาคือ {3} ดังนั้น B - A = {3} ข้อสังเกต A ลบ B กับ B ลบ A ให้ผลลัพธ์ต่างกัน ดังนั้น (A – B)  (B – A) ข้อสังเกต A - B  B - A

4. ส่วนเติมเต็ม : Complement A/ = {3, 4} B/ = {1, 4} 4. ส่วนเติมเต็ม คือ เมื่อเติมสมาชิกที่เหลือทั้งหมดแล้วมันจะเต็มยูพอดี ส่วนเติมเต็มมาจากคำ complement เขียน A/ หรือ Ac มีความหมายดังนี้ A/ = เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซต U และไม่อยู่ใน A complement ของ A ตามแผนภาพซ้ายคือ {3, 4} ดังนั้น A/ = {3, 4} B/ = เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซต U และไม่อยู่ใน B complement ของ B ตามแผนภาพขวาคือ {1, 4} ดังนั้น B/ = {1, 4} ข้อสังเกต A  A/ = {1, 2}  {3, 4} = {1, 2, 3, 4} = U ข้อสังเกต A  A/ = {1, 2}  {3, 4} = {1, 2, 3, 4} = U

  / = U มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม มี  เติม / แล้วเต็ม U หลักคิด มี  เติม / แล้วเต็ม U การเติมเต็มให้ชีวิต บางคนเติมชีวิตให้เต็มด้วยการไปวัด ไปทะเล น้ำตก บางคนก็ไป CENTERPOINT, RCA นักศึกษาจะเลือกเติมแบบใด ก็ขอให้สอบเสร็จก่อนนะครับ   / = U

มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 1 = {1, 3, 4} (A  B) = {2} (A  B) / มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 1 (AB) / เริ่มแรก พิจารณา AB ซึ่งได้สมาชิกเป็น 2 ดังรูปซ้ายมือ สมาชิกที่เหลือคือ 1, 3, 4 ดังนั้น (AB) / = {1, 3, 4} ดังรูปขวามือ ข้อสังเกต (A  B)  (A  B) / = U ข้อสังเกต (A  B)  (A  B) / = U

มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 2 = {2, 3, 4} (A - B) = {1} (A - B) / มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 2 (A - B) / หลักคิด พิจารณา U = {1, 2, 3, 4} และพิจารณา (A - B) ={1} แล้วตัด 1 ใน U ออก ดังนั้น (A - B) / = {2, 3, 4} ดังภาพทางขวามือ ข้อสังเกต (A - B)  (A - B) / = U ข้อสังเกต (A - B)  (A - B) / = U

มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 3 = {1, 2, 4} (B - A) = {3} (B - A) / มาสนุกกับส่วนเติมเต็ม 3 (B - A) / หลักคิด พิจารณา U = {1, 2, 3, 4} และพิจารณา (B - A) ={3} แล้วตัด 3 ใน U ออก ดังนั้น (B - A) / = {1, 2, 4} ดังภาพทางขวามือ ข้อสังเกต (B - A)  (B - A) / = U ข้อสังเกต (B - A)  (B - A) / = U

เมื่อเติมสมาชิกที่เหลือทั้งหมดแล้ว มันจะเต็ม U พอดี สรุปส่วนเติมเต็ม เมื่อเติมสมาชิกที่เหลือทั้งหมดแล้ว มันจะเต็ม U พอดี สรุปส่วนเติมเต็ม เมื่อเติมสมาชิกที่เหลือทั้งหมดแล้ว มันจะเต็ม U พอดี คนที่ขาดอะไรบางอย่าง เรียกว่า คนไม่เต็ม หรือ คนไม่เต็มเต็ง นักศึกษาลองสำรวจตัวเองดูซิ ว่ามีขาดอะไรบ้าง จะได้เติมให้มันเต็ม ในตัวอย่างที่ผ่านมา เรากล่าวถึงการดำเนินการของเซตทั้ง 4 ชนิด พร้อมด้วยการสนุกกับส่วนเติมเต็ม ไม่ทราบว่านักศึกษาได้สนุกกับครูหรือเปล่า หรือว่าหลับไปแล้ว หวังว่าคงไม่หลับนะครับ ต่อไป เราจะกล่าวถึงการดำเนินการของเซตทั้ง 4 ชนิดอีก แต่ใช้ตัวอย่างที่จำนวนสมาชิกมีมากขึ้น เริ่มต้นด้วย Intersection ดังนี้

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6, 7} A B = {x | x A และ x B} = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 4, 5, 6, 7} = {3, 4, 5} Intersection คือ ส่วนร่วม เชื่อมด้วยคำ “และ” เซต A B มีสมาชิกเซตละ 5 ตัว ดังที่มองเห็นนี้ A Intersection B คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ร่วมกันทั้งใน A และ B ได้แก่ {3, 4, 5} A 1 2 3 4 5 6 7 B A B = {3, 4, 5}

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6, 7} = {x | x A หรือ x B} A B = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 7} = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A B Union คือ ส่วนรวม เชื่อมด้วยคำ “หรือ” เซต A B มีสมาชิกเซตละ 5 ตัว ชุดเดียวกันกับที่ผ่านมา A Union B คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซตใดเซตหนึ่ง หรือ อยู่พร้อมกันทั้ง 2 เซต ได้แก่สมาชิกทุกตัวในวงกลมทั้ง 2 วงรวมกัน 1 2 3 4 5 6 7 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6, 7} = {x | x A และ x B} A B = {1, 2} B A = ? A B = {6, 7} Difference คือ ผลต่าง เชื่อมด้วยเครื่องหมาย “-” เซต A B มีสมาชิกเซตละ 5 ตัว ชุดเดียวกันกับที่ผ่านมา A ลบ B: A เป็นตัวตั้ง B เป็นตัวลบ คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซตใดเซต A และไม่อยู่ในเซต B B ลบ A: B เป็นตัวตั้ง A เป็นตัวลบ คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซตใดเซต B และไม่อยู่ในเซต A จากรูป ด้านซ้ายมือ A-B, A เป็นตัวตั้ง มีสมาชิก 1 2 ด้านขวามือ B-A, B เป็นตัวตั้ง มีสมาชิก 6 7 ตรงกลางคือ A Intersection B มีสมาชิก 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 B A A B B A

U = {1, 2, 3, 4, 5} A = {2, 3} Ac = {x | x U และ x A} = {x | x {1, 2, 3, 4, 5} และ x {2, 3}} = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 3} = {1, 4, 5} U A Complement คือ ส่วนเติมเต็ม ใช้ขีด หรือ ซีเล็ก วางไว้ในตำแหน่งขวาบน เมื่อกล่าวถึง Complement จะต้องกำหนด U ก่อนเสมอ ในที่นี้ เซต U มีสมาชิก 5 ตัว, A มีสมาชิก 2 ตัว ดังที่มองเห็นนี้ Ac คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ในเซต U และไม่อยู่ในเซต A จากรูป A คือ สีเขียว Ac คือ สีเหลือง สองสีรวมกันเต็มสี่เหลี่ยม ดังนั้น Ac คือ {1, 4, 5} 1 2 3 4 5 Ac Ac = {1, 4, 5}

แผนภาพเปรียบเทียบ 3. A B 1. A B 2. A B 4. (A B)c 5. (A B)c 6. (A B)c แผนภาพเปรียบเทียบการดำเนินการของเซต 1 กับ 4 หากนำมารวมกันแล้วมันจะเต็ม U 2 กับ 5 หากนำมารวมกันแล้วมันจะเต็ม U 3 กับ 6 หากนำมารวมกันแล้วมันจะเต็ม U ต่อไปเราจะดูการแรเงา วัตถุประสงค์ของการแรเงาคือ เพื่อทำให้มองเห็นผลการดำเนินการของเซตได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ถ้าการดำเนินการของเซตไม่มีความซับซ้อนใดๆแล้ว เราสามารถแรเงาได้เลย ดังตัวอย่างที่ผ่านมา แต่ถ้าการดำเนินการของเซตมีความซับซ้อนแล้ว เราจะต้องมีวิธีการ หรือมีขั้นตอนการแรเงา ขั้นตอนดังกล่าว คือ การใส่ตัวเลขและพิจารณาทีละส่วนก่อน แนวคิดนี้อาจเรียกว่า วิธีการแทนค่าสมาชิกของเซต ดังนี้ 4. (A B)c 5. (A B)c 6. (A B)c

จงแรเงา (A B)c (A B)c (A B)c (A B)c = {4} = {2, 3, 4} {4} {2, 3, 4} {4} {2, 3, 4} = {4} วิธีการแทนค่าสมาชิกของเซต ใส่ตัวเลขลงในช่องว่างแห่งละ 1 ตัว ผลการดำเนินการส่วนแรก ได้สมาชิก 4 ผลการดำเนินการส่วนที่ 2 ได้สมาชิก 2 3 4 นำ 2 ส่วนมา intersection ได้ 4 ดังนั้น ผลการแรเงาคือ หมายเลข 4

สรุปขั้นตอนการแรเงาโดยวิธีการแทนค่าสมาชิกของเซต 1. ให้เขียนแผนภาพ และ ใส่หมายเลขลง ดังนี้ 2. ดำเนินการตามที่โจทย์กำหนด (AB) /  (A - B) / = {4} สรุปขั้นตอนการแรเงาโดยวิธีการแทนค่าสมาชิกของเซต ขั้นตอนที่ 1. ให้เขียนแผนภาพ และ ใส่หมายเลขลง ดังนี้ ขั้นตอนที่ 2. ดำเนินการตามที่โจทย์กำหนด ขั้นตอนที่ 3. แรเงาตามหมายเลขในข้อ 2. คือ หมายเลข 4 3. แรเงาตามหมายเลขในข้อ 2. คือ หมายเลข 4

การทดสอบความเข้าใจ ข้อ 1 กำหนดให้ U = {x|x เป็นนักศึกษา} A = {x|x เป็นนักศึกษาชาย} ถามว่า นางสาวขวัญดาวเป็นสมาชิกของ A/ หรือ A ? การทดสอบความเข้าใจ ข้อ 1 ขวัญดาว เป็นผู้หญิง เมื่อ A เป็นเซตของผู้ชาย ก็จะได้ Ac เป็นเซตของผู้หญิง ดังนั้น ขวัญดาวจึงเป็นสมาชิกของ Ac

การทดสอบความเข้าใจ ข้อ 2 จากรูป สมาชิกของเซตคือ จำนวนคน โดย U = {x|x เป็นคน} A = {x|x เป็นผู้ชาย} B = {x|x เป็นนักศึกษา} จงหาจำนวนต่อไปนี้ 2.6 นักศึกษาที่ไม่เป็นผู้ชาย {2, 3} - {2}  3 คน 2.7 ไม่เป็นผู้ชาย และ ไม่เป็นนักศึกษา {3, 4}  {1, 4}  4 คน 2.1 คนทั้งหมด 1+2+3+4 = 10 คน การทดสอบความเข้าใจ ข้อ 2 2.1 คนทั้งหมด คือ 1+2+3+4 รวมกันเท่ากับ 10 คน 2.2 คนที่เป็นเพศหญิง คือ นักศึกษาหญิง 3+ เพศหญิงที่ไม่เป็นนักศึกษาอีก 4 รวมกันเท่ากับ 7 คน 2.3 คนที่ไม่เป็นนักศึกษา คนที่ไม่เป็นนักศึกษาคือ 1+4 = 5 2.4 นักศึกษาชาย คือนักศึกษาที่เป็นเพศชาย ดังนั้น นักศึกษาชายมี 2 คน 2.5 ผู้ชายที่ไม่เป็นนักศึกษา ผู้ชายมี 1+2 คน ลบคนที่เป็นนักศึกษา 2 คน ดังนั้น ผู้ชายที่ไม่เป็นนักศึกษามี 1 คน 2.6 นักศึกษาที่ไม่เป็นผู้ชาย นักศึกษามี 2+3 คน ลบคนที่เป็นผู้ชาย 2 คน ดังนั้น นักศึกษาที่ไม่เป็นผู้ชาย มี 3 คน 2.7 ไม่เป็นผู้ชาย และ ไม่เป็นนักศึกษา คือจำนวนนอกวงกลมทั้งหมดซึ่งมี 4 คน 2.8 เป็นผู้ชาย หรือ เป็นนักศึกษา คือ เป็นผู้ชาย 1+2 หรือเป็นนักศึกษา 2+3 โดยนับซ้ำ 2 คน ดังนั้น คำตอบคือ 6 คน 2.9 ไม่เป็นผู้ชาย หรือ ไม่เป็นนักศึกษา คือ ไม่เป็นผู้ชายมี 3+4 หรือไม่เป็นนักศึกษามี 1+4 โดยนับซ้ำ 4 คน ดังนั้น คำตอบคือ 8 คน 2.8 เป็นผู้ชาย หรือ เป็นนักศึกษา 2.2 คนที่เป็นเพศหญิง 3+4 = 7 คน {1, 2}  {2, 3}  1+2+3 = 6 คน 2.3 คนที่ไม่เป็นนักศึกษา 1+4 = 5 คน 2.9 ไม่เป็นผู้ชาย หรือ ไม่เป็นนักศึกษา 2.4 นักศึกษาชาย 2 คน 2.5 ผู้ชายที่ไม่เป็นนักศึกษา 1 คน {3, 4}  {1, 4}  3+4+1 = 8 คน

การทดสอบความเข้าใจ (Search engines) ข้อ 3 AND =  , OR =  , NOT = -, NOT A หมายถึง U - A หรือ A/ กำหนด U = {ไข่, ไก่, เป็ด, ไข่เป็ด, ไข่ไก่, ปลา, หมู} จงหาผลของการค้นคำ {ไก่, เป็ด, ปลา, หมู} {ไข่, เป็ด, ไข่เป็ด, ปลา, หมู} {ไก่, ไข่ไก่} {ไข่, ไก่, เป็ด, ไข่ไก่, ปลา, หมู} {เป็ด, ไข่เป็ด} ข้อ 3 3.1 {ไก่, ไข่ไก่} 3.2 {เป็ด,ไข่เป็ด} 3.3 {ไข่เป็ด} 3.4 {ไข่, เป็ด, ไข่เป็ด, ไข่ไก่} 3.5 {ไก่, เป็ด, ปลา, หมู} 3.6 {ไข่, เป็ด, ไข่เป็ด, ปลา, หมู} 3.7 {ไข่, ไก่, เป็ด, ไข่ไก่, ปลา, หมู} 3.8 {ไก่, ปลา, หมู} 3.9 {ไข่ไก่} {ไก่, ปลา, หมู} {ไข่เป็ด} {ไข่ไก่} {ไข่, เป็ด, ไข่เป็ด, ไข่ไก่}

ทักษะมาจากการฝึกฝน นักศึกษาเรียนเพียงรอบเดียวจะยังไม่เกิดทักษะ แปลว่ายังไม่พร้อมที่จะทำข้อสอบ นักศึกษาจะต้องฝึกฝนทำแบบฝึกหัดเพื่อให้เกิดทักษะ เมื่อนั้นจึงพร้อมที่จะสอบ ดุจดัง ภราดร ศรีชาพันธ์ ซ้อม 2-3 ครั้งไม่สามารถเป็นแชมป์ได้ จะต้องซ้อมแล้วซ้อมอีกจึงจะเกิดทักษะระดับแชมป์ได้ สำหรับนักศึกษา คะแนนจะเพิ่มขึ้นตามทักษะที่เพิ่มขึ้น ขอให้นักศึกษาโชคดี สวัสดีครับ