งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

X 2 + p = 2 n การพัฒนาสมการไดโอ แฟนไทน์กำลังสอง.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "X 2 + p = 2 n การพัฒนาสมการไดโอ แฟนไทน์กำลังสอง."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 x 2 + p = 2 n การพัฒนาสมการไดโอ แฟนไทน์กำลังสอง

2

3 ในสาขาของทฤษฎีจำนวนมักจะ มีความเกี่ยวข้องกับการหาผลเฉลยที่ เป็นจำนวนเต็มของสมการพีชคณิตที่ มีมากกว่าหรือเท่ากับสองตัวแปร พีชคณิตของกรีกและทฤษฎีจำนวน นับว่ามีบทบาทสำคัญที่ก่อ ให้เกิดหนังสือ Arithmetica ซึ่งเขียน โดย Diophantus การพัฒนาสมการไดโอแฟน ไทน์กำลังสอง x 2 + p = 2 n การพัฒนาสมการไดโอแฟน ไทน์กำลังสอง x 2 + p = 2 n

4 Diophantus สนใจที่ จะหาคำตอบที่แท้จริงมากกว่า คำตอบที่เป็นค่าโดยประมาณ เขาสนใจที่จะหาคำตอบที่เป็น จำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ ของสมการพหุนามในหนึ่งตัว แปรหรือที่มากกว่านั้น ซึ่งเรียก สมการประเภทนี้ว่า สมการได โอแฟนไทน์ ( Diophantine equations )

5 Pierre de Fermat ได้พัฒนาทฤษฎีบท จำนวนมากใน ทฤษฎีจำนวน หลังจากที่เขาได้ อ่านหนังสือ Arithmetica ของ Diophantus ที่ กล่าวถึงสมการของ พีทาโกรัส ( Pythagorus ) ที่ว่า x 2 + y 2 = z 2

6 Fermat ได้เลียนแบบ ความคิดนี้แล้วเสนอเป็นทฤษฎี ใหม่ขึ้นมา ที่รู้จักกันดีคือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ( Fermat’s Last Theorem ) Fermat กล่าวว่า หากเรามีสมการ x n + y n = z n และ n เป็นจำนวนเต็มที่ มีค่ามากกว่า 2 แล้ว เราจะไม่ สามารถหา x, y, z ที่เป็น เลขจำนวนเต็มมาแทนลงใน สมการข้างต้นได้เลย

7 นับจากอดีตจนถึงปัจจุบันยัง ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่ สามารถพิสูจน์ทฤษฎี บทนี้ได้ อย่างสมบูรณ์

8 ตัวอย่างของสมการ Diophantine ที่รู้จักกันคือ x = 2 n 1 1 ในปี 1913 S. Ramanujan นัก คณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้คาดเดาว่า สมการ (1) นี้น่าจะมีคำตอบเพียง 5 คำตอบเท่านั้นสำหรับจำนวนเต็ม ( x, n ) เมื่อ x = 1, 3, 5, 11, 181 และ n = 3, 4, 5, 7, 15 ตามลำดับ

9 เห็นได้ชัดว่าสมการ (1) นั้น x จะเป็น จำนวนเต็มคี่ ดังนั้นสมการ (1) นี้จึง สามารถเขียนได้ใหม่เป็น ( 2x – 1 ) 2 = 2 n - 7 โดยที่คำตอบสำหรับ x เป็น 1, 2, 3, 6 และ 91 การคาดคะเนที่ว่า สมการนี้มี เพียง 5 ผลเฉลยนั้นยังคง เป็นปัญหาที่เปิดกว้างอยู่ 2 2

10 ในที่นี้จะพิจารณา สมการในรูป x 2 + p = 2 n 3 3 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ

11 เนื่องจากคอนกรูเอนซ์เป็นวิธี ที่สะดวกที่จะอธิบายการหารลงตัว ในจำนวนเต็ม จึงมีประโยชน์มากที่ จะแสดงให้เห็นว่าสมการ ( 3 ) นี้ จะมีคำตอบหรือไม่ เราจะใช้วิธี การทางคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวกับมอดุโล ( modulo ) เพื่อ จะสรุป และตรวจสอบว่าสมการนี้มีผล เฉลย หรือไม่

12 วิธีการ พิจารณาสมการ x 2 + p = 2 n สนใจผลเฉลยที่เป็นจำนวน เต็ม เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ ใดๆโดยกำหนดให้ผลเฉลยที่ เป็นจำนวนเต็มของสมการอยู่ใน รูป ( x 0, n 0 )

13 ถ้า ( x 0, n 0 ) เป็นคำตอบจะ เห็นได้ชัดว่า ( - x 0, n 0 ) จะเป็น คำตอบด้วย เนื่องจาก x 0 2 = ( - x 0 ) 2 ดังนั้นจึงจะพิจารณาเฉพาะ ( x, n ) ที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น

14 นิยาม ให้ m เป็น จำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนเต็ม จะกล่าวว่า a คอนกรูเอนซ์กับ b มอ ดุโล m ถ้า m  (a – b) และเรียก m ว่า มอดุลัส ( modulus ) เขียนแทนด้วย a  b ( mod m )

15 สมบัติของคอนกรูเอนซ์ ให้ a 1, a 2, b 1 และ b 2 เป็นจำนวนเต็มใดๆ 1. ถ้า a 1  b 1 ( mod m ) และ a 2  b 2 ( mod m ) แล้ว a 1 + a 2  b 1 + b 2 ( mod m ) และ a 1 - a 2  b 1 - b 2 ( mod m ) 1. ถ้า a 1  b 1 ( mod m ) และ a 2  b 2 ( mod m ) แล้ว a 1 + a 2  b 1 + b 2 ( mod m ) และ a 1 - a 2  b 1 - b 2 ( mod m )

16 เพราะว่า a 1  b 1 ( mod m ) และ a 2  b 2 ( mod m ) จะมี c, d  I ที่ซึ่ง a 1 - b 1 = cm และ a 2 - b 2 = dm นั่นคือ a 1 = b 1 + cm และ a 2 = b 2 + dm a 1 + a 2 = b 1 + b 2 + cm + dm = b 1 + b 2 + ( c + d ) m ดังนั้น ( a 1 + a 2 ) - ( b 1 + b 2 ) = ( c + d ) m นั่นคือ a 1 + a 2  b 1 + b 2 ( mod m ) พิสูจน์

17 ในทำนองเดียวกัน a 1 - a 2 = b 1 - b 2 + cm - dm = b 1 - b 2 + ( c - d ) m ดังนั้น ( a 1 - a 2 ) - ( b 1 - b 2 ) = ( c - d ) m นั่นคือ a 1 - a 2  b 1 - b 2 ( mod m )

18 2. ถ้า a 1  b 1 ( mod m ) และ a 2  b 2 ( mod m ) แล้ว a 1 a 2  b 1 b 2 ( mod m )

19 พิสู จน์ ให้ a 1  b 1 ( mod m ) และ a 2  b 2 ( mod m ) จะมี c, d  I ที่ซึ่ง a 1 - b 1 = cm และ a 2 - b 2 = dm นั่นคือ a 1 = b 1 + cm และ a 2 = b 2 + dm a 1 a 2 = ( b 1 + cm ) ( b 2 + dm ) = b 1 b 2 + b 1 dm + b 2 cm + cmdm = b 1 b 2 + ( b 1 d + b 2 c + cmd ) m จะได้ว่า a 1 b 2 - b 1 b 2 = ( b 1 d + b 2 c + cmd ) m ดังนั้น a 1 a 2  b 1 b 2 ( mod m )

20 3. z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนเต็มคี่

21 พิสูจ น์ (  ) ให้ z  1 ( mod 2 ) จะมี a  I ที่ซึ่ง z - 1 = 2a นั่นคือ z = 2a + 1 ดังนั้นจะได้ว่า z เป็นจำนวนเต็มคี่

22 (  ) ให้ z เป็นจำนวน เต็มคี่ จะมี a  I ที่ ซึ่ง z = 2a + 1 ดังนั้น z - 1 = 2a จะได้ว่า z  1 ( mod 2 )


ดาวน์โหลด ppt X 2 + p = 2 n การพัฒนาสมการไดโอ แฟนไทน์กำลังสอง.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google