งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

ทฤษฎีจำนวน เบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "ทฤษฎีจำนวน เบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 ทฤษฎีจำนวน เบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์

2 1. การ หารลงตัว (Exact Division) 2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) 3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) 4. จำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ 5. ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) เนื้อหาของทฤษฎี จำนวนเบื้องต้น

3 1. การหารลงตัว (Exact Division) บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม c ที่ทำ ให้ a = bc เรียก b ว่าเป็นตัวหาร (divisor) ของ a และเรียก a ว่า พหุคูณ (multiple) ของ b ใช้สัญลักษณ์ b|a แทน “b หาร a ลงตัว ” และ b | a แทน “b หาร a ไม่ลงตัว ” เช่น 3 |15 เพราะ 3x5 = |12 เพราะ (-4)(-3) = 12 5 | 21 เพราะ ไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำ ให้ 5c = 21

4 ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b 0 ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a | b แล้ว a b ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a | b และ a | c แล้ว a | (bx+cy) เมื่อ x และ y เป็นจำนวน เต็มใดๆ bx+cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของ b และ c บทนิยาม จำนวนเต็มบวก p เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p 1 และถ้าจำนวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x {, -1, p,-p} ทฤษฎีบทที่ 4 จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของ จำนวนเฉพาะได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ทั้งนี้ไม่รวมการ สลับที่ตัวคูณหรือการคูณด้วย 1

5 2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) ทฤษฎีบทที่ 5 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้ว จะมีจำนวนเต็ม q และ r ชุดเดียวซึ่ง a = bq + r โดย 0 r < | b | เรียก q ว่า ผลหาร (quotient) และเรียก r ว่า เศษเหลือ (remainder) ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษเหลือจาก (-24) 5 วิธีทำ เพราะว่า -24 = 5(-5) + 1 ดังนั้น ผลหาร คือ -5 เศษ คือ 1 บทนิยาม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จากบทนิยาม จะได้ว่า 0 เป็นจำนวนคู่ เพราะว่า 0 = 2(0) และเมื่อ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k และ a 2 = 2(2k 2 ) ดังนั้น a 2 เป็นจำนวนคู่ด้วย

6 ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า “ ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็น จำนวนคู่ ” พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k เมื่อ k เป็น จำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนคี่ จะได้ b = 2k+1 เมื่อ k เป็น จำนวนเต็ม จะได้ ab = 2k(2k+1) และ a 0,a 1,a 2,…,a k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อย กว่า b และ a k 0 = 4k 2 +2k = 2(2k 2 +k) ดังนั้น 2(2k 2 +k) เป็นจำนวนคู่ เมื่อ k เป็น จำนวนเต็ม นั่นคือ ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็น จำนวนคู่ ทฤษฎีบทที่ 6 ให้ b เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จำนวน เต็มบวก n ใดๆ สามารถเขียนใน รูปการกระจายฐาน b ได้เป็น n = a k b k +a k-1 b k- 1 +…..+a 1 b+a 0 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

7 ตัวอย่าง จงเขียน 52 ในรูปการกระจายฐาน 3 วิธีทำ 52 = 3(17) = 3(5) = 3(1) = 3(0) + 1 เมื่อแทนค่าย้อนกลับ 52 = 3 (17) + 1 = 3[3(5) + 2] + 1 = 3 2 (5) + 3(2) + 1 = 3 2 [3(1) + 2] + 3(2) + 1 = 3 3 (1) (2) + 3(2) +1 ดังนั้น 52 = (1x3 3 ) + (2x3 2 ) + (2x3) + 1 =

8 ตัวอย่าง จงเขียน 1324 ในรูปตัวเลขฐาน 5 และฐาน 12 วิธีทำ 1324 = 5(264) = 5(52) = 5(10) = 5(2) = 5(0) + 2 ดังนั้น 1324 =  1324 = 12(110) = 12(9) = 12(0) + 9 ดังนั้น 1324 = 

9 3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) บทนิยาม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็ม เรียกจำนวน เต็ม c ที่สามารถหารทั้ง a และ b ลงตัวว่าเป็น ตัวหารร่วม ของ a และ b เช่น ตัวหารร่วมของ 8 และ 12 คือ บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่ เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็ม บวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d|a และ d|b เรียกว่า เป็น ตัวหารร่วมมาก ของ a และ b แทน ด้วย (a,b) ตัวอย่าง จงหา ห. ร. ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 ดังนั้น (48, 72) คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24 *

10 ทฤษฎีบทที่ 7 ( ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ) กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีหาร a = bq 1 + r 1 ; 0 < r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2 : r k-2 = r k-1 q k + r k ; 0 < r k < r k-1 r k-1 = r k q k ดังนั้น r k ซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเป็น ห. ร. ม. ของ a และ b

11 ตัวอย่าง จงหา ห. ร. ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ 72 = 48(1) = 24(2) + 0 ดังนั้น ( 48, 72 ) = 24  ตัวอย่าง จงหา ห. ร. ม. ของ 132 และ 424 วิธีทำ 424 = 132(3) = 28(4) = 20(1) = 8(2) = 4(2) + 0 ดังนั้น ( 132, 424 ) = 4  บทนิยาม ให้ a 1, a 2, …, a n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่ เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุดซึ่ง D|a 1, D|a 2, …, D|a n เรียกว่า ตัวหาร ร่วมมาก ( ห. ร. ม.) ของ a 1, a 2, …, a n แทนด้วย (a 1, a 2, …, a n )

12 ตัวอย่าง จงหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420, 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน วิธีทำ ให้ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420, 356 และ 244 แล้วมีเศษ r เท่ากัน ดังนั้น 420 = ax + r …………. (1) 356 = bx + r …………..(2) 244 = cx + r …………..(3) (1) – (2) 64 = (a-b)x …………..(4) (2) – (3) 112 = (b-c)x …………..(5) (1) – (3) 176 = (a-c)x …………..(6) จาก (4), (5), (6) แสดงว่า x|64, x|112 และ x|176 ดังนั้น x = ( 64, 112, 176 ) = 16 นั่นคือ 16 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420, 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน

13 4. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a, b ) = 1 เช่น 9 และ 10 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ ( 9, 10 ) = 1 9 และ 12 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพระ ( 9, 12 ) = 3 ทฤษฎีบทที่ 8 a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax + by = 1 ทฤษฎีบทที่ 9 กำหนดจำนวนเต็ม a, b และจำนวน เฉพาะ p ถ้า p|ab จะได้ p|a หรือ p|b

14 5. ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) d = ax + by เมื่อ d = ( a, b )


ดาวน์โหลด ppt ทฤษฎีจำนวน เบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google