งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และ ลู่เข้าสู่ค่า L บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และ ลู่เข้าสู่ค่า L

3 (2) ถ้า ไม่มีลิมิต เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่ออก (divergentsequence) (2) ถ้า ไม่มีลิมิต เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่ออก (divergentsequence) 1,,,,,...,,... เป็น ลำดับที่ลู่เข้าสู่ 0 2, 2, 2, 2, …, 2,... เป็น ลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2 เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2

4 ไม่มีลิมิต 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1) n,... ไม่มี ลิมิต ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ เป็นลำดับลู่เข้า แล้ว จะลู่เข้าสู่ค่า หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ เป็นลำดับลู่เข้า แล้ว จะลู่เข้าสู่ค่า หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น

5 การพิสูจน์ สมมติให้ลำดับ ลู่เข้า สู่จำนวนจริงมากกว่า 1 ค่า ให้ = L และ = M โดยที่ L  M ดังนั้น | M – L | > 0 ให้  = | M – L | เนื่องจาก = L จะมีจำนวน เต็มบวก k 1 ที่ทำให้ | s n – L | < | M – L |, n  k 1

6 และเนื่องจาก = M จะมีจำนวนเต็มบวก k 2 ที่ทำให้ | s n – M | < | M – L |, n  k 2 ให้ k = max { k 1, k 2 } ดังนั้น | s n – L | < | M – L |, n  k และ | s n – M | < | M – L |, n  k

7 แต่ | M – L | = | M – s n + s n – L |  | s n – M | + | s n – L | < | M – L | + | M – L |, n  k ทำให้ | M – L | < | M – L | ซึ่งเป็นไป ไม่ได้ นั่นคือ ลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่า เดียวเท่านั้น 

8 ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ลู่เข้าสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ จะลู่เข้าสู่ L ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ลู่เข้าสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ จะลู่เข้าสู่ L การพิสูจน์ ให้ เป็นลำดับย่อยของ โดยนิยามของลำดับย่อย จะได้ n 1 < n 2 < n 3 < … < n i < …, n i , i  ทำให้ n i  i,  i 

9 เนื่องจาก = L ดังนั้นทุก  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | < , n  k เลือก k = n k  k สำหรับ i  k, n i  n k ทำให้ | – L | <  เมื่อ i  k นั้นคือ = L 

10 บทแทรก ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่ เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน การพิสูจน์ จากทฤษฎีบท ลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่าเดียวเท่านั้นและจาก ทฤษฎีบท ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้าสู่ค่า L เป็น ลำดับลู่เข้าสู่ค่า L นั่นคือ ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้า ย่อม ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน 

11 ตัวอย่าง 1 = มีลำดับย่อย คือ ลำดับ 1, 1, 1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ 1 และ ลำดับ –1, –1, –1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ –1 ดังนั้น เป็นลำดับลู่ออก 

12 บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ (diverges to infinity  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ s n > M สำหรับ n  k ลำดับ ลู่ออกสู่  อาจเขียนแทนด้วย =  ( หรือ s n   เมื่อ n   ) บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ (diverges to infinity  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ s n > M สำหรับ n  k ลำดับ ลู่ออกสู่  อาจเขียนแทนด้วย =  ( หรือ s n   เมื่อ n   )

13 ตัวอย่าง 2 กำหนด = ให้ M > 0 โดยสมบัติอาร์คีมิเดียน สามารถหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ทำให้ n > M, n  k นั่นคือ =  

14 บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังค่าลบอนันต์ (diverges to minus infinity –  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง s n < –M สำหรับ n  k ลู่ออกสู่ –  อาจเขียนแทนด้วย = –  ( หรือ s n  –  เมื่อ n   ) บทนิยาม ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังค่าลบอนันต์ (diverges to minus infinity –  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง s n < –M สำหรับ n  k ลู่ออกสู่ –  อาจเขียนแทนด้วย = –  ( หรือ s n  –  เมื่อ n   )

15 ตัวอย่าง 3 กำหนด = ให้ M > 0 จากสมบัติอาร์คีมิ เดียน สามารถหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ดังนั้น –n  –k < –M, n  k นั้นคือ = –  

16 บทนิยาม ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับ เป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ค่า อนันต์ หรือ ค่าลบอนันต์ จะเรียก ว่าเป็น ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence) บทนิยาม ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับ เป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ค่า อนันต์ หรือ ค่าลบอนันต์ จะเรียก ว่าเป็น ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

17 ตัวอย่าง 4 (1) = –1, 1,–1, 1,–1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เข้าสู่อนันต์ หรือลบอนันต์ (2) ลำดับ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เขาสู่อนันต์ หรือลบอนันต์ 

18 ลำดับที่มีขอบเขต บทนิยาม ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน (2) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตล่าง (3) ลำดับ มี ขอบเขต ถ้ามีจำนวนจริงบวก M ซึ่งทำให้ | s n |  M, n  บทนิยาม ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน (2) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตล่าง (3) ลำดับ มี ขอบเขต ถ้ามีจำนวนจริงบวก M ซึ่งทำให้ | s n |  M, n 

19 หรือ ลำดับ มีขอบเขต เมื่อ เรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน และขอบเขตล่าง หรือ ลำดับ มีขอบเขต เมื่อ เรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน และขอบเขตล่าง

20 ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้า แล้ว เป็นลำดับที่มีขอบเขต ทฤษฎีบท ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้า แล้ว เป็นลำดับที่มีขอบเขต การพิสูจน์ เนื่องจาก เป็นลำดับลู่เข้า ให้ = L ถ้าให้  = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | < 1, n  k | | s n | – | L | |  | s n – L | < 1, n  k | s n | < | L | + 1, n  k

21 ให้ M = max { | s 1 |, | s 2 |, | s 3 |, …, | s k–1 | } ทำให้ | s n | < M + | L | + 1, n  \ นั้นคือ เป็นลำดับที่มี ขอบเขต 

22 บทกลับของทฤษฎีบท ไม่จริง เพราะลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องเป็น ลำดับลู่เข้า เช่น 1, –1, 1, –1,..., (– 1) n+1,...


ดาวน์โหลด ppt ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google