งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และ ลู่เข้าสู่ค่า L บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และ ลู่เข้าสู่ค่า L

3 (2) ถ้า ไม่มีลิมิต เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่ออก (divergentsequence) (2) ถ้า ไม่มีลิมิต เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่ออก (divergentsequence) 1,,,,,...,,... เป็น ลำดับที่ลู่เข้าสู่ 0 2, 2, 2, 2, …, 2,... เป็น ลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2 เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2

4 ไม่มีลิมิต 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1) n,... ไม่มี ลิมิต ทฤษฎีบท 3.2.2 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ เป็นลำดับลู่เข้า แล้ว จะลู่เข้าสู่ค่า หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น ทฤษฎีบท 3.2.2 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ เป็นลำดับลู่เข้า แล้ว จะลู่เข้าสู่ค่า หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น

5 การพิสูจน์ สมมติให้ลำดับ ลู่เข้า สู่จำนวนจริงมากกว่า 1 ค่า ให้ = L และ = M โดยที่ L  M ดังนั้น | M – L | > 0 ให้  = | M – L | เนื่องจาก = L จะมีจำนวน เต็มบวก k 1 ที่ทำให้ | s n – L | < | M – L |, n  k 1

6 และเนื่องจาก = M จะมีจำนวนเต็มบวก k 2 ที่ทำให้ | s n – M | < | M – L |, n  k 2 ให้ k = max { k 1, k 2 } ดังนั้น | s n – L | < | M – L |, n  k และ | s n – M | < | M – L |, n  k

7 แต่ | M – L | = | M – s n + s n – L |  | s n – M | + | s n – L | < | M – L | + | M – L |, n  k ทำให้ | M – L | < | M – L | ซึ่งเป็นไป ไม่ได้ นั่นคือ ลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่า เดียวเท่านั้น 

8 ทฤษฎีบท 3.2.3 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ลู่เข้าสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ จะลู่เข้าสู่ L ทฤษฎีบท 3.2.3 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ลู่เข้าสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ จะลู่เข้าสู่ L การพิสูจน์ ให้ เป็นลำดับย่อยของ โดยนิยามของลำดับย่อย จะได้ n 1 < n 2 < n 3 < … < n i < …, n i , i  ทำให้ n i  i,  i 

9 เนื่องจาก = L ดังนั้นทุก  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | < , n  k เลือก k = n k  k สำหรับ i  k, n i  n k ทำให้ | – L | <  เมื่อ i  k นั้นคือ = L 

10 บทแทรก 3.2.4 ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่ เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน การพิสูจน์ จากทฤษฎีบท 3.2.2 ลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่าเดียวเท่านั้นและจาก ทฤษฎีบท 3.2.3 ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้าสู่ค่า L เป็น ลำดับลู่เข้าสู่ค่า L นั่นคือ ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้า ย่อม ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน 

11 ตัวอย่าง 1 = มีลำดับย่อย คือ ลำดับ 1, 1, 1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ 1 และ ลำดับ –1, –1, –1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ –1 ดังนั้น เป็นลำดับลู่ออก 

12 บทนิยาม 3.2.5 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ (diverges to infinity  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ s n > M สำหรับ n  k ลำดับ ลู่ออกสู่  อาจเขียนแทนด้วย =  ( หรือ s n   เมื่อ n   ) บทนิยาม 3.2.5 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ (diverges to infinity  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ s n > M สำหรับ n  k ลำดับ ลู่ออกสู่  อาจเขียนแทนด้วย =  ( หรือ s n   เมื่อ n   )

13 ตัวอย่าง 2 กำหนด = ให้ M > 0 โดยสมบัติอาร์คีมิเดียน สามารถหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ทำให้ n > M, n  k นั่นคือ =  

14 บทนิยาม 3.2.6 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังค่าลบอนันต์ (diverges to minus infinity –  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง s n < –M สำหรับ n  k ลู่ออกสู่ –  อาจเขียนแทนด้วย = –  ( หรือ s n  –  เมื่อ n   ) บทนิยาม 3.2.6 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังค่าลบอนันต์ (diverges to minus infinity –  ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง s n < –M สำหรับ n  k ลู่ออกสู่ –  อาจเขียนแทนด้วย = –  ( หรือ s n  –  เมื่อ n   )

15 ตัวอย่าง 3 กำหนด = ให้ M > 0 จากสมบัติอาร์คีมิ เดียน สามารถหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ดังนั้น –n  –k < –M, n  k นั้นคือ = –  

16 บทนิยาม 3.2.7 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับ เป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ค่า อนันต์ หรือ ค่าลบอนันต์ จะเรียก ว่าเป็น ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence) บทนิยาม 3.2.7 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับ เป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ค่า อนันต์ หรือ ค่าลบอนันต์ จะเรียก ว่าเป็น ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

17 ตัวอย่าง 4 (1) = –1, 1,–1, 1,–1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เข้าสู่อนันต์ หรือลบอนันต์ (2) ลำดับ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เขาสู่อนันต์ หรือลบอนันต์ 

18 ลำดับที่มีขอบเขต บทนิยาม 3.2.8 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน (2) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตล่าง (3) ลำดับ มี ขอบเขต ถ้ามีจำนวนจริงบวก M ซึ่งทำให้ | s n |  M, n  บทนิยาม 3.2.8 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน (2) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตล่าง (3) ลำดับ มี ขอบเขต ถ้ามีจำนวนจริงบวก M ซึ่งทำให้ | s n |  M, n 

19 หรือ ลำดับ มีขอบเขต เมื่อ เรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน และขอบเขตล่าง หรือ ลำดับ มีขอบเขต เมื่อ เรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน และขอบเขตล่าง

20 ทฤษฎีบท 3.2.9 ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้า แล้ว เป็นลำดับที่มีขอบเขต ทฤษฎีบท 3.2.9 ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้า แล้ว เป็นลำดับที่มีขอบเขต การพิสูจน์ เนื่องจาก เป็นลำดับลู่เข้า ให้ = L ถ้าให้  = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | < 1, n  k | | s n | – | L | |  | s n – L | < 1, n  k | s n | < | L | + 1, n  k

21 ให้ M = max { | s 1 |, | s 2 |, | s 3 |, …, | s k–1 | } ทำให้ | s n | < M + | L | + 1, n  \ นั้นคือ เป็นลำดับที่มี ขอบเขต 

22 บทกลับของทฤษฎีบท 3.2.9 ไม่จริง เพราะลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องเป็น ลำดับลู่เข้า เช่น 1, –1, 1, –1,..., (– 1) n+1,...


ดาวน์โหลด ppt ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง (1) ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google