งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences) เมื่อกล่าวถึงลำดับ โดยทั่วไปจะนึกถึงจำนวนที่ เขียนเรียงๆกันมี ตัวที่ 1 ตัวที่ 2 ตัวที่ 3.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences) เมื่อกล่าวถึงลำดับ โดยทั่วไปจะนึกถึงจำนวนที่ เขียนเรียงๆกันมี ตัวที่ 1 ตัวที่ 2 ตัวที่ 3."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences) เมื่อกล่าวถึงลำดับ โดยทั่วไปจะนึกถึงจำนวนที่ เขียนเรียงๆกันมี ตัวที่ 1 ตัวที่ 2 ตัวที่ 3 และ ต่อๆไป ตัวอย่างเช่น 1,,,,...,,... –1, 1, –1, 1, …, (–1) n,... 2, 4, 6, 8, …, 2n,...

3 บทนิยาม ลำดับจำนวนจริง เป็น ฟังก์ชันจากเซตของจำนวนนับ ไปยัง เซตของจำนวนจริง ตัวอย่างลำดับ และรูปแบบลำดับที่ กำหนดโดยพจน์ที่ n ลำดับ = 1,,,,...,,... เขียนเป็นรูปแบบทั่วไป = ลำดับ = 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1) n,... เขียนเป็นรูปแบบทั่วไป =

4 ตัวอย่างลำดับ และรูปแบบลำดับที่ กำหนดโดยพจน์ที่ n ลำดับ = 1, 4, 9, 16, …, n 2,... เขียนเป็นรูปแบบทั่วไป = ลำดับฟีโบนัคซี (Fibonacci sequence) ซึ่งนิยามดังนี้ f = เมื่อ f 1 = 1, f 2 = 1, f n+1 = f n–1 + f n ( n  2 ) ลำดับนี้ คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

5 กำหนด = 1,,,,...,,... พิจารณาลำดับต่อไปนี้ (1) 1,,,, …,,... (2),,,, …,,... (3) 1,,,, …,,...

6 บทนิยาม ถ้า s = เป็นลำดับของจำนวนจริง และ a = เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ที่ a( i ) < a( j ) เมื่อ i < j ( i, j  ) แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ประกอบ s  a ว่าเป็น ลำดับย่อย (subsequence) บทนิยาม ถ้า s = เป็นลำดับของจำนวนจริง และ a = เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ที่ a( i ) < a( j ) เมื่อ i < j ( i, j  ) แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ประกอบ s  a ว่าเป็น ลำดับย่อย (subsequence) ถ้า a :  โดยที่ a( i ) = a i และ a i < a j เมื่อ i < j สำหรับ i, j  และ s :  โดยที่ s( n ) = s n

7 sasa i aiai s a s aiai s  a( i ) = s( a( i ) ) = s( a i ) = สำหรับ i  s  a( i ) = =,,,...

8 ลิมิตของลำดับ (Limit of Sequences) ลำดับบางลำดับมีลิมิต บางลำดับไม่มี ลิมิต เช่น 1, 0, 1, 0, 1, …,,... 1,,,,,...,,... 2, 2, 2, 2, 2, …, 2,... กล่าวว่าเป็นลำดับที่ไม่มีลิมิต กล่าวว่าเป็นลำดับที่มีลิมิตเท่ากับ 0 กล่าวว่าเป็นลำดับที่มีลิมิตเท่ากับ 2

9 บทนิยาม ให้ เป็น ลำดับของจำนวนจริง จะกล่าวว่าลำดับ มีลิมิตเท่ากับจำนวนจริง L ก็ต่อเมื่อ แต่ละ จำนวนจริงบวก  จะมี จำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | <  สำหรับ n  k ลำดับ มีลิมิตเท่ากับ L เราจะ เขียนแทนด้วย = L หรือ s n  L เมื่อ n   บทนิยาม ให้ เป็น ลำดับของจำนวนจริง จะกล่าวว่าลำดับ มีลิมิตเท่ากับจำนวนจริง L ก็ต่อเมื่อ แต่ละ จำนวนจริงบวก  จะมี จำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | s n – L | <  สำหรับ n  k ลำดับ มีลิมิตเท่ากับ L เราจะ เขียนแทนด้วย = L หรือ s n  L เมื่อ n  

10 ตัวอย่าง 2 กำหนด = 1,,,,,...,,... จงพิสูจน์ว่า = 0 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวนเต็ม บวก k ซึ่งทำให้ | – 0 | < , n  k พิจารณา | – 0 | = เลือก k  ซึ่ง < k

11 ทำให้ | – 0 | =  < , n  k นั้นคือ = 0 

12 จากบทนิยามจะเห็นว่าสำหรับแต่ละ  > 0 สามารถเลือก k ที่ใหญ่เพียงพอ ซึ่งจะทำให้พจน์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ k ทำให้อสมการเป็นจริง การเลือก k ใน ตัวอย่าง 2 ขึ้นอยู่กับ  เช่น ถ้า  = 0.25 เลือก k = 5 ทำให้ | | < 0.25, n  5  = เลือก k = 41 ทำให้ | | < 0.025, n  41  = เลือก k = 401 ทำให้ | | < , n  401 เป็นต้น มีลำดับบางลำดับที่การเลือก k ไม่ได้ขึ้นกับ ค่า  ดังตัวอย่าง 3

13 ตัวอย่าง 3 กำหนด เมื่อ s n = 2 ( n = 1, 2, 3, … ) จงแสดงว่า = 2 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวน เต็มบวก k ซึ่ง | s n – 2 | < , n  k เนื่องจาก | s n – 2 | = | 2 – 2 | = 0 < , n  สามารถเลือก k = 1 ( ไม่ได้ ขึ้นกับ  ) ทำให้ | s n – 2 | < , n  1 นั่นคือ = 2 

14 ตัวอย่าง 4 กำหนด โดยที่ s n = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, … จงแสดงว่า ลำดับ ไม่มีลิมิต การพิสูจน์ จะแสดงโดยการขัดแย้ง สมมติให้ = L เลือก  = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | s n – L | < 1, n  k ดังนั้น | 2n – L | < 1, n  k < n <, n  k

15 เกิดการขัดแย้ง เพราะ ,  n   < n นั้นคือ = ไม่มีลิมิต 

16 ตัวอย่าง 5 ลำดับ = คือลำดับ 0, 2, 0, 2, … จงแสดงว่าลำดับ ไม่มีลิมิต การพิสูจน์ สมมติให้ = L ถ้า  = จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | s n – L | <, n  k พจน์ที่ n ของลำดับคือ s n = 1 + (–1) n จึงแยกพิจารณา | 1 + (–1) n – L | ได้ 2 กรณี ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคี่ จะได้ | –L | = | L | <

17 ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ | 2 –L | < เนื่องจาก 2 = | 2 – L + L |  | 2 – L | + | L | < + = 1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นั่นคือ ลำดับ ไม่มี ลิมิต 

18 ตัวอย่าง 6 กำหนด = จงพิสูจน์ว่า = 2 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | – 2 | < , n  k พิจารณา | – 2 | = | | = | |

19 ต้องการ <  เนื่องจาก <, n  เพียงพอที่จะพิจารณา < , n  k เลือก k > ทำให้ | – 2 | <  < , n  k นั้นคือ = 2 

20 ทฤษฎีบท ถ้า เป็น ลำดับของจำนวนจริงที่ s n  0 ทุก n  และ = L แล้ว L  0 การพิสูจน์ จะแสดงโดยใช้การขัดแย้ง สมมติ L 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | s n – L | < –, n  k พิจารณาเฉพาะกรณี | s k – L | < –

21 s k – L < – s k < < 0 ทำให้ลำดับมีพจน์ที่ k ที่น้อยกว่าศูนย์ เกิดการขัดแย้งที่ s n  0 ทุก n  นั่นคือ L  0 


ดาวน์โหลด ppt 3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences) เมื่อกล่าวถึงลำดับ โดยทั่วไปจะนึกถึงจำนวนที่ เขียนเรียงๆกันมี ตัวที่ 1 ตัวที่ 2 ตัวที่ 3.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google