งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

บทนิยาม 4.4.1 กำหนด f : D , x 0  D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x 0 ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะ มี  > 0 ซึ่ง ถ้า | x – x 0 | < , x  D แล้ว.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "บทนิยาม 4.4.1 กำหนด f : D , x 0  D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x 0 ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะ มี  > 0 ซึ่ง ถ้า | x – x 0 | < , x  D แล้ว."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 บทนิยาม กำหนด f : D , x 0  D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x 0 ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะ มี  > 0 ซึ่ง ถ้า | x – x 0 | < , x  D แล้ว | f(x) – f(x 0 ) | <  x0x0 f(x 0 ) }} }} เมื่อกำหนด  > 0

3 x0x0 f(x 0 ) }} }}  จะมี  > 0 ซึ่งถ้า | x – x 0 | < , x  D ทำ ให้ | f(x) – f(x 0 ) | < 

4 ทฤษฎีบท ให้ f : D , x 0  D และ x 0 เป็นจุดลิมิตของ D แล้ว ข้อความ (1)–(3) ต่อไปนี้เป็นข้อความที่สมมูลกัน (1) f ต่อเนื่องที่ x 0 (2)f มีลิมิตที่ x 0 และ (3) ถ้าลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x 0, x n  D สำหรับทุกๆ n  แล้วลำดับ ลู่เข้าสู่ f(x 0 )

5 พิสูจน์ (1)  (3) ให้  > 0 เนื่องจาก f ต่อเนื่องที่ x 0 จะมี  > 0 ซึ่ง | x – x 0 | < , x  D ทำให้ | f(x) – f(x 0 ) | <  ให้ เป็นลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าสู่ x 0, x n  D สำหรับ n  ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | x n – x 0 | <  สำหรับ n  k และย่อมทำให้ | f(x n ) – f(x 0 ) | <  สำหรับ n  k ดังนั้น ลู่เข้าสู่ f(x 0 )

6 (3)  (2) ถ้า เป็นลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าสู่ x 0, x n  D สำหรับทุกๆ n  แล้ว ลู่เข้าสู่ f(x 0 ) โดยทฤษฎีบท ย่อมได้ว่า f มี ลิมิตที่ x 0 และ f(x) = f(x 0 )

7 (2)  (1) ให้  > 0 เนื่องจาก f มีลิมิตที่ x 0 และ f(x) = f(x 0 ) จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x 0 | < , x  D แล้ว | f(x) – f(x 0 ) | <  สำหรับกรณีที่ x = x 0 ทำให้ | x – x 0 | = 0 <  และ | f(x) – f(x 0 ) | = 0 <  จึงได้ว่าถ้า | x – x 0 | < , x  D แล้ว | f(x) – f(x 0 ) | <  ดังนั้น f ต่อเนื่องที่ x 0 นั่นคือ (1)–(3) เป็นข้อความที่สมมูลกัน 

8 ทฤษฎีบท ถ้า f : D  และ g : D  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0, x 0  D แล้ว (1) f + g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ x 0 (2)fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 (3) ถ้า g(x 0 )  0, เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0

9 พิสูจน์ มีหลายวิธีที่จะแสดงการต่อเนื่อง ที่จุด x 0 ในข้อ (1) จะใช้ทฤษฎีบท (3) (1) f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0, x 0  D ให้ เป็นลำดับใดๆที่ลู่เข้าสู่ x 0 และ x n  D สำหรับทุกๆ n  โดยทฤษฎีบท ได้ว่า และ เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ f(x 0 ) เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ g(x 0 )

10 พิจารณาลำดับ = โดยทฤษฎีบท ได้ว่าเป็นลำดับลู่ เข้า และลู่เข้าสู่ f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ) ดังนั้น f + g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 ในข้อ (2) จะใช้ทฤษฎีบท (2)

11 (2) f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0, x 0  D ถ้า x 0 ไม่ใช่จุดลิมิตของ D, fg เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x 0 จากข้อสังเกตตามบทนิยาม ความต่อเนื่อง ถ้า x 0 เป็นจุดลิมิตของ D เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 ดังนั้น f(x) = f(x 0 ) และเนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 ดังนั้น g(x) = g(x 0 )

12 โดยทฤษฎีบท fg ย่อมมีลิมิตที่ x 0 และ (fg)(x) = [ f(x) ][g(x) ] = f(x 0 )  g(x 0 ) = (fg)(x 0 ) ดังนั้น fg เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 ข้อ (3) จะพิสูจน์โดยทางตรง โดย อาศัยบทตั้ง ซึ่งจะกล่าวก่อนการพิสูจน์ ทฤษฎีบท (3) ดังต่อไปนี้

13 บทตั้ง ให้ g : D  เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0, x 0  D ที่ g(x 0 )  0 แล้วจะมี  > 0 และ  > 0 ซึ่งถ้า | x – x 0 | <  และ x  D แล้ว | g(x) |   พิสูจน์ เลือก  = > 0 เนื่องจาก g ต่อเนื่องที่ x 0 จะมี  > 0 ซึ่ง | x – x 0 | < , x  D ทำให้ | g(x) – g(x 0 ) | <  พิจารณา | g(x) | = | g(x) + g(x 0 ) – g(x 0 ) | = | g(x 0 ) – (g(x 0 ) – g(x)) |  | g(x 0 ) | – | g(x) – g(x 0 ) | > | g(x 0 ) | –  = =  

14 ต่อไปจะพิสูจน์ (3) ให้  > 0 เนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ x 0 และ g(x 0 )  0 โดยบทตั้ง จะมี  1 > 0 และ  > 0 ซึ่ง | x – x 0 | <  1 และ x  D ทำให้ | g(x) |   จะแสดงว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0

15 ให้  =  | g(x 0 ) |  > 0 จะมี  2 > 0 ซึ่งถ้า | x – x 0 | <  2 และ x  D ที่ทำให้ | g(x) – g(x 0 ) | <  เลือก  = min {  1,  2 } ซึ่งถ้า | x- x 0 | <  และ x  D ทำให้ |(x) –(x 0 ) | =< =  ดังนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 โดยทฤษฎีบท (2) จะได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ x 0 

16 ทฤษฎีบท ให้ f : D  และ g : D  โดยที่เรนจ์ของ f เป็นเซตย่อยของ D ถ้า f ต่อเนื่องที่ x 0, x 0  D และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ f(x 0 ) แล้ว g  f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0

17 พิสูจน์ ให้  > 0 เนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ f(x 0 ) จะมี  1 > 0 ซึ่งถ้า | y – f(x 0 ) | <  1 และ y  D จะทำให้ | g(y) – g(f(x 0 )) | <  เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า | x – x 0 | <  และ x  D จะทำให้ | f(x) – f(x 0 ) | <  1 แต่ Im f  D ดังนั้น f(x), f(x 0 )  D จะได้ว่า ถ้า | x – x 0 | < , x  D และ | f(x) – f(x 0 ) | <  1 ดังนั้น | (g  f)(x) – (g  f)(x 0 ) | = | g(f(x)) – g(f(x 0 )) | <  นั่นคือ g  f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x 0 

18 D D x0x0 f(x 0 )g(f(x 0 )) }} }1}1 }1}1 }} }} f g gfgf }} แสดงฟังก์ชันประกอบ g  f


ดาวน์โหลด ppt บทนิยาม 4.4.1 กำหนด f : D , x 0  D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x 0 ก็ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะ มี  > 0 ซึ่ง ถ้า | x – x 0 | < , x  D แล้ว.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google