งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

(Limit and Continuity). ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of Functions) แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x 0 มี ค่าเป็นจำนวนจริง L นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชัน f.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "(Limit and Continuity). ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of Functions) แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x 0 มี ค่าเป็นจำนวนจริง L นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชัน f."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 (Limit and Continuity)

2 ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of Functions) แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x 0 มี ค่าเป็นจำนวนจริง L นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีค่าเข้าใกล้ L ได้ตาม ต้องการเสมอ เมื่อ x เข้าใกล้ x 0 เพียงพอ โดยสนใจค่า f(x) ที่เกิดจาก x ในโดเมนที่ไม่ใช่ x 0 แต่อยู่บริเวณ ใกล้เคียงกับ x 0 ซึ่งทำให้ค่าของ f(x) สามารถเข้าใกล้ L

3 y = f(x) L x0x0 X Y O O O x0–x0– x0+x0+ L–  L+  แสดงลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x 0 มีค่าเท่ากับ L

4 บทนิยาม ให้ f : D , x 0 เป็นจุดลิมิตของ D ฟังก์ชัน f จะเรียกว่า มีลิมิต เท่ากับ L ที่ x 0 ก็ต่อเมื่อ สำหรับ แต่ละ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x 0 | <  และ x  D แล้ว | f(x) – L | <  ฟังก์ชัน f มีลิมิตเท่ากับ L ที่ x 0 เขียนแทนด้วย f(x) = L หรือ f(x)  L เมื่อ x  x 0

5 ข้อสังเกต 1. x 0 เป็นจุดลิมิตของ D ดังนั้น x 0 ไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ D 2. x  D ที่สอดคล้องกับ 0 < | x – x 0 | <  หมายถึง (1)0 < –( x – x 0 ) <  ดังนั้น x 0 –  < x < x 0 (2) 0 < ( x – x 0 ) <  ดังนั้น x 0 < x < x 0 +  จาก (1), (2) x  ( x 0 – , x 0 +  ) – { x 0 } แสดงได้ดังรูป x0x0 x 0 –  x 0 +  O ( )

6 3.  เป็นจำนวนจริงบวก เป็น ตัวกำหนด f(x) ให้เข้าใกล้จำนวนจริง L ตาม ต้องการ แต่ละ  จะมี  > 0 ( ซึ่งโดยทั่วไป  ขึ้นอยู่กับ ,  เป็นตัว กำหนด x ที่เข้าใกล้ x 0 ) ถ้า x  ( x 0 – , x 0 +  ) และ x  x 0 ทำให้ f(x)  ( L – , L +  )

7 ตัวอย่าง 1 กำหนด f(x) = จงแสดงว่า f(x) = 4 วิธีทำ ให้  > 0 ต้องการหา  > 0 โดยที่ ถ้า 0 < | x – 2 | <  ทำให้ < 

8 พิจารณา = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | เมื่อ x  2 เลือก  =  จึงได้ว่า ถ้า 0 < | x – 2 | <  ทำให้ = | x – 2 | <  นั่นคือ f(x) = 4 

9 ตัวอย่าง 2 กำหนด f(x) = x, x  จงแสดงว่า f(x) = x 0 วิธีทำ ให้  > 0 ต้องการหา  > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x 0 | <  ทำให้ | f(x) – x 0 | <  เลือก  =  จะได้ว่า ถ้า 0 < | x – x 0 | <  ทำให้ | f(x) – x 0 | = | x – x 0 | <  นั่นคือ f(x) = x 0

10 ตัวอย่าง 5 กำหนด f(x) = x 2 + x – 1 จงแสดงว่า f(x) = 5 วิธีทำ ให้  > 0 ต้องการหา  > 0 ที่ทำ ให้ | f(x) – 5 | <  เมื่อ 0 < | x – 2 | <  พิจารณา | f(x) – 5 | = | x 2 + x – 1 – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | ต้องการหาขอบเขตของ | x + 3 | เลือกพิจารณา   1 ได้ว่า ถ้า | x – 2 | < 1 ทำให้ 4 < x + 3 < 6 | x + 3 | < 6

11 ถ้า | x – 2 | <   1 ซึ่งทำให้ | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | เลือก  = min { 1, } จะได้ว่า ถ้า 0 < | x – 2 | <  ย่อมได้ว่า | x – 2 | < 1 ดังนั้น | ( x 2 + x – 1 ) – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | <  นั่นคือ f(x) = 5 

12 ทฤษฎีบท ให้ f : D , x 0 เป็นจุดลิมิตของ D ฟังก์ชัน f มีลิมิตที่ x 0 ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x 0 เมื่อ x n  D และ x n  x 0 ทุกๆ n  แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า การพิสูจน์ สมมติ f มีลิมิตเท่ากับ L ที่ x 0 และ เป็นลำดับใดๆในโดเมน D ที่ลู่เข้าสู่ x 0 และ x n  x 0 จะแสดงว่า เป็นลำดับลู่เข้า ให้  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x 0 | < , x  D ทำให้ | f(x) – L | < 

13 และเนื่องจาก ลู่เข้าสู่ x 0 โดย ที่ x n  x 0 สำหรับ n  จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ | x n – x 0 | < , n  k ดังนั้น 0 < | x n – x 0 | <  และ x n  D ทำ ให้ | f(x n ) – L | < , n  k นั่นคือ ลู่เข้า และ ลู่เข้าสู่ค่า L ในทางกลับกัน สมมติ สำหรับทุกๆลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x 0 เมื่อ x n  D และ x n  x 0

14 สำหรับ n  และ ลู่เข้าสู่ L จะแสดงว่า f มีลิมิตที่ x 0 เท่ากับ L สมมติ L ไม่เป็นลิมิตของ f ที่ x 0 ดังนั้นจะมี  > 0 ที่สำหรับทุกๆ  > 0 ที่ 0 < | x – x 0 | < , x  D ทำให้ | f(x) – L |   พิจารณากรณีที่กำหนดลำดับดังนี้ สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จะมี x n  D ซึ่ง 0 < | x n – x 0 | < ซึ่ง เป็นลำดับที่ x n  x 0 และลู่เข้าสู่ x 0 จึงทำให้ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ L จึงเกิดการ ขัดแย้งที่ | f(x n ) – L |   สำหรับทุกๆ n นั่นคือ f มีลิมิตที่ x 0  ดังนั้น | f(x n ) – L |  

15 ทฤษฎีบท ให้ f : D  มี x 0 เป็นจุดลิมิตของ D ถ้าแต่ละลำดับ ที่ลู่เข้าสู่ x 0 เมื่อ x n  D – {x 0 } ทุกๆ n และลำดับ เป็นลำดับโคชี แล้ว f มีลิมิต ที่ x 0 การพิสูจน์ เนื่องจากเป็นลำดับโคชี โดยทฤษฎีบท ได้ว่าเป็นลำดับลู่เข้า และโดยทฤษฎีบท ถ้าแต่ละ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ x 0 ที่ x n  D – {x 0 } สำหรับทุกๆ n แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า ทำให้ f มีลิมิตที่ x 0 

16 ทฤษฎีบท ให้ f : D , x 0 เป็นจุดลิมิตของ D ถ้า f มีลิมิตที่ x 0 แล้ว จะมี Q ซึ่งเป็นย่านของจุด x 0 ที่ทำให้ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันมีขอบเขตบน Q  D การพิสูจน์ ให้ f(x) = L ให้  = 1 จะมี  > 0 ซึ่ง 0 < | x – x 0 | <  และ x  D ทำให้ | f(x) – L | < 1 ดังนั้น L – 1 < f(x) < L + 1 แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี ถ้า x 0  D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 |, | f(x 0 ) | }

17 ถ้า x 0  D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 | } และให้ Q = ( x 0 – , x 0 +  ) ซึ่งเป็น ย่านของ x 0 สำหรับ x  Q  D ของทั้งสองกรณี ทำให้ | f(x) |  M นั่นคือ f มีขอบเขตบน Q  D 


ดาวน์โหลด ppt (Limit and Continuity). ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of Functions) แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x 0 มี ค่าเป็นจำนวนจริง L นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชัน f.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google