ความต่อเนื่องแบบเอกรูป (Uniform Continuity)

งานนำเสนอเรื่อง: "ความต่อเนื่องแบบเอกรูป (Uniform Continuity)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 ความต่อเนื่องแบบเอกรูป (Uniform Continuity)

2 เราได้ทราบแล้วว่า ถ้า f : D เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซต D แต่ละ x0 ที่เป็นจุดลิมิตของ D ทำให้ f(x) = f(x0) หรือกล่าวในรูปแบบ  และ  ได้ดังนี้ สำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง | x – x0 | <  , xD ที่ทำให้ | f(x) – f(x0) | <  ซึ่งโดยทั่วไป  จะขึ้นอยู่กับ  และ x0

3 พิจารณา f(x) = 2x + 1, x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่
| f(x) – f(x0) | = 2 | x – x0 | ให้  > 0 เลือก  = สำหรับทุกค่าของ x0 สอดคล้องกับนิยามความต่อเนื่องเสมอ แต่เมื่อพิจารณา g(x) = , xD , D = { x | x > 0 } g(x) – g(x0) = – = เลือก  = min { , } (1)

4 ถ้า | x – x0 | <  จะได้ | x – x0 | <
และ < ดังนั้นถ้า | x – x0 | < ทำให้ | g(x) – g(x0) | =  ( )| x – x0 |

5 เป็นผลให้ ถ้า | x – x0 | <  ทำให้
| g(x) – g(x0) | < ( )( ) =  ใน (1) การเลือกค่า  เป็นค่าที่ทำให้ | g(x) – g(x0) | <  เมื่อ | x – x0 | <  และ x, x0 D จะเห็นว่า  ที่เลือกนั้น ขึ้นอยู่กับ x0 ซึ่งไม่สามารถทำให้  ขึ้นอยู่กับเฉพาะ  สำหรับทุก x0D

6 { 2  { 2 2 1 g(x) = , x > 0

7 รูป แสดงกราฟ g(x) = ที่เมื่อกำหนด  สำหรับฟังก์ชัน g 2 กรณี เมื่อ x0 = 2 , g(2) = และ x0 = , g( ) = 2 ค่า  ที่ใหญ่สามารถเลือกได้ต่างกัน และยิ่ง x0 เข้าใกล้ 0 ค่า  จะเล็กมากๆเข้าใกล้ 0 ด้วย

8 บทนิยาม ฟังก์ชัน f : DR เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเอกรูป บน E  D ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่งถ้า x, yE และ | x – y | <  แล้ว | f(x) – f(y) | <  ทฤษฎีบท Uniform Continuity Theorem ให้ f : [ a, b ] เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [ a, b ] แล้ว f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเอกรูปบน [ a, b]