A point is an equilibrium point (critical point) for a system If is a solution of the system
An equilibrium point is called stable if for every > 0 there exists > 0 such that: then if for all t 0 y x
An equilibrium point is called an asymptotically stable if it is stable and there exists > 0 such that: if then y x is called unstable if it is not stable
System of linear differential equations เมื่อ สมการช่วยคือ เมื่อ และ คำตอบของสมการช่วยจะได้ eigenvalue 2 ตัว คือ 1 และ 2
กรณีที่ 1 eigenvalue ที่เป็นจำนวนจริง ทำได้ eigenvector 2 ตัว คือ ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้นกัน(linearly independent) คำตอบทั่วไปของระบบสมการคือ (i) 1 >2 > 0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า unstable nodal point
(ii) 1 <2 < 0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า stable nodal point (asymptotically stable ) จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า saddle point (iii) 1 > 0 >2 (unstable)
จุดสมดุล เรียกว่า line of critical point (iv) 1 = 0 >2 จุดสมดุล เรียกว่า line of critical point (v) 1 = 0 <2 (unstable)
(vi) 1 =2 > 0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า star nodal source (unstable ) (vii) 1 =2 < 0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า star nodal sink (asymptotically stable ) จุดสมดุลเป็นจุด unstable (viii) 1 =2 = 0
กรณีที่ 2 1= 2= เป็นจำนวนจริงที่เท่ากัน ได้ eigenvector 1 ตัว คำตอบทั่วไปของระบบสมการคือ (i) >0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า unstable improper node
จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า stable improper node (ii) <0 (asymptotically stable ) จุดสมดุล เรียกว่า line of critical point (iii) =0
กรณีที่ 3 1=a+bi และ 2=a-bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน ได้ eigenvector คือ v + iw คำตอบทั่วไปของระบบสมการคือ จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า spiral source (i) a>0
จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า spiral sink (ii) a<0 จุดสมดุล (0,0) เรียกว่า stable center (iii) a=0