งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

Eigenvalue & Eigenvector. 1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem.

งานนำเสนอเรื่อง: "Eigenvalue & Eigenvector. 1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

Eigenvalue & Eigenvector

1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem

 derived from the German word "eigen“ means "proper" or "characteristic."  Eigenvalues and the associated eigenvectors ‘special’ properties of square matrices (n x n)  Eigenvalues parameterize the dynamical properties of the system (timescales, resonance properties, amplification factors, etc)  Eigenvectors define the vector coordinates of the normal modes of the system.

A: a Linear Transformation Square Matrix (n x n) x: Eigenvector (non-zero vector) of A (not unique) ג : Eigenvalue (Scalar value) of A

Page 334

 Each eigenvector associated with a particular eigenvalue.

 The general state of the system can be expressed as a linear combination of eigenvectors.

 The beauty of eigenvectors is that They can be made orthogonal (decoupled from one another). An orthogonal expansion of the system is possible. The normal modes can be handled independently

 The dominant eigenvector of a matrix A an eigenvector corresponding to the eigenvalue of largest magnitude  (for real numbers, largest absolute value) of that matrix.  Many of the "real world" applications are primarily interested in the dominant eigenpair. The method used to find the dominant eigenvector is called the power method.

 The eigenvalue of smallest magnitude of a matrix is the same as the inverse (reciprocal) of the dominant eigenvalue of the inverse of the matrix.  If the eigenvalue of smallest magnitude is needed, the inverse matrix A is often used to solve for its dominant eigenvalue. This is why the dominant eigenvalue is so important.

Eigenvalue & Eigenvector

Pages 335-336a Continued

-4x 1 +2x 2 = 0 2x 1 - x 2 = 0

=

x 1 + 2x 2 = 0 2x 1 +4x 2 = 0

=

Spectrum ของ A={-1,- 6} และ spectral radius =|- 6| =6

Gaussian elimination

Page 337b

 Eigenvalue problem arising from population models  อธิบายการเจริญเติบโตของประชากรตาม อายุที่กำหนด  กำหนดให้ประชากรอายุมากที่สุดของสัตว์ ชนิดหนึ่งอยู่ที่ 6 ปี แบ่งช่วงอายุออกเป็นสามคลาสโดยแต่ละคลาสห่าง กัน 2 ปี นั้นคือ 2,4,6 ปี

( ในแถวที่ 1) หมายถึงจำนวนเฉลี่ยเพศเมียที่เกิดขึ้นของแต่ละคลาส k ความเป็นไปได้ที่เพศเมียในคลาส j-1 จะมีชีวิตรอดต่อไปในคลาส j จงหา 1) จำนวนเพศเมียของแต่ละคลาสเมื่อเวลาผ่านไป 2, 4, 6 ปี โดยกำหนดเพศเมียเริ่มต้นของทั้งสามคลาสมี 500 ตัว 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงและค่าการกระจายเริ่มต้นมีค่าเท่าไรที่ทำให้ จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาสเปลี่ยนแปลงด้วยสัดส่วนเดียวกัน

 เริ่มต้นจำนวนเพศเมียของแต่ละคลาส  หลังจากผ่านไป 2 ปีมีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้

 หลังจากผ่านไป 4 ปี มีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้  หลังจากผ่านไป 6 ปี มีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้

 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงและค่าการกระจายเริ่มต้น มีค่าเท่าไรที่ทำให้จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาส เปลี่ยนแปลงด้วยสัดส่วนเดียวกัน  โจทย์ต้องการทราบเวคเตอร์การแจงแจง ก็คือ  อัตราการเจริญเติบโตโดยที่ ถ้าค่า >1 แสดงว่าการเจริญเติบโตเพิ่มขึ้น ถ้า <1 แสดงว่าการเจริญเติบโตลดลง

จำนวนเพศเมียในคลาส 2 ปี เท่ากับ จำนวนเพศเมียในคลาส 4 ปี เท่ากับ จำนวนเพศเมียในคลาส 6 ปี เท่ากับ

 ค่าการกระจายเริ่มต้นของแต่ละคลาสที่ทำให้ จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาสเปลี่ยนแปลงด้วย สัดส่วนเดียวกันมีดังนี้

 Eigen Face Principle of Component Analysis (PCA)

 ตัวอย่างเมตริกซ์สมมาตร, เมตริกซ์เสมือน สมมาตร (skew-symmetric) และ orthogonal  [*** เมตริกซ์เสมือนสมมาตรมี main diagonal เป็นศูนย์หมด ***]

หา inverse ได้

=5,

Repeated eigenvalue ในบางกรณี ก็ไม่สามารถหา eigenvector ได้ตามจำนวน Rn

D: eigenvalue diagonal matrix

A: square matrix (nxn) n: large - Use eigenvalues & eigenvectors to solve

Same direction as eigenvector, just scaling the magnitude Any vector could be represented (transformed) as a linear combination of eigenvectors

A linear combination of eigenvectors

Independent eigenvectors P: Matrix of eigenvectors

Diagonal Matrix of eigenvalues

Continued

งานนำเสนอที่คล้ายกัน