Eigenvalue & Eigenvector. 1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem.

งานนำเสนอเรื่อง: "Eigenvalue & Eigenvector. 1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Eigenvalue & Eigenvector

2 1. Get to know: Eigenvalue & Eigenvector 2. Estimation of Eigenvalue & Eigenvector 3. Theorem

3  derived from the German word "eigen“ means "proper" or "characteristic."  Eigenvalues and the associated eigenvectors ‘special’ properties of square matrices (n x n)  Eigenvalues parameterize the dynamical properties of the system (timescales, resonance properties, amplification factors, etc)  Eigenvectors define the vector coordinates of the normal modes of the system.

4 A: a Linear Transformation Square Matrix (n x n) x: Eigenvector (non-zero vector) of A (not unique) ג : Eigenvalue (Scalar value) of A

5 Page 334

6  Each eigenvector associated with a particular eigenvalue.

7

8  The general state of the system can be expressed as a linear combination of eigenvectors.

9  The beauty of eigenvectors is that They can be made orthogonal (decoupled from one another). An orthogonal expansion of the system is possible. The normal modes can be handled independently

10  The dominant eigenvector of a matrix A an eigenvector corresponding to the eigenvalue of largest magnitude  (for real numbers, largest absolute value) of that matrix.  Many of the "real world" applications are primarily interested in the dominant eigenpair. The method used to find the dominant eigenvector is called the power method.

11  The eigenvalue of smallest magnitude of a matrix is the same as the inverse (reciprocal) of the dominant eigenvalue of the inverse of the matrix.  If the eigenvalue of smallest magnitude is needed, the inverse matrix A is often used to solve for its dominant eigenvalue. This is why the dominant eigenvalue is so important.

12 Eigenvalue & Eigenvector

13 Pages 335-336a Continued

14

15

16

17 -4x 1 +2x 2 = 0 2x 1 - x 2 = 0

18 =

19 x 1 + 2x 2 = 0 2x 1 +4x 2 = 0

20 =

21 Spectrum ของ A={-1,- 6} และ spectral radius =|- 6| =6

22

23 Gaussian elimination

24 Page 337b

25

26

27

28  Eigenvalue problem arising from population models  อธิบายการเจริญเติบโตของประชากรตาม อายุที่กำหนด  กำหนดให้ประชากรอายุมากที่สุดของสัตว์ ชนิดหนึ่งอยู่ที่ 6 ปี แบ่งช่วงอายุออกเป็นสามคลาสโดยแต่ละคลาสห่าง กัน 2 ปี นั้นคือ 2,4,6 ปี

29 ( ในแถวที่ 1) หมายถึงจำนวนเฉลี่ยเพศเมียที่เกิดขึ้นของแต่ละคลาส k ความเป็นไปได้ที่เพศเมียในคลาส j-1 จะมีชีวิตรอดต่อไปในคลาส j จงหา 1) จำนวนเพศเมียของแต่ละคลาสเมื่อเวลาผ่านไป 2, 4, 6 ปี โดยกำหนดเพศเมียเริ่มต้นของทั้งสามคลาสมี 500 ตัว 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงและค่าการกระจายเริ่มต้นมีค่าเท่าไรที่ทำให้ จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาสเปลี่ยนแปลงด้วยสัดส่วนเดียวกัน

30  เริ่มต้นจำนวนเพศเมียของแต่ละคลาส  หลังจากผ่านไป 2 ปีมีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้

31  หลังจากผ่านไป 4 ปี มีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้  หลังจากผ่านไป 6 ปี มีจำนวนเพศเมียของแต่ละ คลาสดังนี้

32  จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงและค่าการกระจายเริ่มต้น มีค่าเท่าไรที่ทำให้จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาส เปลี่ยนแปลงด้วยสัดส่วนเดียวกัน  โจทย์ต้องการทราบเวคเตอร์การแจงแจง ก็คือ  อัตราการเจริญเติบโตโดยที่ ถ้าค่า >1 แสดงว่าการเจริญเติบโตเพิ่มขึ้น ถ้า <1 แสดงว่าการเจริญเติบโตลดลง

33

34 จำนวนเพศเมียในคลาส 2 ปี เท่ากับ จำนวนเพศเมียในคลาส 4 ปี เท่ากับ จำนวนเพศเมียในคลาส 6 ปี เท่ากับ

35  ค่าการกระจายเริ่มต้นของแต่ละคลาสที่ทำให้ จำนวนเพศเมียในแต่ละคลาสเปลี่ยนแปลงด้วย สัดส่วนเดียวกันมีดังนี้

36  Eigen Face Principle of Component Analysis (PCA)

37

38

39

40  ตัวอย่างเมตริกซ์สมมาตร, เมตริกซ์เสมือน สมมาตร (skew-symmetric) และ orthogonal  [*** เมตริกซ์เสมือนสมมาตรมี main diagonal เป็นศูนย์หมด ***]

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51 หา inverse ได้

52

53 =5,

54 Repeated eigenvalue ในบางกรณี ก็ไม่สามารถหา eigenvector ได้ตามจำนวน Rn

55 D: eigenvalue diagonal matrix

56

57

58 A: square matrix (nxn) n: large - Use eigenvalues & eigenvectors to solve

59 Same direction as eigenvector, just scaling the magnitude Any vector could be represented (transformed) as a linear combination of eigenvectors

60

61

62 A linear combination of eigenvectors

63

64

65 Independent eigenvectors P: Matrix of eigenvectors

66 Diagonal Matrix of eigenvalues

67

68

69 Continued

70