บทพิสูจน์ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ จัดทำโดย นาย ธัชกร เพชรอภิรักษ์ ชั้น ม.4/5 เลขที่ 6

ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น เป็นสาขาวิชาหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับจำนวนเต็ม และสมบัติต่างของจำนวนเต็มและเป็นพื้นฐานที่สำคัญสำหรับการศึกษาต่อในระดับสูง

- การหารลงตัว - ขั้นตอนวิธีการหาร - ตัวหารร่วมมาก - ตัวคูณร่วมน้อย ประกอบด้วย - การหารลงตัว - ขั้นตอนวิธีการหาร - ตัวหารร่วมมาก - ตัวคูณร่วมน้อย 

การหารลงตัว บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 บทนิยาม  ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 B หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหาร ของ a และ เรียก a ว่าเป็น พหุคูณ ของ b

ข้อตกลง  ใช้สัญญาลักษณ์ a|b  แทนหารลงตัว a†b แทนหารไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น 3|12    เพราะ     12 = 3 x 4 -5|15    เพราะ    15 = (-5)(-3)  ตัวอย่างดังกล่าวเป็นตัวอย่างของทฤษฎบทต่อไปนี้ จากการสังเกตตัวอย่างเช่น  1. 11|66   และ  66 |198  จะไดว่า 11|189 2. 15|27   และ  75 |450  จะได้ว่า 15|450    3. 21|126 และ 126|882   จะได้ว่า21|882 

พิสูจน์ สมมติ a | b จะมีจำนวนเต็ม x ที่ทำให้ b = ax ทฤษฏีบท ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a|b และ a≠b พิสูจน์ สมมติ a | b จะมีจำนวนเต็ม x ที่ทำให้ b = ax เนื่องจาก a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ x เป็นจำนวนเต็มบวก ฉะนั้น x ≥ 1 จะได้ ax ≥ a (เพราะ a เป็นจำนวนเต็มบวก) ดังนั้น b ≥ a ตัวอย่างเช่น 5 | 100 จะเห็นว่า 5 ≤ 100 12 | 12 จะเห็นว่า 12 = 12

ประวัติเครื่องหมายหาร (÷) ในการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ การกระทำกันของจำนวนชุดแรก ๆ ที่ทุกคนรู้จักและเคยใช้กันทุกคน คือ การบวก ลบ คูณ หาร การกระทำกันนำมาใช้ในชีวิตประจำวันก่อนที่จะมีสัญลักษณ์เหล่านี้ด้วยซ้ำไป เรื่องที่ยากที่สุดในกลุ่มนี้ คงหนีไม่พ้นเรื่องการหาร สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการหารที่คุ้นตาผู้เรียน คือ ÷ ในปี 1616-1703 สัญลักษณ์ ÷ แทนการหาร ได้ถูกนำมาใช้ครั้งแรก โดย จอห์น วอลลิส ( John Wallis ) ที่ประเทศอังกฤษ และสหรัฐกเมริกา แต่ไม่ค่อยแพร่หลายในทวีปยุโรป เนื่องจากก่อนหน้านั้น ได้ใช้เครื่องหมายโครอน ( : ) จนชินแล้ว ปี 1923 คณะกรรมการแห่งชาติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ในประเทศสหรัฐอเมริกากล่าวว่า เครื่องหมายหาร (÷) และ เครื่องหมายโครอน ( : ) ไม่ได้ถูกนำมาใช้ชิวิตประจำวัน และทางธรุกิจจริงจัง ส่วนใหญ่นำมาใช้ในวิชาพิชคณิตเท่านั้น จึงมีการนำเครื่องหมายเศษส่วน ( - หรือ / ) มาใช้แทนเครื่องหมายหาร (÷) ในปัจจุบัน เครื่องหมายที่กล่าวมาไม่ว่าจะเป็น เครื่องหมายหาร ( ÷) เครื่องหมายโครอน ( : ) และ เครื่องหมายเศษส่วน ( - หรือ /) ได้ถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์ และศาสตร์ชั้น สูงตามลักษณะของวิชา และได้เพิมขึ้นมาให้เห็น ในรูปของเศษส่วน ใช้แทนการหาร