Application of Graph Theory The Gallery Problem Application of Graph Theory

ผู้จัดทำ นายทรงพล ลิ้มพิสูจน์ เลขที่ 13 ชั้น 6/7 นายปพจน์ ธรรมเจริญพร เลขที่ 16 ชั้น 6/7

What’s The Gallery Problem?? กำหนดให้กำแพงของพิพิธภัณฑ์มีรูปร่างเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆซึ่งประกอบด้วยด้าน n ด้าน กำหนดให้มียามเฝ้าพิพิธภัณฑ์อยู่ในตำแหน่งต่างๆที่คงที่ไว้ สมมติว่ายามสามารถหมุนตัวเพื่อตรวจตราสภาพโดยรอบได้อย่างอิสระแต่ห้ามเคลื่อนที่จากจุดเดิม เพื่อประหยัดค่าใช้จ่าย เราควรจะจ้างยามให้จำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่ในขณะเดียวกันก็ต้องแน่ใจว่าพิพิธภัณฑ์ได้รับการตรวจตราทุกตารางนิ้วด้วย เราควรจะจ้างยามเป็นจำนวนน้อยที่สุดกี่คน นิยาม f(n) แทนจำนวนของยามที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้กรณีที่พิพิธภัณฑ์มีจำนวนด้าน n ด้านและมีรูปร่างอิสระ

n = 5 ยังไงๆก็ใช้คนเดียวพอ

n = 6 อันนี้คนเดียวพอ อันนี้ต้อง 2 คน

Investigate the problem พยายามสร้างรูปที่ซับซ้อนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้... n = 8 f(8) = 2

n = 12 f(n) = 3 ??

n = 12 f(n) = 4 ??

f(3) = 1 f(4) = 1 f(5) = 1 f(6) = 2 f(7) = 2 f(8) = 2 f(9) = 3 f(10) = 3 f(11) = 3 f(12) = 3 … คาดเดา : f(n) = floor(n/3) ??? (floor ของ x คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x) จริงหรือเปล่า ?????? ยิ่งตอนที่ n มีค่ามากๆ รูปอาจซับซ้อนมาก แล้วเราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าใช้ยามเท่านี้เพียงพอแน่ๆ

สิ่งหนึ่งที่รู้แน่นอน คือ f(n) ≥ floor(n/3) ลากเส้นตรงเส้นหนึ่งยาวพอสมควรลากเส้นตรงต่อ ณ จุดปลายข้างใดข้างหนึ่ง ทำเป็น “ซอก” ลึกลงไป ทำลักษณะเดียวกันนี้หลายๆครั้ง ระหว่าง “ซอก” ก็ลากเส้นตรงคั่นด้วย หากมีเส้นตรงเหลือก็ให้ทำ “ซอก” ติดกันในตอนท้าย

“ซอก” หนึ่งๆจะสร้างได้โดยด้าน 3 ด้าน ยกเว้น “ซอก” สุดท้าย จะใชเพียง 2 ด้าน ดังนั้น หากกำหนดด้านมา n ด้าน เราก็จะสร้าง “ซอก” ได้อย่างน้อย floor(n/3) “ซอก”) เห็นได้ชัดเจนว่า “ซอก” หนึ่งๆจะต้องใช้ยามหนึ่งคนแน่ๆ ดังนั้น f(n) ≥ floor(n/3) *

Consider into a graph แทนจุดยอดมุมรูปหลายเหลี่ยมเป็น จุดยอดของกราฟ ขอบของรูปหลายเหลี่ยมแทนเส้นในกราฟ

กลยุทธ์ : พิจารณาการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมย่อยๆที่ไม่ทับซ้อนกัน และมีจุดยอดเป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม (จะเรียกการแบ่งเช่นนี้ว่า Triangulation)

กลยุทธ์ : หากให้ยามยืนเฝ้าบริเวณจุดยอดมุมของสามเหลี่ยมพอดี จะพบว่าสามเหลี่ยมทุกอันที่มีจุดยอดมุมที่ยามยืนอยู่เป็นส่วนประกอบนั้น จะได้รับการดูแลอย่างแน่นอน (แต่ไม่รับประกันว่าสามเหลี่ยมอื่นๆจะได้รับการสอดส่องครบ)

กลยุทธ์ : พิจารณาการระบายสีจุดยอดของกราฟด้วยสีสามสี กำหนดเงื่อนไขว่า จุดประชิดกันต้องมีสีต่างกัน ดังนั้น สามเหลี่ยมทุกชิ้นจะมีจุดยอดสามสีเสมอ หลังจากระบายสีเสร็จแล้ว เราสามารถเลือกสีใดสีหนึ่ง เสร็จแล้ววางยามไว้ตรงมุมที่ระบายสีนั้น เราแน่ใจได้เลยว่า สามเหลี่ยมทุกชิ้นได้รับการดูแลแน่นอน

กลยุทธ์ : มีทฤษฎีกล่าวไว้ว่า เมื่อมีรูป n เหลี่ยมมาให้ ไม่ว่าเราจะทำ Triangulation แบบใดก็ตามและระบายสีอย่างไรก็ตาม จะมีสีหนึ่งซึ่งจุดสีนั้นๆมีจำนวนไม่เกิน floor(n/3) จุด เสมอ f(n) ≤ floor(n/3)**

จาก * และ ** จะได้ว่า f(n) = floor(n/3) Conclusion!!!

อิอิ จบแล้วนะค่ะ ขอบคุณค่ะ บายบายทุกๆๆคน