Game Theory

History John von Neumann and Morgenstern wrote a book titled “Theory of Games and Economic Behavior” Used in Business, Economics, Social Sciences, etc.

Two-person zero-sum games เกมที่จะเรียนมีแค่สองผู้เล่น (2 players) ถ้าคนนึงได้ อีกคนจะเสียเสมอ เขียน Pay-off matrix: เลือก 10 หรือ 25 บาททั้งคู่ Robert ได้ Carol Robert 10 บาท 25 บาท 10 -25 25

ตารางของ Carol 10 บาท 25 บาท -10 10 25 -25

Strategy (กลยุทธ์) กลยุทธ์ หรือ กลวิธี (Strategies) = ทางเลือกที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายจะเลือกใช้ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายจะมีกี่กลวิธีก็ได้ขึ้นอยู่กับความสามารถของผู้เล่นแต่ละฝ่าย กลวิธีมี 2 ประเภท คือ กลวิธีแท้ หรือกลยุทธ์แท้ (Pure strategies) เลือกใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเป็นประจำ โดยไม่สนใจว่าคู่แข่งขัน อีกฝ่ายหนึ่งจะใช้กลยุทธ์ใด กลวิธีผสมหรือกลยุทธ์ผสม (Mixed strategies)

Strictly Determined Games หา optimal strategy 1 ใส่ดอกจันข้าง ๆ entry ที่น้อยที่สุดในแต่ละแถว 2 ใส่กล่องรอบ ๆ entry ที่มากที่สุดในแต่ละหลัก 3 ถ้า entry ไหนมีทั้งดอกจันและกล่อง  saddle point 4 แถวที่มี saddle point เป็นกลยุทธ์ของ Robert หลักที่มี saddle point เป็นกลยุทธ์ของ Carol 5 game ๆ หนึ่งจะมี saddle point หลาย ๆ จุดก็ได้ ถ้ามันมีค่าเท่ากัน 6 ถ้าไม่มี saddle point, game นี้ไม่ใช่ strictly determined game

Example * Saddle Point

Non-strictly determined games No saddle points * *

Random Variable Dependent: P(X|Y) = P(X, Y) / P(Y) Independent: P(X, Y) = P(X) * P(Y)

Independent Random Variable X, Y เป็น random variable ถ้า X ไม่ขึ้นกับ Y, P(X= x, Y= y) = P(X = x).P(Y = y) เช่น X = ข้าว หรือ ก๋วยเตี๋ยว Y = นอกบ้าน หรือ ในบ้าน P(X = ข้าว) = 0.3, P(X = ก๋วยเตี๋ยว) = 0.7 P(Y = นอกบ้าน) = 0.4, P(Y = ในบ้าน) = 0.6 P(X = ก๋วยเตี๋ยว, Y = นอกบ้าน) = 0.7 * 0.4 = 0.28 P(X = ก๋วยเตี๋ยว, Y = ในบ้าน) = 0.7 * 0.6 = 0.42 P(X = ข้าว, Y = นอกบ้าน) = 0.3 * 0.4 = 0.12 P(X = ข้าว, Y = ในบ้าน) = 0.3 * 0.6 = 0.18

Expected Value X เป็น random variable percent ที่จะได้กำไร 1000 บาท 50% percent ที่จะได้กำไร 2000 บาท 25% percent ที่จะได้กำไร 4000 บาท 25% ถามว่า กำไรเฉลี่ยที่คาดจะได้ มีค่าเท่าไร? 10 วัน -> 5 * 1000 + 2.5 * 2000 + 2.5 * 4000 = 20,000 เพราะฉะนั้น กำไรเฉลี่ย 2000 ต่อวัน E[X] = sum(% * x) = 0.5 * 1000 + 0.25 * 2000 + 0.25 * 4000 = 500 + 500 + 1000 = 2000

ตัวอย่าง X = random variable มีค่าได้สองค่า คือ 10 กับ -25 P(X = 10) = 0.2 P(X = -25) = 0.8 E[X] = P(X = 10) * 10 + P(X = -25) * -25 = 0.2 * 10 + 0.8 * -25 = 2 * -20 = -18

ตัวอย่าง 2 E[X] = 2+6+15 = 23 X = 10 X = 20 X =30 P(X) 0.2 0.3 0.5 P(X)*X 2 6 15 E[X] = 2+6+15 = 23

ตัวอย่าง 3 ก๋วยเตี๋ยว ข้าว ในบ้าน 4 8 นอกบ้าน 6 3 P(X = ข้าว) = 0.3, P(X = ก๋วยเตี๋ยว) = 0.7 P(Y = นอกบ้าน) = 0.4, P(Y = ในบ้าน) = 0.6 Expected value ของ ความพึงพอใจ = ? Expected value ของ ความพึงพอใจ = (0.7*0.6)*4 + (0.3*0.6)*8 + (0.7*0.4)*6 + (0.3*0.4)*3 = 5.16

Non-strictly determined games robert ใช้กลยุทธ์ เลือก dime 20% เลือก quarter 80% carol ใช้กลยุทธ์ เลือก dime 70% เลือก quarter 30% Value of game = expected payoff ของ Robert =? Dime Quarter 0.2*0.7 = 0.14 0.2 * 0.3 = 0.06 0.2 0.8*0.7 = 0.56 0.8 * 0.3 = 0.24 .8 .7 .3

Dime Quarter 10 -10 -25 25 Dime Quarter 0.14 * 10 0.06 * -10 0.56 * -25 0.24 * 25 Expected Pay-off = 1.4 - 0.6 – 14 + 6 = -7.2

Non-strictly determined games Dime Quarter 10 -10 -25 25 หา Optimal Strategy ของทั้ง 2 players กรณี Robert ให้ P(dime) = r P(quarter) = 1-r ถ้า Carol เลือก dime, Robert ได้ pay-off เฉลี่ย = r * 10 + (1-r) *-25 = 35r - 25 ถ้า Carol เลือก quarter, Robert ได้ pay-off เฉลี่ย = r * -10 + (1-r) * 25 = -35r + 25 35r – 25 = -35r + 25  r = 50/70 = 5/7 P(Robert เลือก dime) = 5/7, P(Robert เลือก quarter) = 2/7

Non-strictly determined games Dime Quarter 10 -10 -25 25 กรณี Carol ให้ P(dime) = c P(quarter) = 1-c ถ้า Robert เลือก dime, Carol ได้ pay-off เฉลี่ย = c * -10 + (1-c) *10 = -20c + 10 ถ้า Robert เลือก quarter, Carol ได้ pay-off เฉลี่ย = c * 25 + (1-c) * -25 = 50c - 25 20c - 10 = -50c + 25  c = 35/70 P(Carol เลือก dime) = 1/2, P(Carol เลือก quarter) = 1/2

Dime Quarter 10 -10 -25 25 Dime Quarter 5/7*1/2 2/7*1/2 Expected Payoff ของ Robert = 5/14 * 10 + 5/14 * -10 + 2/14 * -25 + 2/14 * 25 = 0 Dime Quarter 5/7*1/2 2/7*1/2

Reduction by Dominance