Chapter 8 Continuous Beams

Beams that are continuous over two or more spans. 8-1 Introduction Span 1 Span 2 Beams that are continuous over two or more spans. Two techniques are discussed: - Three-moment equation - Moment distribution

วิธี redundant forces method (โดย superposition technique) Span 1 Span 2 1. ให้ RB เป็น redundant force วิธีทำ RB A 2. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ B คือ B C Fig.0 Fig.I Fig.II Fig.0 = Fig.I + Fig.II Span 1 Span 2 RB 3. อาจใช้วิธี superposition เพื่อคำนวณหา RB ได้ โดยใช้สมการด้านล่างนี้

1. ให้ RB เป็น redundant force วิธีทำ ตัวอย่าง 1. ให้ RB เป็น redundant force วิธีทำ RB A 4 m 5 m B C 2. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ B คือ Fig.0 Fig.I Fig.II Fig.0 = Fig.I + Fig.II Span 1 Span 2 RB 3. อาจใช้วิธี superposition เพื่อคำนวณหา RB ได้ จากตาราง 6-2 Ans

วิธีที่สะดวกกว่า ได้แก่ วิธี Three-Moment-Equations วิธี redundant forces method (โดย double integration technique) 1. ให้ RA เป็น redundant force วิธีทำ RA Span 1 Span 2 A 5. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ A, B และ C ใช้ในการคำนวณหา C1, C2 และ RA ได้ B C 2. ใช้สมการสมดุลคำนวณ RB ในเทอมของ RA RB 3. สามารถเขียนสมการโมเมนต์ ทั้งหมดในเทอมของ RA 4. จากสมการโมเมนต์ สามารถใช้วิธี double integration คำนวณ deflection ในรูปของตัว แปรไม่ทราบค่า 3 ตัวคือ C1, C2 และ RA วิธีที่สะดวกกว่า ได้แก่ วิธี Three-Moment-Equations

8-2 Generalized Form of Three-moment Equation สำหรับหน้าตัด 1, 2 และ 3 บนคานที่รับแรงกระทำแบบใด ๆ เราสามารถพิสูจน์สมการ ‘สามโมเมนต์’ ดังต่อไปนี้ ชิ้นส่วน 12 และ 23 จะต้องอยู่ในสมดุล โดยแรงภายใน ได้แก่โมเมนต์กระทำที่ปลาย 1, 2 และ 3 (M1, M2 และ M3)

เราสามารถใช้หลักการของ superposition ในการวาด โมเมนต์ไดอะแกรม ของชิ้นส่วนทั้งสอง (12 และ 23)

พิจารณา segment 123 จะได้ t1/2, t3/2 ซึ่งหมายถึงระยะที่วัดจากจุด 1 และ 3 ลงมายังเส้นสัมผัสดังกล่าว ลากเส้นสัมผัสผ่านจุด 2 และ h1, h3 ซึ่งหมายถึงระยะที่จุด 1 และ 3 อยู่สูงกว่าจุด 2 ตามลำดับ

จากความสัมพันธ์สามเหลี่ยมคล้าย ค่า t1/2 และ t3/2 สามารถคำนวณได้จาก ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์ ดังนี้

สมการที่ได้จากสามเหลี่ยมคล้าย ค่า t1/2 และ t3/2 จาก ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์

แทนค่า t1/2 และ t3/2 ลงในสมการที่ได้จากสามเหลี่ยมคล้าย ได้เป็น Multiply by 6EI Eq. (8-1) สมการ ‘สามโมเมนต์’

8-3 Factor for Three-moment Equation

Case uniformly varying load

Factors และ สำหรับสมการสามโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ หรือใช้สูตรในตาราง 6-1

8-4 Application of Three-moment Equation ตัวอย่าง 1 2 3 Prob. 811

ตัวอย่าง Prob. 812 1 2 3 4

8-5 Reaction of Continuous Beams; Shear Diagrams วิธีการคำนวณหาแรงปฏิกริยาวิธีหนึ่ง (ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก) ได้แก่การตัด section ทีละ support แล้วใช้สมการสมดุลเพื่อคำนวณ แรงปฏิกริยา แล้วทำเช่นเดิมไปเรื่อยๆ

ทำซ้ำเช่นนี้ (ใช้สมการสมดุล) ไปเรื่อยๆ จะได้แรงปฏิกริยาครบทุก support อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ ไม่เป็นที่นิยมนัก เพราะหากเป็นคานหลายช่วง จะต้องคำนวณหลายรอบและอาจคำนวณผิดพลาดได้ง่าย

วิธีการคำนวณหาแรงปฏิกริยาที่สะดวก (และเป็นที่นิยมกว่า) ได้แก่การตัด section ทุกๆ support แล้วใช้สมการสมดุลเพื่อคำนวณ แรงภายในที่ปลายทั้งหมด เมื่อนำมารวมกันจะได้เป็น แรงปฏิกริยาทุก support

เราสามารถวาด SFD และ BMD ในแต่ละ segment ได้ SFD (N) 952.4 352.4 -347.6 638.8 -561.2 SFD (N) SFD (N) -455 745 BMD (N.m) -342.7 -695.1 -609.7 510.1 BMD (N.m) -444.7 BMD (N.m) -609.7 -49.7 -444.7

วิธีนี้สะดวกและเป็นที่นิยมมาก เมื่อนำ SFD และ BMD ของทั้งสามรูปมาวาดรวมกันจะได้ SFD และ BMD ของคานทั้งหมด 952.4 352.4 -347.6 638.8 -561.2 -455 745 SFD (N) BMD (N.m) -342.7 -695.1 510.1 -444.7 -609.7 -49.7 วิธีนี้สะดวกและเป็นที่นิยมมาก R1 = 745-(-561.2) = 1,306.2 N ซึ่งแรงปฏิกริยาสามารถคำนวณจากผลต่างของแรงเฉือน ณ จุดรองรับ เช่น

8-6 Continuous Beams with Fixed Ends สมการสามโมเมนต์สามารถใช้แก้ปัญหาคานต่อเนื่องที่มีปลายยึดแน่นได้เช่นกัน หากเราจินตนาการว่า มีคานที่เหมือนกันทุกประการที่ฝั่งตรงข้ามแล้วใช้สมการสามโมเมนต์จะได้ จัดรูปเป็น หรือจะคิดว่า มีคานในจินตนาการ (imaginary span) ที่ฝั่งตรงข้าม แล้วเขียนสมการสามโมเมนต์ จากนั้นให้กำหนดปริมาณทุกอย่างที่เกี่ยวกับ imaginary span เป็นศูนย์ ก็จะได้สมการเดียวกัน

8-7 Deflection Determined by the Three-Moment Equations เราสามารถใช้สมการสามโมเมนต์ในการหาระยะแอ่นตัวของคานได้เช่นกัน ดังนี้ จากรูปสมมติว่าเราต้องการหาระยะแอ่นตัวที่จุด (2) BMD (lb.ft) ให้แบ่งคาน ณ ตำแหน่งที่ต้องการหาระยะแอ่นตัวเป็น span 1 และ 2 แล้วเขียนสมการสามโมเมนต์ ซึ่งจากรูป ค่า h1 และ h3 คือ d นั่นเอง d 270

d นำค่าโมเมนต์จาก BMD แทนในสมการสามโมเมนต์ เมื่อ และ 270 d เมื่อ และ ดังนั้นสมการด้านบนจะกลายเป็น แก้สมการเพื่อหาค่า d จะได้ระยะแอ่นตัวที่ต้องการ Ans

ตัวอย่าง จากรูปหากต้องการหาระยะแอ่นตัวที่ (0) ให้แบ่ง คานที่ (1) ได้เป็นspan 0 และ 1 d จากรูปจะได้ว่า -d เขียนสมการสามโมเมนต์ได้เป็น และผลการคำนวณใน Prob.811 ได้ว่า -240 - 418 เมื่อ และ แทนค่าลงในสมการได้เป็น แก้สมการหาค่า EId ได้ Ans

8-8 Moment Distribution (วิธีกระจายโมเมนต์) วิธีกระจายโมเมนต์นี้ มีคำศัพท์สำคัญอยู่ หลายคำได้แก่ 1. Beam Stiffness (สติฟเนสของคาน) หมายถึง โมเมนต์ที่ต้องกระทำที่ปลายคานเพื่อให้ปลายคานนั้นหมุนไปเป็นมุม 1 เรเดียน 2. Carry Over Moment (โมเมนต์ส่งถ่าย) หมายถึง โมเมนต์ที่เกิดขึ้นที่ปลายคานฝั่งตรงข้าม ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องจากการใส่โมเมนต์ที่ปลายคานอีกฝั่งหนึ่ง

การพิสูจน์ Carry Over Moment & Beam Stiffness โดย Area Moment Theorem

ค่าแรงกระทำที่ปลายทั้งหมดของคาน เมื่อเกิดการหมุนที่ปลาย เป็นมุม q

สำหรับคานต่อเนื่อง ณ จุดต่อจะมีมุมหมุนขนาดเท่ากัน

เราสามารถวาด SFD และ BMD ได้โดยนำกราฟของแต่ละชิ้นส่วนมาต่อกัน

แรงภายใน MBA และ MBC ควรมีค่าเป็นเท่าใด? MB = 2,000 kg.m ตัวอย่าง MB = 2,000 kg.m แรงภายใน MBA และ MBC ควรมีค่าเป็นเท่าใด? MBA = ?? kg.m MBC = ?? kg.m - จุด B ต้องอยู่ในสมดุลต่อการหมุนนั่นคือ MBA+ MBC = 2,000 kg.m - สมมติให้มุมหมุนที่จุด B มีค่าเป็น q ในชิ้นส่วน AB และ BC จะต้องมีค่าเท่ากัน MBC = (4EI/6)q = (2/3)EIq MBA = (4EI/4)q = EIq 6 m 4 m

MBC = (4EI/6)q = (2/3)EIq MBA = (4EI/4)q = EIq 6 m 4 m แทนลงใน MBA+ MBC = 2,000 kg.m ได้เป็น EIq + (2/3) EIq = 2,000 kg.m EIq = (3/5)2,000 = 1,200 kg.m MBA = EIq = 1,200 kg.m MBC = (2/3)EIq = 800 kg.m MBC = 800 kg.m MBA = 1,200 kg.m 6 m 4 m

จากสูตรของ Carry Over Moment MAB = - 0.5 MBA และ MCB = - 0.5 MBC MBA = 600 kg.m MBA = 1,200 kg.m MBC = 800 kg.m MBA = 400 kg.m VBC = 200 kg VCB = 200 kg VAB = 450 kg VBA = 450 kg 4 m 6 m 200 450 SFD SFD (kg) 1,200 400 BMD BMD (kg.m) -800 -600

เมื่อนำกราฟ SFD และ BMD ของแต่ละชิ้นส่วนมาต่อกันได้เป็น MB = 2,000 kg.m 600 kg.m 400 kg.m 4 m 6 m 200 kg 450 kg 250 kg 450 200 SFD (kg) 1,200 400 BMD (kg.m) -600 -800 Ans

คำศัพท์สำคัญอีกคำหนึ่งสำหรับวิธีกระจายโมเมนต์ ได้แก่ 3. Fixed End Moment (โมเมนต์ยึดแน่นปลาย, FEM) หมายถึง โมเมนต์ที่เกิดขึ้นที่ปลายคานในคานที่มีปลายยึดแน่นทั้งสองด้าน (ไม่มีการหมุนที่ปลายคานทั้งสอง) รับน้ำหนักกระทำแบบต่างๆ ตัวอย่าง

หากเรานำโมเมนต์ยึดแน่นปลาย (Fixed End Moments) ของแต่ละชิ้นส่วนมาต่อกัน จะได้โมเมนต์ภายนอก (external moment) กระทำ ณ รอยต่อ

ในอีกมุมมองหนึ่งหากเรากำหนดให้โมเมนต์ภายนอกดังกล่าว กระทำ ณ รอยต่อ เราจะได้คานที่มีมุมหมุนเป็นศูนย์ ทุกๆ จุดต่อ Fixed SFD BMD

Fixed End Moment (FEM) สามารถคำนวณได้/หรือใช้ค่าที่ให้ไว้ในตาราง

ซึ่งเราสามารถใช้หลักการของ super position ช่วยในการวิเคราะห์ได้ดังนี้ โจทย์ปัญหาที่เราต้องการวิเคราะห์ Fig. 1 Fig. 3 ใส่โมเมนต์ -MB เพื่อให้ Fig.1 = Fig.2 + Fig.3 Fig. 2 ใส่โมเมนต์ MB (Fixed End Solutions) Fixed

การใส่โมเมนต์ที่จุดรองรับ ขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้าม 30

ตัวอย่าง Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 1000 kg 100 kg 312.5 kg.m 520.83 kg.m Fixed 1000 kg 100 kg 625 - 208.33 = 416.67 kg.m 625 kg.m 208.33 kg.m 416.67 kg.m 104.17 kg.m 104.17 kg.m

ตัวอย่าง 1000 kg 100 kg 312.5 kg.m 520.83 kg.m 5 m 5 m BMD (kg.m) SFD (kg) 5 m 5 m -312.5 -416.67 -520.83 520.83 -479.17 270.84 -229.17

ยังมีคำศัพท์สำคัญอีก 3 คำสำหรับวิธีกระจายโมเมนต์ ได้แก่ 4. Relative Stiffness (สติฟเนสสัมพัทธ์) ได้แก่ ค่าตัวเลขที่เป็นจำนวนเท่าของสติฟเนสของคานแต่ละชิ้นรอบจุดใดจุดหนึ่ง (เพื่อให้สามารถหาสัดส่วนระหว่างสติฟเนสได้ง่ายขึ้น) 5. Distribution Factor (แฟกเตอร์การกระจายโมเมนต์, DF) หมายถึงสติฟเนส(หรือสติฟเนสสัมพัทธ์)ของชิ้นส่วนนั้นหารด้วย ผลรวมของสติฟเนส(หรือสติฟเนสสัมพัทธ์)ของคานรอบจุดนั้น ใช้คำนวณว่าชิ้นส่วนใดๆรอบจุดนั้นจะรับโมเมนต์เป็นสัดส่วนเท่าไหร่ ของโมเมนต์ที่เกิดขึ้นรอบจุดนั้นทั้งหมด 6. Carry Over Factor (แฟกเตอร์สำหรับโมเมนต์ส่งถ่าย, COF) คือสัดส่วนของโมเมนต์ส่งถ่ายต่อโมเมนต์ที่กระทำที่ปลาย (สำหรับคานที่มีปลายยึดแน่น COF = 0.5)

และ 5. Distribution Factor (แฟกเตอร์การกระจายโมเมนต์)

- Relative Stiffness & Distribution Factor

- Relative Stiffness & Distribution Factor

Sign Convention Positive Moment for Moment Distribution Method Positive Bending Moment in BMD

Moment Distribution Method 1. คำนวณ Stiffness ของชิ้นส่วนคานแต่ละชิ้น 2. คำนวณ Distribution Factor รอบจุดต่อทุกจุด 3. คำนวณ Fixed End Moment 4. คำนวณ Unbalanced Moment รอบจุดต่อทุกจุด 5. กระจายโมเมนต์ รอบที่ 1 6. คำนวณ Carry Over Moment 7. คำนวณ Unbalanced Moment รอบจุดต่อทุกจุด 8. กระจายโมเมนต์ รอบที่ i

Reduced Stiffness & Carry Over Moment for Beam with Hinge Support