อสมการ

ประโยคภาษา ประโยคสัญลักษณ์ ครึ่งหนึ่งของห้าสิบน้อยกว่าหรือ เท่ากับสามสิบ   สองเท่าของจำนวนหนึ่งมากกว่า สิบอยู่สอง

อสมการ  คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี สัญลักษณ์ "<, >, £,³, ¹  บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน  คำตอบของอสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรแล้วในอสมการทำให้อสมการเป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ

สมบัติของอสมการ ให้ a,b,c และ d เป็นจำนวนจริง 1.ถ้า a< b และ b< c แล้ว  a<c 2.ถ้า a<b แล้ว  a ± c < b ± c 3.ถ้า a< b cและ c > 0 แล้ว ac < bc   ถ้าa< b และc<0 แล้วac>bc    ถ้าa<bและc=0แล้วac=bc 4.ถ้าa< bและc<dแล้วa+c< b+d 5.ถ้าa<bและc<dแล้วa-d<b-c 6.ถ้า0<a<bและ0<c<dแล้วac<bd 7.ถ้า0<a<bและ0<c<d แล้ว  < 8.ถ้า0<a<bแล้ว   >  

หลักการแก้อสมการ

หลักการแก้อสมการ 1.คำตอบที่ได้จะอยู่ในช่วงมากกว่าหรือน้อยกว่า 2.ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จำนวนจริงลบ)เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรงข้าม 3.การแก้อสมการกำลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการ คือย้ายข้างได้สำหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรไว้ด้านหนึ่ง 4.การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง 4.1.ทำทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์ 4.2.แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน 4.3.พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างที่ทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ 4.4.นำค่าที่ได้ใส่ลงในเส้นจำนวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก   น้อย       +        -      +        -       +          มาก  

4.5. พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก   กำหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก  และถัดมาเป็นค่าลบ   บวก   ลบ  ……      สลับไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนของช่วงที่มีอยู่ 4.5. พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก   1.ถ้าอสมการเครื่องหมาย³เลือกช่วงที่มีค่าบวก(+) ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย"หรือ" 2.ถ้าอสมการเครื่องหมาย < , £ เลือกช่วงที่มีค่าลบ(-)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0  2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0  3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0  4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0  6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0  7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 

9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้ > 0 หรือ= 0  10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้ < 0 หรือ= 0

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น  สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน      ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c  สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน      ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc       ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

สรุปเป็นหลักในการแก้อสมการได้ดังนี้ กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว 1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b 2.ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b 3.ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b 4.ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b 5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรือ x > b 6.ถ้า < 0 จะได้ a < x < b 7.ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b 8.ถ้า ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b

สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

ช่วงของจำนวนจริง กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b (a, b) = { x | a < x < b } 2. ช่วงปิด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]            (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)  [a, b) = { x | a ≤ x < b } 5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}  

6. ช่วง [a, ∞)            [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ช่วง (-∞, a)           (-∞, a) = { x | x < a} 8. ช่วง (-∞, a]           (-∞, a] = { x | x ≤ a}

ตัวอย่างแบบฝึกหัด ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 ∴x + 3 + (-3)>12 + (-3)  x>9  ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 วิธีทำ  2x + 1<9  ∴2x + 1 + (-1)<9 + (-1)   2x<8   (2x)< (8)   x<4  ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5 4x - 2x ≤ 2x + 10 - 2x    2 x≤ 10   (2x)≤ (10)   x≤ 5  ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 เมื่อ x - 3>0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4   หรือ x - 3<0 และ x - 4 < 0   x<3 และ x < 4 ∴x - 3<0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3  นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ  { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )

ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 ∴เมื่อ x - 3>0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4   หรือ x - 3<0 และ x - 4 > 0   x<3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ∴ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0  นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ  { x | 3 < x < 4 } = (3, 4)