ความน่าจะเป็น Probability

การทดลองสุ่ม เป็นการทดลองที่ผลลัพธ์จะสามารถเกิดขึ้นได้ แตกต่างกันหลายอย่าง แต่เราไม่ทราบว่า ผลลัพธ์ใดจะเกิดขึ้น การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะผลลัพธ์เกิดขึ้นได้หลายอย่าง แต่เรายังไม่ทราบว่า จะเกิดอะไร การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเราไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะหงายหน้าอะไร

ผลลัพธ์ เป็นผลที่เกิดขึ้นหลังจากการทดลองสุ่มได้เสร็จสิ้นเรียบร้อยแล้ว ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ขึ้นไปในอากาศ ขณะที่เหรียญยังไม่ได้ ตกลงมา ขณะนั้นเราถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม แต่ถ้าเหรียญตกลงมา และหงายหัว เราถือว่า “หัว” เป็นผลลัพธ์ ในการทอดลูกเต๋าลงในถ้วย ขณะที่ลูกเต๋ายังไม่หยุดนิ่ง เราถือว่า เป็นการทดลองสุ่ม แต่ถ้าลูกเต๋าหยุดนิ่งและหงายหน้าที่มีจุด 5 จุด (เราเรียกว่า หงายหน้า 5) เราถือว่า “5” เป็นผลลัพธ์

แซมเปิลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม Sample Space ของผลการทอดลูกเต๋า 2 ลูก S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

เหตุการณ์ (Event) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ ที่เราสนใจ การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ถ้าเราสนใจในกรณีที่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า ทั้งสองมีค่าน้อยกว่า 5 เหตุการณ์ที่สนใจจะเป็นดังนี้ A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ก็คือการหาว่าโอกาส ที่จะเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวนั้นมีมากน้อยเพียงใด ถ้าสมาชิกแต่ละตัวของแซมเปิลสเปซ มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน P(A) หมายถึง ความน่าจะเป็นที่เกิดเหตุการณ์ A เราสามารถหา P(A) ได้ดังนี้

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น ให้ A เป็นเหตุการณ์ใด และ S เป็นแซมเปิลสเปซ โดยที่ A เป็นสับเซตของ S

ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้ม บนลูกเต๋าทั้งสองลูกมีค่ามากว่า 3 S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ในแซมเปิลสเปซ ในกรณีนี้ เรียก A และ B ว่า เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually exclusive events)

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งจะชนะในการแข่งขันว่ายน้ำ แบบฟรีสไตล์เท่ากับ 1/5 ความน่าจะเป็นที่นักเรียนผู้นี้ จะชนะ ในการแข่งขันว่ายน้ำแบบผีเสื้อเท่ากับ 3/7 ความน่าจะเป็นที่เขา จะชนะทั้งสองประเภทเท่ากับ 2/5 จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียน ผู้นี้จะชนะการแข่งขันว่ายน้ำอย่างน้อย 1 ประเภทจาก 2 ประเภทนี้

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่เขาชนะการแข่งขันว่ายน้ำแบบฟรีสไตล์ B แทนเหตุการณ์ที่เขาชนะการแข่งขันว่ายน้ำแบบผีเสื้อ สิ่งที่เราต้องการหาคือ

การแจกแจงความน่าจะเป็น

ตัวแปรเชิงสุ่ม เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองสุ่มหนึ่งๆ ในการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้ง ผลการโยนที่อาจเป็นไปได้คือ {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ซึ่งตัวเลขเหล่านี้ในทางสถิติถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม คือไม่สามารถทราบได้แน่นอนว่าในการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้งจะปรากฏผลอะไรออกมา ดังนั้นตัวเลขที่ปรากฏในการโยนแต่ละครั้งบนหน้าลูกเต๋าจึงเป็นค่าแบบสุ่ม ถ้าให้ X แทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองสุ่มหนึ่งๆ เราเรียก X นั้นว่า ตัวแปรเชิงสุ่ม และถ้ารวมเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มนั้น เข้าเป็นรูปแบบของเซต เราเรียกเซตนั้นว่า Sample Space

การแจกแจงของตัวแปรเชิงสุ่ม จากตัวอย่างการทดลองสุ่ม ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน หากสนใจเหตุการณ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า ตัวแปรเชิงสุ่ม X ในที่นี้หมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า ซึ่งมีค่าที่อาจเป็นไปได้ดังนี้ X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12

ลูก2 ลูก1 1 2 3 4 5 6 1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 1+6=7 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10 5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12

จำนวนวิธีที่ลูกเต๋า 2 ลูก จะปรากฏผลเป็นหน้าต่างๆ กัน มีได้ทั้งหมด (Sample Space) 36 วิธี หรือ 36 แบบ ในจำนวน 36 วิธีนี้ หากจำแนกและแจกแจงตามค่า ของตัวแปรเชิงสุ่ม หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจ (Event) ซึ่งในที่นี้คือเหตุการณ์ที่เป็นผลรวมของแต้ม ที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าทั้งสอง จะพบจำนวนวิธีหรือ จำนวนแบบของผลลัพธ์ และคำนวณค่าความน่าจะเป็น ของแต่ละเหตุการณ์ ได้ดังนี้ X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n(X) 1 P(X)

จำนวนวิธี หรือ จำนวนแบบ n(X) ค่าของตัวแปรเชิงสุ่ม หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่สนใจ (Event)

การแจกแจงของค่าสถิติ ประชากร (population) คือ เซตของหน่วยตัวอย่าง (sampling unit) ทั้งหมด ซึ่งเป็นแหล่งของข้อมูลต่างๆ ภายในขอบข่ายที่สนใจ พารามิเตอร์ (parameter) คือ ค่าคงที่ที่แสดงลักษณะบางประการของประชากร เช่น ค่าเฉลี่ยของประชากร ค่าสถิติ (statistic) ค่าคงที่ที่แสดงลักษณะบางประการของตัวอย่างที่เป็นส่วนหนึ่งของประชากร เช่น ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

การแจกแจงของค่าเฉลี่ย สมมติว่า จากประชากร ซึ่งประกอบด้วย 3, 5, 7, 9 และ 11 หาค่าเฉลี่ยของประชากรได้ดังนี้

3, 5, 7, 9, 11 จากประชากรข้างต้น หากสุ่มตัวอย่างขนาด n=2 จะมีตัวอย่างได้ทั้งหมด 10 แบบ และหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่างได้ดังนี้ ตัวอย่าง 3, 5 4 3, 7 5 3, 9 6 3, 11 7 5, 7 5, 9 5, 11 8 7, 9 7, 11 9 9, 11 10 ค่าเฉลี่ย 3, 5, 7, 9, 11

เมื่อนำค่าเฉลี่ยของตัวอย่างมาแจกแจงความถี่ จะได้ผลดังนี้ 4 5 6 7 8 9 10 ความถี่ 1 2

Normal Distribution

การแจกแจงแบบปกติ Z ~ N(0,1)

การแจกแจงแบบ t n < 30 df = n-1

การแจกแจงแบบ F

การแจกแจงแบบ Chi-Square