งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

Counting. ทฤษฎีการนับ 1. กฎการบวก ทฤษฎีบท ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการ ทำงาน k วิธี แต่ละวิธีของการทำงานไม่มีการซ้ำซ้นอนกัน วิธีที่ 1 มีวิธีทำงาน.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "Counting. ทฤษฎีการนับ 1. กฎการบวก ทฤษฎีบท ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการ ทำงาน k วิธี แต่ละวิธีของการทำงานไม่มีการซ้ำซ้นอนกัน วิธีที่ 1 มีวิธีทำงาน."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Counting

2 ทฤษฎีการนับ 1. กฎการบวก ทฤษฎีบท ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการ ทำงาน k วิธี แต่ละวิธีของการทำงานไม่มีการซ้ำซ้นอนกัน วิธีที่ 1 มีวิธีทำงาน n 1 วิธี วิธีที่ 2 มีวิธีทำงาน n 2 วิธี … วิธีที่ k มีวิธีทำงาน n k วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีที่ทำงานนี้เท่ากับ n 1 + n 2 + … + n k วิธี

3 ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง จะมีกี่วิธีในการเลือกตัวแทนของภาควิชา 1 คน จากกลุ่มของนิสิตในภาควิชาคณิตศาสตร์ และ คอมพิวเตอร์ โดยมีนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์อยู่ 37 คน และในสาขาคอมพิวเตอร์ 83 คน เลือกตัวแทนจากนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์ 1 คน ทำได้ 37 วิธี เลือกตัวแทนจากนิสิตในสาขาคอมพิวเตอร์ 1 คน ทำได้ 83 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธี การเลือกตัวแทนของภาควิชา 1 คน จาก กลุ่มของนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์ และ คอมพิวเตอร์ = = 120 วิธี

4 ทฤษฎีการนับ 2. กฎการคูณ ทฤษฎีบท ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n 1 วิธี ใน 1 วิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีเลือกทำงาน อย่างที่ 2 ได้ n 2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน อย่างแรกและอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 3 ได้ n 3 วิธี … จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n 1  n 2  n 13  …  n k

5 ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง ในการติดรหัสสินค้าบนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดย บริษัทๆ หนึ่ง บริษัทต้องการสร้างรหัส ซึ่งประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ 1 ตัว และตัวเลขซึ่ง เป็นเลขจำนวนเต็มบวกไม่เกิน 100 อยากทราบว่าจำนวน ผลิตภัณฑ์ที่มากที่สุดที่บริษัทจะกำหนดรหัสสินค้าที่ แตกต่างกันได้ คือ เท่าไหร่ เลือกตัวอักษร 1 ตัวทำได้ 26 วิธี แต่ละวิธีที่เลือกตัวอักษรหนึ่งตัวจะเลือกตัวเลข 100 ตัว จะกำหนดรหัสสินค้าได้ทั้งหมด = 26*100 =2600 วิธี

6 ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง จะสามารถกำหนดสตริงซึ่งประกอบด้วย เลข 0 หรือ 1 ได้กี่สตริง ถ้ากำหนดว่าสตริงยาว 7 บิต กำหนดได้ =2*2*2*2*2*2*2 = 2 7 สตริง ตัวอย่าง โรงอาหารแห่งหนึ่งจัดเตรียมอาหารจาน เดียวไว้ 4 ชนิด และเครื่องดื่ม 3 ชนิด จงหาจำนวน วิธีที่ลูกค้าจะสั่งอาหารและเครื่องดื่มอย่างละ 1 ชนิด จำนวนวิธีที่ลูกค้าจะสั่งอาหารและเครื่องดื่มอย่างละ 1 ชนิด = 4*3 = 12 วิธี

7 ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง มีทาง 4 ทางจากเมือง A ไปเมือง B ทาง 3 ทางจากเมือง B ไปเมือง C และทาง 2 ทาง จาก เมือง A ไปเมือง C จงหาว่า  ก. มีกี่วิธีที่จะไปจากเมือง A สู่เมือง C โดยผ่านเมือง B  ข. มีกี่วิธีที่จะไปจากเมือง A สู่เมือง C เส้นทางจากเมือง A ไปเมือง C โดยผ่านเมือง B = 4*3 = 12 วิธี เส้นทางจากเมือง A ไปเมือง C ทั้งหมด = = 14 วิธี

8 หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) ทฤษฎีบท ถ้าต้องการจัดนกพิราบ n ตัว ไปตามรัง นกซึ่งมีอยู่ m รัง อย่างน้อยต้องมีอยู่ 1 รัง ซึ่งมี นกพิราบอยู่อย่างน้อย 2 ตัว โดยที่ n > m ( คือ มี จำนวนนกมากกว่าจำนวนรัง )

9 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ถ้ามีคนอยู่ 6 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้อง มีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน ไม่จำเป็นเนื่องจาก จำนวนคนน้อยกว่าเดือน ถ้ามีคนอยู่ 13 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่าง น้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน จำเป็นเนื่องจากเป็นไปตามหลักรังนกพิราบ

10 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง จะต้องมีเด็กนักเรียนเป็นจำนวนเท่าใด เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีนักเรียนอย่างน้อย 2 คนได้ คะแนนเท่ากัน ถ้าคะแนนสอบที่เด็กจะได้รับ คือ 0 – 100 คะแนน จำนวนนักเรียน = 102 คน ตัวอย่าง จะต้องมีนิสิตเรียนวิชา Discrete Mathematics อย่างน้อยที่สุดกี่คน เพื่อแสดงให้ เห็นว่ามีนิสิตอย่างน้อย 6 คนได้ เกรดเดียวกัน ถ้า เกรดที่เป็นไปได้คือ A, B, C, D, และ F จำนวนนิสิต = = 26 คน

11 หลักรังนกพิราบ บทขยาย ถ้ามีของอยู่ n สิ่ง และจะใส่ลงไปใน m กล่อง โดยที่จำนวนสิ่งของมากกว่าจำนวน กล่อง จะได้ว่า มีบางกล่องบรรจุของนั้นอยู่อย่าง น้อย  n/m  สิ่ง

12 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ถ้าพิจารณาถึงตัวอักษรภาษาอังกฤษ ซึ่ง เป็นตัวอักษรตัวแรกของชื่อคน ในกลุ่ม 85 คน จะมีบางตัวอักษร ซึ่งมีอยู่อย่างน้อย 4 คนที่ขึ้นต้น ด้วยอักษรเหล่านี้ จริงหรือไม่ จริง เนื่องจาก  85/26  =  3.27  = 4 ตัวอย่าง จงแสดงให้เห็นว่า สำหรับ 5 จุดใดๆ ใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2x2 จะมีอยู่ 2 จุด ซึ่งมี ระยะห่างอยู่อย่างมากที่สุด √2

13 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ในลิ้นชักใบหนึ่งบรรจุถุงเท้าสีดำ 10 ข้าง และสีขาว 10 ข้าง ให้นาย ก หลับตาเพื่อสุ่มหยิบ ถุงเท้าออกมา จงหาจำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่ หยิบออกมา เพื่อให้ได้ถุงเท้าที่สีเข้าคู่กัน จำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่หยิบออกมา เพื่อให้ได้ ถุงเท้าที่สีเข้าคู่กัน = 3 ข้าง

14 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ก. ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จำเป็น หรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ ที่มีผลรวมเป็น 9 จำเป็น เนื่องจากผลรวมของตัวเลขเป็น 9 มี 4 ชุด คือ { 4+5, 3+6, 2+7, 1+8 } ข. ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำเป็น หรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ ที่มีผลรวมเป็น 9 ไม่จำเป็น

15 หลักรังนกพิราบ ทฤษฎี ถ้ามีลำดับของตัวเลขอยู่ n ตัวที่แตกต่าง กัน จะมีลำดับตัวเลขชุดย่อยๆ อยู่ n + 1 ตัว ซึ่ง อาจจะเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก หรือจาก มากไปหาน้อย

16 หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง มีเลขอยู่ 10 ตัว เรียงตามลำดับ ดังต่อไปนี้ 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 จง แสดงว่า มีเลขอยู่ 4 ตัว ซึ่งเรียงลำดับกันอยู่ อาจจะเป็นจากมากไปหาน้อย หรือน้อยไปหา มาก 10 = ดังนั้นชุดตัวเลขที่เรียงลำดับคือ 1, 4, 6, 12

17 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) คือ การจัดลำดับหรือเรียงลำดับของบางสิ่งหรือทุกสิ่งจาก จำนวนสิ่งของทั้งหมด โดยคำนึงถึงลำดับที่ ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว a, b, c จัดคราวละ 3 ตัว จงหาว่า จะมีวิธีจัดลำดับอักษรเหล่านี้ได้กี่วิธี ตำแหน่งที่ 1 จะเป็นอักษร a, b หรือ c ก็ได้ จัดได้ 3 วิธี ตำแหน่งที่ 2 จะเหลืออักษรที่นำมาจัดได้เพียง 2 ตัว จึงจัด ได้ 2 วิธี ตำแหน่งที่ 3 จะเหลืออักษรที่นำมาจัดได้เพียง 1 ตัว จึงจัด ได้ 1 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด = 3*2*1 = 6 วิธี

18 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่ง แตกต่างกันที่หมด นำมาจัดที่ละ n สิ่งคือ n! n! คือ ผลคูณของเลขจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n n! = n  (n - 1)  (n - 2) … 3  2  1

19 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) ตัวอย่าง จากตัวอักษรของคำว่า COMPUTER สามารถนำมาจัดลำดับได้กี่แบบ ก ) สามารถนำมาจัดลำดับได้กี่แบบ ถ้ากำหนดให้ ตัวอักษร CO ต้องอยู่ติดกันเสมอ จำนวนวิธีจัดได้ 7! วิธี ข ) จงหาวิธีที่จะไม่ให้ได้คำที่มี CO อยู่ติดกัน จัดได้ 8! - 7! วิธี

20 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่ง แตกต่างกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง เมื่อ r < n คือ ใช้ สัญลักษณ์ P(n, r)

21 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) ตัวอย่าง ถ้ามีคำว่า BYTES ก ) จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ จำนวนวิธีที่จัดได้ คือ P(5,3 ) ข ) จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ โดย กำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B จำนวนวิธีที่จัดได้ คือ P(4,2 )

22 วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนของ r สิ่ง จากทั้งหมด n สิ่งโดยอนุญาตให้ของซ้ำกันได้ คือ n r ตัวอย่าง มีข้อสอบอยู่ 10 ข้อ ต้องการแจกให้นิสิต 8 คน เพื่อทำคนละ 1 ข้อ จำมีวิธีแจกอย่างไร เพื่อให้ ก ) นิสิตแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน จำนวนวิธี = P(10,8) ข ) นิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ จำนวนวิธี = 10 8

23 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่ง แตกต่างกันทั้งหมดเป็นวงกลม คือ (n - 1)! ตัวอย่าง ก ) จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และชาย 4 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลม จำนวนวิธี่จัดได้ = (8-1)! = 7 ! วิธี ข ) จากข้อ ก มีกี่วิธีที่ชายและหญิงจะนั่งสลับที่กัน จัดชายหรือหญิงก่อนเป็นวงกลมทำได้ 3! วิธี แล้วจัดชายหรือหญิงแทรกทำได้ 4! วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ 3! * 4! วิธี

24 การจัดหมู่ (Combination) คือ การจัดหมู่ของสิ่งของในเซต หรือการหาสับเซต ใดๆ ของเซต โดยไม่คำถึงลำดับที่สับเซตนั้น

25 How Many Combinations (Subsets)?   If there are three objects and you are choosing three, there is only one subset, since order is not important.

26 Have 4, choose 3                         

27 Have 4, choose 3                    

28 Have 4, choose 3                    

29 Have 4, choose 3                

30 Have 4, choose 3          

31 การจัดหมู่ (Combination) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดหมู่ของของ n สิ่งต่างๆ กัน โดยนำมาจัดทีละ r สิ่ง จะเขียนแทนด้วย C(n,r)

32 การจัดหมู่

33 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง มีกี่วิธีที่จะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามีภรรยา 4 คู่ ก ) ถ้าทุกๆ คน มีโอกาสได้รับเลือกเท่ากัน จำนวนวิธี = C(8,3) ข ) ถ้ากรรมการต้องประกอบด้วย หญิง 2 คน ชาย 1 คน จำนวนวิธี = C(4,2)* C(4,1) ค ) ถ้าเลือกทั้งสามีทั้งภรรยาเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้ จำนวนวิธี = C(4,3) * 2 * 2 * 2

34 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จากเซต {a, b} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้เกิด ตัวอักษร 3 ตัว โดยให้ตัวอักษรซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ a a a b b b a a b b b a ซึ่งเป็นได้ 4 แบบ โดยไม่ได้คำนึงถึงลำดับที่ ( เหมือนการ หยิบของแล้วใส่คืนลงไป ดังนั้นตอนเลือกอันต่อไปนี้ขึ้นมา อีกครั้ง จึงอาจซ้ำได้ )

35 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จากเซต {1, 2, 3} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้ได้ ตัวอักษร 2 ตัว โดยให้ตัวอักษรซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ ซึ่งเป็นไปได้ 6 แบบ โดยไม่ต้องคำนึงถึงลำดับที่

36 การจัดหมู่ (Combination) ทฤษฎีบท การจัดหมู่ของสิ่งของ r สิ่ง โดยเลือก จากสิ่งของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็น n กลุ่ม ( หรือ n ประเภท ) โดยให้ของซ้ำได้ ทำได้ C(r + n – 1, r) วิธี

37 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง ในห้องสมุดแห่งหนึ่ง มีหนังสือที่นาย ก สนใจอยู่ 3 ประเภท คือ คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และ ประวัติศาสตร์ สมมติว่าห้องสมุดมีหนังสืออยู่อย่าง น้อย 6 เล่ม สำหรับหนังสือแต่ละประเภท นาย ก จะสามารถเลือกหนังสือออกมา 6 เล่มได้อย่างไร n =3, r =6 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C( , 6) = C(8, 6)

38 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธี ( แบบ ) ของคำตอบที่ เป็นไปได้สำหรับ x 1 + x 2 + x 3 = 11 โดยที่ x 1, x 2, x 3 เป็นเลขจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ n =3, r =11 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C( , 11) = C(13, 11)

39 การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธี ( แบบ ) ของคำตอบที่ เป็นไปได้สำหรับ x 1 + x 2 + x 3 = 11 โดยที่ x 1 ≥ 1,x 2 ≥ 2, x 3 ≥ 3 n =3, r =5 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C( , 5) = C(7, 5)

40 สรุปสูตร Combination and Permutation with and without Repetition TypeRepetition Allowed? Formula PermutationNoP(n, r) PermutationYesnrnr CombinationNoC(n, r) CombinationYesC(r + n –1, r)

41 วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่ แตกต่างกันทั้งหมด ทฤษฎีบท วิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งมี n 1 สิ่งที่ เหมือนกัน, n 2 สิ่งที่เหมือนกัน, …., n k สิ่งที่เหมือนกัน จะได้จำนวนวิธีจัดเท่ากับ

42 การจัดลำดับสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่ แตกต่างกันทั้งหมด ตัวอย่าง จากคำว่า INTELLIGENCE ก ) สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี (12!)/ (2! 2! 3! 2!) ข ) สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้เริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G (10!)/ (2! 2! 3! 2!) ค ) สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้มี INT อยู่ติดกันตามลำดับ และ IG อยู่ติดกัน ตามลำดับ (9!)/ (3! 2!)

43 สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeffcients) ทฤษฎีบท ถ้า a และ b เป็นเลขจำนวนจริง และ n เป็นเลขจำนวนเต็มบวกจะได้ว่า เรียกทฤษฎีบทนี้ว่า ทฤษฎีบททวินาม (Binomail Theorem)

44 สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeffcients) ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจาย (x + 2y) 10 พจน์ที่ 4 ของการกระจายคือ C(10,3) x 7 (2y) 3 = C(10,3) *8 x 7 y 3

45 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า

46 Pascal ’ s Identity

47 You are probably most familiar with this identity from Pascal’s Triangle, used in algebra

48 Pascal ’ s Identity You are probably most familiar with this identity from Pascal’s Triangle, used in algebra C(5,1)=C(4,0)+C(4,1)

49 Pascal ’ s Triangle

50

51 Vandermonde ’ s Identity Let m, n, and r be nonnegative integers with r not exceeding either m or n. Then

52 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ ว่า


ดาวน์โหลด ppt Counting. ทฤษฎีการนับ 1. กฎการบวก ทฤษฎีบท ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการ ทำงาน k วิธี แต่ละวิธีของการทำงานไม่มีการซ้ำซ้นอนกัน วิธีที่ 1 มีวิธีทำงาน.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google