บทที่ 2 กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ บทที่ 2 กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ Operations Research โดย อ. สุรินทร์ทิพ ศักดิ์ภูวดล
การสร้างตัวแบบ(Model)คณิตศาสตร์กำหนดการเชิงเส้น สิ่งที่ต้องพิจารณาจากโจทย์ 1. หาตัวแปรที่เราต้องการมีอะไรบ้าง 2. หาฟังก์ชันวัตถุประสงค์คืออะไร ต้องการหาค่าต่ำสุดหรือหาค่าสูงสุด (Maximize, Minimize) >>> สมการ 3. หาฟังก์ชันข้อจำกัด (มีเงื่อนไขหรือข้อจำกัดอะไรบ้างที่โจทย์กำหนดมาให้) >>> สมการหรืออสมการ 4. ความสัมพันธ์ของตัวแปรในสมการหรืออสมการต่างๆ ของ Model ต้องมีลักษณะเชิงเส้นตรง (โดยมากเป็นกำลังหนึ่ง) 5. ตัวแปรทุกตัวต้องมีค่า >= 0
กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)
วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น ปัญหาที่มี 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) 2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical deduction Method) 3. วิธีกราฟ (Graphical method) ***นิยม ปัญหาที่มีมากกว่า 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีพีชคณิต (Algebraic method) 2. วิธีซิมเพล็ก (Simplex method) ***นิยม
ตัวอย่างที่ 1 บริษัทผลิตท่อประปาแห่งหนึ่ง ผลิตท่อ 2 ชนิดคือ ชนิด ก และชนิด ข และท่อแต่ละชนิดจะใช้ส่วนผสมของเหล็กกล้า และสังกะสีในสัดส่วนต่างๆกัน บริษัทมีเหล็กกล้าอยู่ 25,000 กิโลกรัม และสังกะสี 6,500 กิโลกรัม ท่อชนิด ก 1 ชิ้น จะใช้ส่วนผสมของเหล็กกล้า 130 กิโลกรัม และสังกะสี 20 กิโลกรัม ส่วนท่อชนิด ข 1 ชิ้น จะใช้ส่วนผสมของเหล็กกล้า 100 กิโลกรัม และสังกะสี 30 กิโลกรัม หากบริษัทผลิตท่อแบบ ก จะได้กำไรจากการขายท่อละ 35 ส่วนท่อแบบ ข จะได้กำไรท่อละ 70 จงเขียนกำหนดการเชิงเส้นที่แสดงถึงวัตถุประสงค์ของการผลิต และข้อจำกัดต่างๆ ที่เกิดขึ้น
ท่อชนิด ก (X1) ท่อชนิด ข (X2) เหล็กกล้า 130 100 25,000 สังกะสี 20 30 6,500
2. หาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ >>> (สมการ) 1. ตัวแปรของตัวแบบคณิตศาสตร์ X1 จำนวนท่อชนิด ก X2 จำนวนท่อชนิด ข 2. หาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ >>> (สมการ) Maximize Z = 35 X1 + 70X2 เมื่อ Z คือฟังก์ชันกำไรมีหน่วยเป็นบาท 3. หาฟังก์ชันข้อจำกัด (ข้อจำกัดอะไรบ้างที่โจทย์กำหนดมาให้) >>> อสมการ 130X1+ 100X2 <= 25,000 (ปริมาณของเหล็กกล้า) 20X1+ 30X2 <= 6,500 (ปริมาณสังกะสี)
จากโจทย์สามารถสรุปเป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ (Mathematical model) ได้ดังนี้ Maximize Z = 35 X1 + 70X2 ภายใต้ข้อจำกัด 130X1+ 100X2 <= 25,000 20X1+ 30X2 <= 6,500 X1 >= 0, X2 >= 0