บทที่ 4 การวัดการกระจาย บทที่ 4 การวัดการกระจาย

การวัดการกระจาย ในการสรุปลักษณะของข้อมูล เพื่อ ความชัดเจนในการอธิบายลักษณะของ ข้อมูล เราต้องแสดงค่าของการวัดการ กระจายของข้อมูลประกอบ หรือควบคู่ กับค่าของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ด้วย

การวัดการกระจาย การวัดการกระจายของข้อมูล แบ่งเป็น 2 วิธี คือ 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์

1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ เป็นการวัดการกระจายของข้อมูล เพียงชุดเดียว เพื่อพิจารณาว่า ค่าของ ข้อมูลชุดนั้นมีค่าใกล้เคียงกัน หรือ แตกต่างกันมากน้อยเพียงใด

1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ ที่นิยมใช้ มี 4 ชนิด คือ 1. พิสัย ( Range ) 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ( Quartile Deviation ) 3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean or Average Deviation) 4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

1. พิสัย ( Range ) ความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของข้อมูล พิสัย =ข้อมูลที่มีค่าสูงสุด–ข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด ถ้าพิสัยมีค่ามาก แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายมาก ถ้าพิสัยมีค่าน้อย แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายน้อย พิสัย เป็นการวัดการกระจายอย่างหยาบๆ ไม่ใช่ การวัดการกระจายที่ดี

ตัวอย่าง 1 จงหาพิสัยของข้อมูลดังนี้ 335 , 232 , 183 , 268 , 190 , 282 , 315 , 180 , 288

1. พิสัย ( Range ) ถ้าเป็นข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่เป็น อันตรภาคชั้น พิสัย = ขีดจำกัดบนที่แท้จริงของคะแนนใน อันตรภาคชั้นสูงสุด – ขีดจำกัดล่างที่แท้จริง ของคะแนนในอันตรภาคชั้นต่ำสุด

ตัวอย่าง 2 นักศึกษากลุ่มหนึ่ง จงหาพิสัย จากตารางแจกแจงความถี่ของน้ำหนัก นักศึกษากลุ่มหนึ่ง จงหาพิสัย น้ำหนัก (กิโลกรัม) 50-52 53-55 56-58 59-61 จำนวน 12 13 20 15

2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ( Quartile Deviation ) ค่าครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างควอ ไทล์ที่ 3 กับควอไทล์ที่ 1 หรือ เรียกว่า “ Semi – interquartile range ”

2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ( Quartile Deviation )

ข้อมูลดิบหรือข้อมูลแจกแจง ความถี่แบบไม่เป็นกลุ่ม ข้อมูลดิบหรือข้อมูลแจกแจง ความถี่แบบไม่เป็นกลุ่ม ควอไทล์ที่ r คือ ข้อมูลที่มีค่าอยู่ที่ตำแหน่ง ตำแหน่ง

ตัวอย่าง 3 นักศึกษา 19 คน ดังนี้ จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ของน้ำหนักของ นักศึกษา 19 คน ดังนี้ 55 , 48 , 56 , 49 , 56 , 50 , 57 , 49 , 56, 51 , 58 , 52 , 60 , 53 , 60 , 54 , 60 , 61, 60

b. ข้อมูลแจกแจงความถี่แบบเป็น กลุ่ม

b. ข้อมูลแจกแจงความถี่แบบเป็น กลุ่ม เมื่อ คือ ควอไทล์ที่ r คือ ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นที่มี ควอไทล์ที่ r คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด คือ ความถี่สะสมจากชั้นต่ำสุดก่อนถึงชั้น ที่มีควอไทล์ที่ r คือ ความถี่ของชั้นที่มีควอไทล์ที่ r

2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ( Quartile Deviation ) เราใช้ Q.D. ในการวัดการกระจายของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้นมีการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยมัธยฐาน ถ้า Q.D. มาก แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายมาก ถ้า Q.D. น้อย แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายน้อย แต่ Q.D. ไม่ค่อยนิยมใช้

ตัวอย่าง 4 จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ จากตารางแจกแจงความถี่ ต่อไปนี้ อันตรภาคชั้น f 50-54 1 55-59 2 60-64 11 65-69 10 70-74 12 75-79 21 80-84 6 85-89 9 90-94 4 95-99 จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ จากตารางแจกแจงความถี่ ต่อไปนี้

3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean or Average Deviation) ค่าเฉลี่ยของข้อมูลแต่ละตัว ที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง หรือเครื่องหมาย

3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean or Average Deviation) สูตร

ตัวอย่าง 5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย จากข้อมูลต่อไปนี้ 5 , 12 , 18 , 10 , 14 , 13

3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean or Average Deviation) สำหรับข้อมูลแจกแจงความถี่แบบกลุ่ม สามารถ หา M.D. โดยใช้สูตร

ตัวอย่าง 6 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย จากตารางแจกแจง ความถี่ต่อไปนี้ อันตรภาคชั้น 1-3 4-6 7-9 10-12 13-15 f 2 3 7 5

3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean or Average Deviation) M.D. เป็นการวัดการกระจายของข้อมูล ที่ดีกว่าการวัดการกระจายโดยใช้พิสัย และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ถ้า M.D. มาก แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายมาก ถ้า M.D. น้อย แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจายน้อย แต่ M.D. ไม่ค่อยนิยมใช้ เนื่องจากมีการตัดเครื่องหมายออก

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) รากที่สองของกำลังสองของข้อมูลแต่ละตัวที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น เป็นวิธีที่ดีที่สุดและใช้ในทางสถิติมากที่สุด

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) สูตร

ตัวอย่าง 7 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล ต่อไปนี้ 152 , 156 , 157 , 150 , 156 , 159

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวิธีนี้ ต้อง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตก่อน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นจำนวนทศนิยม จะทำให้การคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานคลาดเคลื่อนได้

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) จึงควรใช้สูตร สามารถกระจาย ดังนี้

ตัวอย่าง 8 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล ต่อไปนี้ 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) สำหรับข้อมูลแจกแจงความถี่แบบไม่เป็น กลุ่ม และเป็นกลุ่ม สูตร

ตัวอย่าง 9 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากตารางแจก แจงความถี่ต่อไปนี้ x 2 4 6 8 10 f 1 3

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวิธีนี้ ต้อง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตก่อน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นจำนวนทศนิยม จะทำให้การคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานคลาดเคลื่อนได้

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) จึงควรใช้สูตร หรือ

ตัวอย่าง 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากตาราง แจกแจงความถี่ต่อไปนี้ อันตรภาคชั้น f 2-4 1 5-7 2 8-10 3 11-13 14-16

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ถ้า S.D. มาก แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจาย มาก ถ้า S.D. น้อย แสดงว่า ข้อมูลมีการกระจาย น้อย

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1. หน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็น หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูล 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มีค่ามากกว่าหรือ เท่ากับ 0 3. ถ้าทุกค่าของข้อมูลเท่ากันแล้ว ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน มีค่าเป็น 0 แสดงว่า ข้อมูลไม่มีการกระจาย

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4. ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่า เป็น 0 แล้ว ข้อมูลทุกค่าเท่ากัน 5. ถ้านำค่าคงตัวไปบวกหรือลบออกจาก ข้อมูลทีละจำนวนแล้ว ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานใหม่ มีค่าเท่ากับส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเดิม

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6. ถ้านำค่าคงตัวไปคูณหรือหารออกจาก ข้อมูลทีละจำนวนแล้ว ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานใหม่ มีค่าเท่ากับ ผลคูณหรือ ผลหารของค่าสัมบูรณ์ของค่าคงตัวนั้นกับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเดิม

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7. การคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้ค่ากลางของข้อมูลชนิดอื่นๆ ที่ไม่ใช่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าของส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานที่ได้ จะมีค่ามากกว่า ค่าของส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ความแปรปรวน ( Variance ) ค่ากำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรความแปรปรวนของตัวอย่าง สูตรความแปรปรวนของประชากร

ตัวอย่าง 12 จงหาความแปรปรวนของข้อมูลต่อไปนี้ 1 , 2 , 3 , 4 , 5

ความแปรปรวนรวม ( Combined Variance or Pooled Variance) ค่าข้อมูล 2 ชุด มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น มีความแปรปรวนเป็น และจำนวนข้อมูลเป็น ตามลำดับ

ความแปรปรวนรวม ( Combined Variance or Pooled Variance) ความแปรปรวนของข้อมูลทั้ง 2 ชุด ดังนี้ โดย หมายถึง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

ความแปรปรวนรวม ( Combined Variance or Pooled Variance) และ เมื่อ

ความแปรปรวนรวม ( Combined Variance or Pooled Variance) ถ้ามีข้อมูล มากกว่า 2 ชุด สามารถใช้สูตรขยายต่อได้ดังนี้

ตัวอย่าง 13 กำหนดข้อมูลดังนี้ จงหาความแปรปรวนรวม ข้อมูล N S ชุดที่ 1 10 5 1 ชุดที่ 2 20 6 1.2

ตัวอย่าง 14 กำหนดข้อมูลดังนี้ จงหาความแปรปรวนรวม ข้อมูล N S ชุดที่ 1 20 17 4 ชุดที่ 2 10 1