แผนการทดลองแบบ split-plot (Split-plot design) อ. วีระ ปิยธีรวงศ์

Overview (I) เป็นแผนการทดลองที่ประยุกต์มาจากแผนการทดลองแบบ factorial design มีหน่วยทดลอง 2 ขนาดคือ หน่วยทดลองขนาดใหญ่ (main plot) และหน่วยทดลองขนาดเล็ก (sub plot) จำนวนของ main plot จะเท่ากับระดับของปัจจัยหลัก และจำนวนของ sub plot จะเท่ากับระดับของปัจจัยรอง

Overview (II) ในแต่ละ main plot จะต้องมี sub plot ครบทุกระดับ

Applications of split-plot design การทดลองที่มีปัจจัยที่ต้องการทดสอบตั้งแต่ 2 ปัจจัยขึ้นไป การทดลองที่มีความสนใจในปัจจัยทั้งสองไม่เท่ากัน (มาก - น้อย) เช่น มีความสะดวกหรือความเป็นไปได้ในทางปฎิบัติหรือไม่ (ปัจจัยที่มีความสำคัญน้อยจะถูกจัดเป็น main plot ในขณะที่ปัจจัยที่มีความสำคัญมากถูกจัดเป็น sub plot)

Randomization and layout แผนการทดลอง split-plot เป็นแผนการทดลองผสมระหว่างแผนการทดลองพื้นฐาน main plot) กับแผนการทดลองสุ่มในบล็อคสมบูรณ์ (sub plot) [randomized complete block design; RCBD] การจัดเรียงตัวของ main plot จะขึ้นอยู่แผนการทดลองที่เลือกใช้ เช่น complete random design (CRD), RCBD หรือ latin square design (LSD)

Split-plot design (main plot = CRD) ตัวอย่างการทดลองแบบ split-plot กำหนดให้ปัจจัย A อยู่ใน main plot มี 3 ระดับคือ a1, a2, a3 และปัจจัย B ซึ่งอยู่ใน sub plot มี 2 ระดับคือ b1, b2 ทำการทดลอง 2 ซ้ำ

Split-plot design (main plot = CRD) Total main plot = a x r = ระดับของปัจจัย A x จำนวนซ้ำ = 3 x 2 = 6 หน่วยทดลอง ทำการสุ่มแบ่งหน่วยทดลองทั้งหมด ออก เป็น 3 กลุ่มตามจำนวนของปัจจัย A โดยให้แต่ละกลุ่มมี 2 หน่วยทดลองตามจำนวนซ้ำ a1 a1 a2 a2 a3 a3 Rep. I Rep. II Rep. I Rep. II Rep. I Rep. II

Split-plot design (main plot = CRD) แบ่งแต่ละ main plot ออกเป็น 2 sub plot ตามจำนวนปัจจัย B แล้วทำการสุ่มแต่ละระดับของปัจจัย B ให้กับ sub plot ในแต่ละ main plot จนได้แผนผังการทดลองที่สมบูรณ์ a1 a1 a2 a2 a3 a3 b1 b1 b1 b1 b1 b1 b2 b2 b2 b2 b2 b2

Split-plot design (main plot = CRD) ปัจจัย B (j) ค่าสังเกต (หรือซ้ำ) (k) ผลรวม SP SS 1 2 …. k Y111 Y112 Y11k Y11. : b Y1b1 Y1b2 Y1bk Y1b. MP SS Y1.1 Y1.2 Y1.k a Ya11 Ya12 Ya1k Ya1. Yab1 Yab2 Yabk Yab. Ya.1 Ya.2 Ya.k

Split-plot design (main plot = CRD) ปัจจัย B ผลรวม; SS (A) 1 2 …. b Y11. Y12. Y1b. Y1.. Y21. Y22. Y2b. Y2.. : A Ya1. Ya2. Yab. Ya.. ผลรวม; SS (B) Y.1. Y.2. Y.b. Y…

Model equation แบบจำลองแผนการทดลองนี้ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการเชิงเส้นทางสถิติได้ดังนี้ Yijk =  + i + ik + βj + βij + ijk Yijk = ค่าสังเกตแต่ละค่า หรือข้อมูลที่ได้ จาก main plot ที่ i ใน sub plot ที่ j และซ้ำที่ k (i = 1, 2, … ,a; j = 1, 2, … ,b; k = 1, 2, …,r)

Model equation  = ค่าเฉลี่ยทั้งหมดของการทดลอง  = ค่าเฉลี่ยทั้งหมดของการทดลอง i = อิทธิพลของปัจจัยใน main plot ที่ i ik = ความคาดเคลื่อนสุ่มที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยใน main plot ที่ i ซ้ำที่ k βj = อิทธิพลของปัจจัยใน sub plot ที่ j βij= อิทธิพลของปฏิกริยาสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยใน main plot ที่ i กับปัจจัยใน sub plot ที่ j ijk= ความคาดเคลื่อนสุ่มของการทดลอง

Analysis of variance (I) Sources of variance Degree of freedom Main plot ar-1 Main plot treatment (A) a-1 Error of main plot treatment ( Ea) a (r-1) Sub plot ar (b-1) Sub plot treatment (B) b-1 Interaction between sub plot and main plot treatment (A x B) (a-1) (b-1) Error of sub plot treatment (Eb) a (r-1) (b-1) Total abr-1

Analysis of variance (II) Sources of variance Degree of freedom Sum of squares Mean square F0 Main plot ar-1 MP SS Main plot treatment (A) a-1 SS (A) SS (A)/ (a-1) MS (A)/ MS (Ea) Error of main plot treatment (Ea) a (r-1) SS (Ea) SS (Ea)/ a (r-1) Sub plot ar (b-1) SP SS Sub plot treatment (B) b-1 SS (B) SS (B) / (b-1) MS (B)/ MS (Eb) Interaction between main and sub plots (a-1) (b-1) SS (AB) SS (AB) / [(a-1) (b-1)] MS (AB)/ MS (Eb) Error of sub plot treatment (Eb) a (r-1) (b-1) SS (Eb) SS (Eb) / a (r-1) (b-1)

Analysis of variance

Analysis of variance

ตัวอย่างการคำนวณ บริษัทผลิตไวน์แห่งทราบว่าความเข้มข้นของไนโตรเจนและระยะเวลาในการหมัก มีผลต่อปริมาณของแอลกอฮอล์ ในขณะที่ระยะเวลาในการหมักก็มีผลเช่นกันแต่ไม่มากนัก ทางบริษัทจึงได้ใช้แผนการทดลอง split-plot แบบ CRD มาใช้ในการทดสอบผล เนื่องจากสามารถควบคุมความแปรปรวนของแหล่งไนโตรเจนได้ จากการทดลองโดยทำ 4 ซ้ำ

ระยะเวลาของการหมัก (วัน) ความเข้มข้นไนโตรเจน (%) แอลกอฮอล์ (%) 1 2 3 4 5 6 2.17 1.88 1.62 2.34 1.58 1.66 1.26 1.22 1.59 1.25 0.94 2.29 1.60 1.67 1.91 1.39 1.12 2.23 2.01 1.82 2.10 1.10 10 2.33 1.70 1.78 1.42 1.35 1.38 1.30 1.85 1.09 1.13 1.06 1.86 1.81 1.54 0.88 2.27 1.40 1.31 15 1.75 1.95 2.13 1.52 1.47 1.80 1.37 1.01 1.55 1.61 1.56 1.23 1.72 1.99 1.51 1.33

ระยะเวลาของการหมัก (วัน) ความเข้มข้นไนโตรเจน (%) แอลกอฮอล์ (%) 1 2 3 4 5 6 SP SS 2.17 1.88 1.62 2.34 1.58 1.66 11.25 1.26 1.22 1.59 1.25 0.94 7.84 2.29 1.60 1.67 1.91 1.39 1.12 9.98 2.23 2.01 1.82 2.10 1.10 10.92 MP SS 8.27 6.75 6.33 7.94 5.88 4.82 10 2.33 1.70 1.78 1.42 1.35 10.59 1.38 1.30 1.85 1.09 1.13 1.06 7.81 1.86 1.81 1.54 0.88 9.46 2.27 1.40 1.31 9.86 6.82 7.37 5.81 5.53 4.35 15 1.75 1.95 2.13 10.22 1.52 1.47 1.80 1.37 1.01 8.48 1.55 1.61 1.56 1.23 8.90 1.72 1.99 1.51 1.33 9.66 6.38 7.74 6.26 5.06 5.07

ระยะเวลาของการหมัก (วัน) ความเข้มข้นไนโตรเจน (%) ผลรวม; SS (A) 1 2 3 4 5 11.25 7.84 9.98 10.92 39.99 10 10.59 7.81 9.46 9.86 37.72 15 10.22 8.48 8.90 9.66 37.26 ผลรวม; SS (B) 32.06 24.13 28.34 30.44 114.97 Total SS = (2.17)2 + (1.88)2 + … + (1.33)2 – (114.97)2 / [3 x 4 x 6] = 9.1218

MP SS = [(8.27)2 + (6.75)2 + … + (5.07)2]/4 – (114.97)2/ 72 = 5.6902 SS (ระยะเวลา) = [(39.99)2 + (37.72)2 + (37.26)2]/(4 x 6) – (114.97)2 /72 = 0.1781 SS (Ea) = 5.6902 – 0.1781 = 5.5121

SP SS = [(11.25)2 + (7.84)2 + … + (9.66)2] / 6 - (114.97)2 /72 = 2.3511 SS (ไนโตรเจน) = [(32.06)2 + (24.13)2 + … + (30.44)2]/3 x 6 - (114.97)2 /72 = 1.9625

SS (AB) = SP SS - SS (A) – SS (B) = 2.3511 - 0.1781 – 1.9625 = 0.2105 SS (Eb) = 9.1218 – 5.6902 – 1.9625 – 0.2105 = 1.2586

ตารางวิเคราะห์ความแปรปรวน (ANOVA) SOV df SS MS F0 F.01 or F.05 Main plot (A) 2 0.1781 0.0890 0.2422 6.36 (Ea) 15 5.5121 0.3675 3.68 Sub plot 4.31 (B) 3 1.9625 0.6542 23.364* 2.84 (AB) 6 0.2105 0.0351 1.2536 3.29 (Eb) 45 1.2586 0.0280 2.34 Total 71 9.1218

Coefficient of variance; CV) CV (A) = (MS (Ea) x 100 / (Y…/ abr) = 0.3675 x 100 / (114.97/72) = 37.89% CV (B) = (MS (Eb) x 100 / (Y…/ abr) = 0.0280 x 100 / (114.97/72) = 10.46%

Multiple comparisons of treatment mean การเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของทรีตเมนต์บางค่าที่อยู่ในเทอมของ main plot หรือ sub plot จำเป็นต้องหาค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานสำหรับการเปรียบเทียบที่แตกต่างกัน เปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน main plot เช่น A1 หรือ A2

Multiple comparisons of treatment mean เปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน sub plot เช่น B1 หรือ B2 เปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน sub plot ที่อยู่ใน main plot เดียวกัน เช่น A1B1 กับ A1B2

Multiple comparisons of treatment mean เปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน main plot ที่อยู่ใน sub plot เดียวกัน เช่น A1B1 กับ A2B1 หรือที่อยู่ใน sub plot ต่างกัน เช่น A1B1 กับ A2B2 เปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน sub plot ที่อยู่ใน main plot เดียวกัน กับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของปัจจัยใน sub plot ที่อยู่ใน main plot ต่างกัน เช่น A1B1 – A1B2 กับ A2B1 – A2B2 ซึ่งเป็นการเปรียบเทียบปฎิกริยาสัมพันธ์

Multiple comparisons of treatment mean t (a) และ t (b) คือค่า t จากตาราง t ในระดับความเป็นไปได้  ที่ผู้ทดลองใช้เปิดที่ df ของ MS (Ea) และ MS (Eb) ตามลำดับ ค่า t นี้จะอยู่ระหว่าง t (a) และ t (b)

Split-plot design (main plot = RCBD) จากตัวอย่างการทดลองที่กล่าวข้างต้น, total main plot = a x b (หรือ r) คือระดับของปัจจัย A x จำนวนลบล็อค (มีค่าเท่ากับจำนวนซ้ำ) หรือ 3 x 2 = 6 หน่วยทดลอง

Split-plot design (main plot = RCBD) แบ่ง main plot ทั้งหมดออกเป็น 2 block (ตามจำนวนซ้ำ) block ละ 3 main plot เท่ากับระดับปัจจัย A ทำการสุ่มแต่ละระดับของปัจจัย A ให้กับ main plot ในแต่ block ดังรูปข้างล่างนี้ a1 a3 a2 a2 a1 a3 Block or Rep. I Block or Rep. II

Split-plot design (main plot = RCBD) แบ่งแต่ละ main plot เป็น 2 sub plot ตามระดับของปัจจัย B แล้วทำการสุ่มแต่ละระดับของปัจจัย B ให้กับ sub plot ของแต่ละ main plot ดังนี้ a1 a3 a2 a2 a1 a3 b1 b2 b2 b2 b1 b2 b2 b1 b1 b1 b2 b1

Split-plot design (main plot = RCBD) (j) Block (หรือซ้ำ) (k) ผลรวม 1 2 …. k Y111 Y112 Y11k Y11. : b a Yab. Y…

Split-plot design (main plot = LSD) Total main plot = a2 (ระดับของปัจจัย A ยกกำลังสอง) คือ 32 = 9 หน่วยทดลอง จำนวนซ้ำ (r) จะเท่ากับจำนวนระดับของปัจจัย A (a = r)

Split-plot design (main plot = LSD) ทำการสุ่มระดับของปัจจัย A ให้กับแต่ละ main plot ตามหลักการสุ่มของแผนการทดลอง LSD แบบ 3x3 LSD ดังนี้ a1 a2 a3 Row I a2 a3 a1 Row II a3 a1 Row III a2 Col. I Col. II Col. III

Split-plot design (main plot = LSD) ทำการแบ่งแต่ละ main plot ออกเป็น 2 sub plot แล้วทำการสุ่มระดับของปัจจัย B ให้แก่ sub plot ในแต่ละ main plot ดังนี้ a1 b1 b2 a2 b1 b2 a3 b2 b1 Row I a2 b2 b1 a3 b1 b2 a1 b2 b1 Row II b1 b2 b2 b1 b1 b2 a3 a1 a2 Row III Col. I Col. II Col. III

Split-plot design (main plot = LSD) Row (i) ปัจจัย A (j) ปัจจัย B (k) Column ผลรวม 1 2 …. l Y1111 Y1112 Y111l Y111. Y1121 Y1122 Y112l Y112. b a Yaab. Y….

Model and analysis of variance Split-plot design (main plot = CRD) Split-plot design (main plot = RCBD)