Counting

ทฤษฎีการนับ 1. กฎการบวก ทฤษฎีบท ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการทำงาน k วิธี แต่ละวิธีของการทำงานไม่มีการซ้ำซ้นอนกัน วิธีที่ 1 มีวิธีทำงาน n1 วิธี วิธีที่ 2 มีวิธีทำงาน n2 วิธี … วิธีที่ k มีวิธีทำงาน nk วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีที่ทำงานนี้เท่ากับ n1 + n2 + … + nk วิธี

ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง จะมีกี่วิธีในการเลือกตัวแทนของภาควิชา 1 คน จากกลุ่มของนิสิตในภาควิชาคณิตศาสตร์ และ คอมพิวเตอร์ โดยมีนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์อยู่ 37 คน และในสาขาคอมพิวเตอร์ 83 คน เลือกตัวแทนจากนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์ 1คน ทำได้ 37 วิธี เลือกตัวแทนจากนิสิตในสาขาคอมพิวเตอร์ 1คน ทำได้ 83 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธี การเลือกตัวแทนของภาควิชา 1 คน จากกลุ่มของนิสิตในสาขาคณิตศาสตร์ และ คอมพิวเตอร์ = 37 +83 = 120 วิธี

ทฤษฎีการนับ 2. กฎการคูณ ทฤษฎีบท ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1 วิธี ใน 1 วิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 2 ได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 3 ได้ n3 วิธี … จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n1  n2  n13  …  nk

ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง ในการติดรหัสสินค้าบนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยบริษัทๆ หนึ่ง บริษัทต้องการสร้างรหัส ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ 1 ตัว และตัวเลขซึ่งเป็นเลขจำนวนเต็มบวกไม่เกิน 100 อยากทราบว่าจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มากที่สุดที่บริษัทจะกำหนดรหัสสินค้าที่แตกต่างกันได้ คือ เท่าไหร่ เลือกตัวอักษร 1 ตัวทำได้ 26 วิธี แต่ละวิธีที่เลือกตัวอักษรหนึ่งตัวจะเลือกตัวเลข 100 ตัว จะกำหนดรหัสสินค้าได้ทั้งหมด= 26*100 =2600วิธี

ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง จะสามารถกำหนดสตริงซึ่งประกอบด้วยเลข 0 หรือ 1 ได้กี่สตริง ถ้ากำหนดว่าสตริงยาว 7 บิต กำหนดได้ =2*2*2*2*2*2*2 = 2 7 สตริง ตัวอย่าง โรงอาหารแห่งหนึ่งจัดเตรียมอาหารจานเดียวไว้ 4 ชนิด และเครื่องดื่ม 3 ชนิด จงหาจำนวนวิธีที่ลูกค้าจะสั่งอาหารและเครื่องดื่มอย่างละ 1 ชนิด จำนวนวิธีที่ลูกค้าจะสั่งอาหารและเครื่องดื่มอย่างละ 1 ชนิด= 4*3 = 12 วิธี

ทฤษฎีการนับ ตัวอย่าง มีทาง 4 ทางจากเมือง A ไปเมือง B ทาง 3 ทางจากเมือง B ไปเมือง C และทาง 2 ทาง จากเมือง A ไปเมือง C จงหาว่า ก. มีกี่วิธีที่จะไปจากเมือง A สู่เมือง C โดยผ่านเมือง B ข. มีกี่วิธีที่จะไปจากเมือง A สู่เมือง C เส้นทางจากเมือง A ไปเมือง Cโดยผ่านเมือง B = 4*3 = 12 วิธี เส้นทางจากเมือง A ไปเมือง Cทั้งหมด = 12 + 2 = 14 วิธี

หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) ทฤษฎีบท ถ้าต้องการจัดนกพิราบ n ตัว ไปตามรังนกซึ่งมีอยู่ m รัง อย่างน้อยต้องมีอยู่ 1 รัง ซึ่งมีนกพิราบอยู่อย่างน้อย 2 ตัว โดยที่ n > m (คือ มีจำนวนนกมากกว่าจำนวนรัง)

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ถ้ามีคนอยู่ 6 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน ไม่จำเป็นเนื่องจาก จำนวนคนน้อยกว่าเดือน ถ้ามีคนอยู่ 13 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน จำเป็นเนื่องจากเป็นไปตามหลักรังนกพิราบ

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง จะต้องมีเด็กนักเรียนเป็นจำนวนเท่าใด เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีนักเรียนอย่างน้อย 2 คนได้คะแนนเท่ากัน ถ้าคะแนนสอบที่เด็กจะได้รับ คือ 0 – 100 คะแนน จำนวนนักเรียน = 102 คน ตัวอย่าง จะต้องมีนิสิตเรียนวิชา Discrete Mathematics อย่างน้อยที่สุดกี่คน เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีนิสิตอย่างน้อย 6 คนได้ เกรดเดียวกัน ถ้าเกรดที่เป็นไปได้คือ A, B, C, D, และ F จำนวนนิสิต= 6 +5 +5 +5 +5 = 26 คน

หลักรังนกพิราบ บทขยาย ถ้ามีของอยู่ n สิ่ง และจะใส่ลงไปใน m กล่อง โดยที่จำนวนสิ่งของมากกว่าจำนวนกล่อง จะได้ว่า มีบางกล่องบรรจุของนั้นอยู่อย่างน้อย  n/m  สิ่ง

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ถ้าพิจารณาถึงตัวอักษรภาษาอังกฤษ ซึ่งเป็นตัวอักษรตัวแรกของชื่อคน ในกลุ่ม 85 คน จะมีบางตัวอักษร ซึ่งมีอยู่อย่างน้อย 4 คนที่ขึ้นต้นด้วยอักษรเหล่านี้ จริงหรือไม่ จริง เนื่องจาก  85/26  =  3.27  = 4 ตัวอย่าง จงแสดงให้เห็นว่า สำหรับ 5 จุดใดๆ ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2x2 จะมีอยู่ 2 จุด ซึ่งมีระยะห่างอยู่อย่างมากที่สุด √2

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ในลิ้นชักใบหนึ่งบรรจุถุงเท้าสีดำ 10 ข้าง และสีขาว 10 ข้าง ให้นาย ก หลับตาเพื่อสุ่มหยิบถุงเท้าออกมา จงหาจำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่หยิบออกมา เพื่อให้ได้ถุงเท้าที่สีเข้าคู่กัน จำนวนถุงเท้าที่น้อยที่สุดที่หยิบออกมา เพื่อให้ได้ถุงเท้าที่สีเข้าคู่กัน = 3 ข้าง

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} จำเป็น เนื่องจากผลรวมของตัวเลขเป็น 9 มี 4 ชุด คือ { 4+5, 3+6, 2+7, 1+8 } ข. ถ้าเลือกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จำเป็นหรือไม่ว่าจะต้องมีอย่างน้อย 1 คู่ ที่มีผลรวมเป็น 9 ไม่จำเป็น

หลักรังนกพิราบ ทฤษฎี ถ้ามีลำดับของตัวเลขอยู่ n2 + 1 ตัวที่แตกต่างกัน จะมีลำดับตัวเลขชุดย่อยๆ อยู่ n + 1 ตัว ซึ่งอาจจะเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย

หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง มีเลขอยู่ 10 ตัว เรียงตามลำดับดังต่อไปนี้ 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 จงแสดงว่า มีเลขอยู่ 4 ตัว ซึ่งเรียงลำดับกันอยู่ อาจจะเป็นจากมากไปหาน้อย หรือน้อยไปหามาก 10 = 3 2 + 1 ดังนั้นชุดตัวเลขที่เรียงลำดับคือ 1, 4, 6, 12

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permuataion) คือ การจัดลำดับหรือเรียงลำดับของบางสิ่งหรือทุกสิ่งจากจำนวนสิ่งของทั้งหมด โดยคำนึงถึงลำดับที่ ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว a, b, c จัดคราวละ 3 ตัว จงหาว่าจะมีวิธีจัดลำดับอักษรเหล่านี้ได้กี่วิธี ตำแหน่งที่ 1จะเป็นอักษร a, bหรือ c ก็ได้ จัดได้ 3วิธี ตำแหน่งที่ 2จะเหลืออักษรที่นำมาจัดได้เพียง 2 ตัว จึงจัดได้ 2 วิธี ตำแหน่งที่ 3จะเหลืออักษรที่นำมาจัดได้เพียง 1 ตัว จึงจัดได้ 1 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด = 3*2*1 = 6 วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยน(Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันที่หมด นำมาจัดที่ละ n สิ่งคือ n! n! คือ ผลคูณของเลขจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n n! = n  (n - 1)  (n - 2) … 3  2  1

วิธีเรียงสับเปลี่ยน(Permuataion) ตัวอย่าง จากตัวอักษรของคำว่า COMPUTERสามารถนำมาจัดลำดับได้กี่แบบ ก) สามารถนำมาจัดลำดับได้กี่แบบ ถ้ากำหนดให้ตัวอักษร CO ต้องอยู่ติดกันเสมอ จำนวนวิธีจัดได้ 7! วิธี ข) จงหาวิธีที่จะไม่ให้ได้คำที่มี CO อยู่ติดกัน จัดได้ 8! - 7! วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยน(Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง เมื่อ r < n คือ ใช้สัญลักษณ์ P(n , r)

วิธีเรียงสับเปลี่ยน(Permuataion) ตัวอย่าง ถ้ามีคำว่า BYTES ก)จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ จำนวนวิธีที่จัดได้ คือ P(5,3 ) ข)จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ โดยกำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B จำนวนวิธีที่จัดได้ คือ P(4,2 )

วิธีเรียงสับเปลี่ยน(Permuataion) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนของ r สิ่ง จากทั้งหมด n สิ่งโดยอนุญาตให้ของซ้ำกันได้ คือ n r ตัวอย่าง มีข้อสอบอยู่ 10 ข้อ ต้องการแจกให้นิสิต 8 คน เพื่อทำคนละ1 ข้อ จำมีวิธีแจกอย่างไร เพื่อให้ ก)นิสิตแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน จำนวนวิธี = P(10,8) ข)นิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ จำนวนวิธี = 10 8

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ทฤษฎีบท จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของn สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเป็นวงกลม คือ (n - 1)! ตัวอย่าง ก) จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และชาย 4 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลม จำนวนวิธี่จัดได้ = (8-1)! = 7 ! วิธี ข) จากข้อ ก มีกี่วิธีที่ชายและหญิงจะนั่งสลับที่กัน จัดชายหรือหญิงก่อนเป็นวงกลมทำได้ 3! วิธี แล้วจัดชายหรือหญิงแทรกทำได้ 4! วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ 3! * 4! วิธี

การจัดหมู่ (Combination) คือ การจัดหมู่ของสิ่งของในเซต หรือการหาสับเซตใดๆ ของเซต โดยไม่คำถึงลำดับที่สับเซตนั้น

How Many Combinations (Subsets)? If there are three objects and you are choosing three, there is only one subset, since order is not important. IYP IPY YIP YPI PIY PYI

Have 4, choose 3 zvf zvr zfv zfr zrv zrf vfz vfr vrf vrz vzr vzf fvz fvr frz frv fzv fzr rvf rvz rfv rfz rzf rzv zvfr

Have 4, choose 3 zvf zvr zfr zrv zrf vfr vrf vrz vzr fvr frz frv fzr rvf rvz rfv rfz rzf rzv zvfr

Have 4, choose 3 zvf zvr zfr zrv zrf vfr vrf vrz vzr fvr frz frv fzr rvf rvz rfv rfz rzf rzv zvfr

Have 4, choose 3 zvf zvr zfr zrf vfr vrf fvr frz frv fzr rvf rfv rfz rzf zvfr

Have 4, choose 3 zvf zvr zfr vfr vrf fvr frv rvf rfv zvfr

การจัดหมู่ (Combination) ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดหมู่ของของ n สิ่งต่างๆ กัน โดยนำมาจัดทีละ r สิ่ง จะเขียนแทนด้วยC(n,r)

การจัดหมู่

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง มีกี่วิธีที่จะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามีภรรยา 4 คู่ ก) ถ้าทุกๆ คน มีโอกาสได้รับเลือกเท่ากัน จำนวนวิธี = C(8,3) ข) ถ้ากรรมการต้องประกอบด้วย หญิง 2 คน ชาย 1 คน จำนวนวิธี = C(4,2)* C(4,1) ค) ถ้าเลือกทั้งสามีทั้งภรรยาเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้ จำนวนวิธี = C(4,3) * 2 * 2 * 2

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จากเซต {a, b} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้เกิดตัวอักษร 3 ตัว โดยให้ตัวอักษรซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ a a a b b b a a b b b a ซึ่งเป็นได้ 4 แบบ โดยไม่ได้คำนึงถึงลำดับที่ (เหมือนการหยิบของแล้วใส่คืนลงไป ดังนั้นตอนเลือกอันต่อไปนี้ขึ้นมาอีกครั้ง จึงอาจซ้ำได้)

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จากเซต {1, 2, 3} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้ได้ตัวอักษร 2 ตัว โดยให้ตัวอักษรซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 ซึ่งเป็นไปได้ 6 แบบ โดยไม่ต้องคำนึงถึงลำดับที่

การจัดหมู่ (Combination) ทฤษฎีบท การจัดหมู่ของสิ่งของ r สิ่ง โดยเลือกจากสิ่งของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็น n กลุ่ม (หรือ n ประเภท) โดยให้ของซ้ำได้ ทำได้ C(r + n – 1, r) วิธี

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง ในห้องสมุดแห่งหนึ่ง มีหนังสือที่นาย ก สนใจอยู่ 3 ประเภท คือ คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และ ประวัติศาสตร์ สมมติว่าห้องสมุดมีหนังสืออยู่อย่างน้อย 6 เล่ม สำหรับหนังสือแต่ละประเภท นาย ก จะสามารถเลือกหนังสือออกมา 6 เล่มได้อย่างไร n =3 , r =6 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C(3 + 6 -1, 6) = C(8 , 6)

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธี(แบบ) ของคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับ x1 + x2 + x3 = 11 โดยที่ x1, x2, x3 เป็นเลขจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ n =3 , r =11 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C(3 + 11 -1, 11) = C(13 , 11)

การจัดหมู่ (Combination) ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธี(แบบ) ของคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับ x1 + x2 + x3 = 11 โดยที่ x1 ≥ 1,x2 ≥ 2, x3 ≥ 3 n =3 , r =5 จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ = C(3 + 5 -1, 5) = C(7 , 5)

สรุปสูตร Combination and Permutation with and without Repetition Type Repetition Allowed? Formula Permutation No P(n , r) Yes nr Combination C(n , r) C(r + n –1 , r)

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมด ทฤษฎีบท วิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งมี n1 สิ่งที่เหมือนกัน, n2 สิ่งที่เหมือนกัน, …. , nk สิ่งที่เหมือนกัน จะได้จำนวนวิธีจัดเท่ากับ

การจัดลำดับสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมด ตัวอย่าง จากคำว่า INTELLIGENCE ก)สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี (12!)/ (2! 2! 3! 2!) ข)สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้เริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G (10!)/ (2! 2! 3! 2!) ค) สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้มีINT อยู่ติดกันตามลำดับ และ IG อยู่ติดกันตามลำดับ (9!)/ (3! 2!)

สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeffcients) ทฤษฎีบท ถ้า a และ b เป็นเลขจำนวนจริง และ n เป็นเลขจำนวนเต็มบวกจะได้ว่า เรียกทฤษฎีบทนี้ว่า ทฤษฎีบททวินาม (Binomail Theorem)

สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeffcients) ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจาย (x + 2y)10 พจน์ที่ 4 ของการกระจายคือ C(10,3) x 7 (2y) 3 = C(10,3) *8 x 7 y 3

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า

Pascal’s Identity

Pascal’s Identity You are probably most familiar with this identity from Pascal’s Triangle, used in algebra. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Pascal’s Identity You are probably most familiar with this identity from Pascal’s Triangle, used in algebra. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 C(5,1)=C(4,0)+C(4,1)

Pascal’s Triangle

Pascal’s Triangle 3 5 2 1 8 1 13 21 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 1

Vandermonde’s Identity Let m, n, and r be nonnegative integers with r not exceeding either m or n. Then

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า