โจทย์ 1. x + y + 2z + 3w = 13 x - 2y + z + w = 8 3x + y + z - w = 1 6x + 2z - 9w = -2 5x - y + 2z - 8w = 3 2. 2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5 x1 + x2 - 3x3 - 4x4 = -1 3x1 + 6x2 - 2x3 + x4 = 8 2x1 + 2x2 + 2x3 - 3x4 = 2 5. x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + ( a2 - 14 ) z = a + 2 3. x + y + z - 2w = -4 2y + z + 3w = 4 2x + y - z + 2w = 5 x - y + w = 4

6. ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 9. 2x + 2y + 4z = 0 w - y - 3z = 0 2w + 3x + y + z = 0 -2w + x + 3y - 2z = 0 7. 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + 2x2 = 0 x2 + x3 = 0 10. v + 3w - 2x = 0 2u + v - 4w + 3x = 0 2u + 3v + 2w - x = 0 -4u - 3v + 5w - 4x = 0 8. x + 3y - 2z = 0 2x - 3y + z = 0 3x - 2y + 2z = 0

ข้อ . 1 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ -R1 + R2 -3R1 + R3 ~ - R2 + R3 ~ 3R3 + R2 ~ R2

-2R2 + R1 ~ 4R2 + R3 ~ R2 R3 Rank A = Rank [ A : B ] = 3 < จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มีหลายผลเฉลย และเราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ 1 พารามิเตอร์ดังนี้ จากเมตริกซ์แต่งเติม สามารถเขียนในรูปของระบบสมการเชิงเส้นได้ คือ x + y - w = -3 z + 2w = 8 y = -1

ให้ w = r เมื่อ r R x = -2 + r y = -1 z = 8 - 2r

ข้อ . 2 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ R1 R2 - 2R1 + R2 -3R1 + R3 -2R1 + R4 ~ R2 + R1 3R2 + R3 ~ -R4 + R1 ~ R3

~ -R3 + R4 ~ R3 R4 ~ R3 ~ -5R3 + R4 ~ R4

Rank A = Rank [ A : B ] = 4 = จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มี 1 ผลเฉลย คือ ได้

ข้อ . 3 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ R2 ~ -2R1 + R3 -R1 + R4 R2 + R3 2R2 + R4 ~ 2R2 R3 R4 ~

Rank A = Rank [ A : B ] = 4 = จำนวนตัวแปร 2R2 + R1 -3R4 + R2 3R4 + R3 ~ ~ R2 Rank A = Rank [ A : B ] = 4 = จำนวนตัวแปร fดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มี 1 ผลเฉลย คือ

ได้

ข้อ . 4 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ R1 R3 R1 + R3 R1 + R5 ~ -R3 + R2 -R5 + R4 ~

-3R1 + R3 -6R1 + R5 ~ R2 R3 -R2 + R5 ~ ~ R3 R4 ~ 11R3 + R4

ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีผลเฉลย ~ R4 Rank A = 4 Rank [ A : B ] = 5 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีผลเฉลย

ข้อ . 5 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ -R2 + R3 - 3R1 + R2 -R1 + R3 ~ ~ R2 ถ้า a = 4 ดังนั้น เมตริกซ์แต่งเติม คือ

จะได้ว่า Rank A = Rank [ A : B ] = 2 < จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นมีหลายผลเฉลย ถ้า a = -4 ดังนั้น เมตริกซ์แต่งเติมคือ จะได้ว่า Rank A = 2 Rank [ A : B ] = 3 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีผลเฉลย ถ้า a R - { -4 , 4 } ดังนั้นเมตริกซ์แต่งเติม คือ

ได้ = จะได้ว่า Rank A = Rank [ A : B ] = จำนวนตัวแปร = 3 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นมีหนึ่งผลเฉลย

ข้อ . 6 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ R1 R3 - R1 + R2 -aR1 + R3 ~ ~ R2 + R3 R2 -R3 ~ ถ้า a = 1 ดังนั้น เมตริกซ์แต่งเติม คือ

จะได้ว่า Rank A = Rank [ A : B ] = 2 < จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นมีหลายผลเฉลย ถ้า a = -2 ดังนั้น เมตริกซ์แต่งเติมคือ จะได้ว่า Rank A = 2 Rank [ A : B ] = 3 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีหลายผลเฉลย ถ้า a R - { -2 , 1 } ดังนั้นเมตริกซ์แต่งเติม คือ

ได้ จะได้ว่า Rank A = Rank [ A : B ] = จำนวนตัวแปร = 3 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นมีหนึ่งผลเฉลย

ข้อ . 7 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ R1 R2 ~ - 2R1 + R2 -2R3 + R1 -3R3 + R2 ~ ~ R2 R3

~ ~ R3 2R3 + R1 -R3 + R2 Rank A = Rank [ A : B ] = 3 = จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มีหนึ่งผลเฉลย คือ x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0

ข้อ . 8 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ - R2 + R3 ~ - R3 + R2 ~ -R2 + R1 ~ -2R1 + R2

~ -R2 + R3 ~ -2R3 + R1 ~ R1 R2 ~ R2 R3 ~ R3 6R3 + R1 -7R3 + R2 ~

Rank A = Rank [ A : B ] = จำนวนตัวแปร = 3 ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นมี 1 ผลเฉลย คือ x = 0 y = 0 z = 0

ข้อ . 9 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ R1 ~ R3 + R4 ~ -2R2 + R3 R1 R2 -R3 + R4 ~

Rank A = Rank [ A : B ] = 3 < จำนวนตัวแปร -3R2 + R3 -R2 + R4 ~ R3 R4 ~ ~ R3 + R4 Rank A = Rank [ A : B ] = 3 < จำนวนตัวแปร fดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มีหลายผลเฉลย และสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ 1 พารามิเตอร์ดังนี้

จากเมตริกซ์แต่งเติม สามารถเขียนในรูปของระบบสมการเชิงเส้นได้ คือ w - y - 3z = 0 x + y + 2z = 0 z = 0 ให้ y = t เมื่อ t R x = -t w = t z = 0

ข้อ . 10 วิธีทำ จากระบบสมการเชิงเส้น สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์แต่งเติมได้ดังนี้ ~ 2R3 + R4 ~ R4 -R2 + R3 -R1 + R4 ~ ~ -2R1 + R3

Rank A = Rank [ A : B ] = 2 < จำนวนตัวแปร ~ R1 R2 ~ R1 Rank A = Rank [ A : B ] = 2 < จำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบสมการเชิงเส้นนี้มีหลายผลเฉลย และเราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ 2 พารามิเตอร์ ดังนี้ ให้ เมื่อ