หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น

งานนำเสนอเรื่อง: "หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น
ผศ.ปราโมทย์ พรหมอินทร์

2 หน่วยที่ 12 การประยุกต์อินทิกรัลหลายชั้น
ตอนที่ การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับอินทิกรัลหลายชั้น เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกระบอก เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดทรงกลม ตอนที่ ประโยชน์ของอินทิกรัลหลายชั้น เรื่องที่ ประโยชน์ของอินทิกรัลสองชั้น เรื่องที่ ประโยชน์ของอินทิกรัลสามชั้น

3 เรื่องที่ 12.1.1 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น
เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสองชั้น เราจะหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ R เป็นบริเวณที่ปิดล้อมด้วยสมการเส้นตรง y=x, y+x=0, x-y=2 และ x+y =4 ดังภาพ ได้อย่างไร

4 ค่าอินทิกรัลสองชั้น โดยการเปลี่ยนตัวแปรจาก x,y ไปเป็นตัวแปร u,v หาได้จาก
โดยที่ เรียก ว่า จาโคเบียนของการแปลง x = x(u,v) และ y = y(u,v)

5 วิธีทำ โดยการหาคำตอบของสมการ u=x+y และ v=x-y และ
ตัวอย่าง จงหา จากการเปลี่ยนตัวแปร จากตัวแปร x,y เป็นตัวแปร u,v โดยที่ u=x+y และ v=x-y วิธีทำ โดยการหาคำตอบของสมการ u=x+y และ v=x-y และ ดังนั้น

6 ดังนั้น จาโคเบียนจากการเปลี่ยนตัวแปร เท่ากับ

7 ข้อสังเกต ในการหาค่าจาโคเบียน อาจมีความยุ่งยาก u=x+y และ v=x-y

8 ตัวอย่าง 12.1.2 จงหาค่าอินทิกรัลของ
เมื่อ R เป็นบริเวณที่ปิดล้อมด้วยรูปกราฟที่มีสมการเป็น สมการเส้นตรง y=x, y+x=0, x-y=0 และ x+y=4 วิธีทำ จากโจทย์วาดกราฟของ R ได้ดังภาพ

9 กำหนดให้ u = g(x,y) = x+y และ v = h(x,y) = x-y
โดยการเปลี่ยนตัวแปร การหาค่าอินทิกรัลสองชั้น คำนวณได้จาก

10

11 จาโคเบียนในการเปลี่ยนตัวแปรในระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว

12 เรื่องที่ 12.1.2 การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น
เรื่องที่ การเปลี่ยนตัวแปรสำหรับการหาอินทิกรัลสามชั้น ตัวอย่าง จงหาจาโคเบียนในการเปลี่ยนตัวแปรจาก ไปเป็นตัวแปร โดยให้ และ

13 ตัวอย่าง 12.1.9 จงหาค่าอินทิกรัล
โดยกำหนดให้

14

15

16 เรื่องที่ 12.1.3 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดทรงกระบอก
ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของทรงตันซึ่งปิดล้อมด้วยทรงกระบอก และระนาบ กับระนาบ

17

18 เรื่องที่ 12.1.4 การเปลี่ยนตัวแปรระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดทรงกลม
จาโคเบียนของการเปลี่ยนตัวแปร เท่ากับ

19 ตัวอย่าง 12.1.11 จงหาปริมาตรของทรงตันซึ่งปิดล้อมด้วยทรงกลม และระนาบ xy