เลขฐานต่าง ๆ อ.มิ่งขวัญ กันจินะ

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน เลขฐาน 2 , 8 และ 16 การเขียนสัญลักษณ์ 112 อ่านว่า หนึ่ง หนึ่ง ฐานสอง 358 อ่านว่า สาม ห้า ฐานแปด 7C16 อ่านว่า เจ็ด ซี ฐานสิบหก

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ตาราง แสดงตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐานต่าง ๆ ระบบเลขฐาน ชื่อภาษาอังกฤษ ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐานนั้น 2 4 6 8 10 16 Binary system Quantanary system Senary system Octanary system Denary system Hexadenary system 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

การนับเลขฐานต่าง ๆ ฐาน 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 หลักการ เมื่อนับเพิ่มตัวเลขในฐานในหลักหนึ่งจนครบทุกตัวเลขแล้ว ค่าถัดไปในหลักเดียวกันจะวนไปเริ่มใช้เลข 0 อีกครั้ง และจะไปเพิ่มค่าในหลักถัดไป เป็นอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ ทุกจำนวนจะมีเลข 0 นำหน้า แต่ไม่นิยมเขียนไว้ เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 9 จะวนไปที่เลข 0 ฐาน 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ตัวเลขในหลักสิบจะเพิ่ม จากเดิม 1 เป็น 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 หลักสิบจะเพิ่มขึ้น จากเดิม 0 เป็น 1 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 9 จะวนไปที่เลข 0 2 21 . . .

การนับเลขฐานต่าง ๆ ฐาน 2 ฐาน 10 : 1 2 3 4 5 6 7 8          1 2 3 4 5 6 7 8          ฐาน 2 : 1 1 11 1 101 110 111 1000 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 1 จะวนไปที่เลข 0 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 1 จะวนไปที่เลข 0 จะเพิ่มตัวเลขในหลักสิบ จากเดิม 0 เป็น 1 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักสิบแล้ว 1 จะวนไปที่เลข 0 จะเพิ่มตัวเลขในหลักร้อย จากเดิม 0 เป็น 1

การนับเลขฐานต่าง ๆ ฐาน 8 ฐาน 10 : 1 2 3 4 5 6 7 8          เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 7 จะวนไปที่เลข 0 ฐาน 10 : 1 2 3 4 5 6 7 8          ฐาน 8 : 1 2 3 4 5 6 7 1 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว 7 จะวนไปที่เลข 0 จะเพิ่มตัวเลขในหลักสิบ จากเดิม 1 เป็น 2 ฐาน 10 : 9 10 11 12 13 จะเพิ่มตัวเลขในหลักสิบ จากเดิม 0 เป็น 1 14 15 16 17          ฐาน 8 : 11 12 13 14 15 16 17 2 21

การนับเลขฐานต่าง ๆ ฐาน 16 ฐาน 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 จะเพิ่มตัวเลขในหลักสิบ จากเดิม 0 เป็น 1 เมื่อครบทุกตัวเลขในหลักหน่วยแล้ว F จะวนไปที่เลข 0 ฐาน 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 11 12 13

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ค่าของตัวเลขในฐานต่าง ๆ บอกได้ 2 สิ่ง คือ ค่าประจำตัวของแต่ละตัว ค่าหลักในตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่ (Position Notation) เช่น 62 6 มีค่าเท่ากับ 6 และมีค่าเป็นหลักสิบ 2 มีค่าเท่ากับ 2 และมีค่าเป็นหลักหน่วย

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานสิบ เช่น 357.69 กระจายได้ดังนี้ 357.69 = 300 + 50 + 7 + .60 + .09 = ( 3  102 ) + ( 5  101 ) + ( 7  100 ) + ( 6  10 – 1 ) + ( 9  10 -2 )

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานสอง เช่น 100.012 กระจายได้ดังนี้ 100.012 = ( 1  22 ) + (0  21 ) + (0  20 ) + ( 0  2 – 1 ) + ( 1  2 -2 )

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานแปด เช่น 126.578 กระจายได้ดังนี้ 126.578 = (1  82 ) + (2  81 ) + (6  80 ) + ( 5  8 – 1 ) + ( 7  8 -2 )

ตัวเลขที่ใช้ในระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานสิบหก เช่น 8BC.F16 กระจายได้ดังนี้ 8BC.F16 = ( 8  162 ) + ( B  161 ) + ( C  160 ) + ( F  16 – 1 ) 1 1 12 15 10 = A , 11 = B , 12 = C , 13 = D , 14 = E , 15 = F

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบ

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ เช่น 1011.012 เปลี่ยนเป็นฐานสิบ วิธีทำ นำค่าของฐานคูณกับตัวเลขนั้น ๆ แล้วบวกกัน 1011.012 = ( 1  23 ) + (0  22 ) + ( 1  21 ) + ( 1  20) + (0  2 – 1 ) + ( 1  2 -2 ) = ( 1  23 ) + (0  22 ) + ( 1  21 ) + ( 1  20) + (0  ) + ( 1  )

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ 1011.012 = ( 1  23 ) + (0  22 ) + ( 1  21 ) + ( 1  20) + (0  ) + ( 1  ) = ( 1  8 ) + ( 0  4 ) + ( 1  2 ) + ( 1  1 ) + (0  0.5 ) + ( 1  0.25 ) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 11.25

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ เช่น 326.178 เปลี่ยนเป็นฐานสิบ 326.178 = (3  82 ) + (2  81 ) + (6  80 ) + ( 1  8 – 1 ) + ( 7  8 -2 ) = ( 3  82 ) + (2  81 ) + ( 6  80 ) + (1  ) + ( 7  )

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ 326.178 = ( 3  82 ) + (2  81 ) + ( 6  80 ) + (1  ) + ( 7  ) = (3  64 ) + (2  8) + (6  1 ) + ( 1  0.125) + ( 7  0.015625) = 192 + 16 + 6 + 0.125 + 0.109375 = 214.234375

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบ เช่น B18.516 เปลี่ยนเป็นฐานสิบ B18.516 = ( 11  162 ) + ( 1  161 ) + (8  160 ) + ( 5  16 – 1 ) = ( 11  162 ) + ( 1  161 ) + ( 8  160 ) + ( 5  )

การเปลี่ยนเลขฐานของตัวเลขในระบบเลขฐานต่างๆ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ B18.516 = ( 11  162 ) + ( 1  161 ) + ( 8  160 ) + (5  ) = ( 11  256 ) + ( 1  16) + (8  1 ) + ( 5  0.0625 ) = 2816 + 16 + 8 + 0.3125 = 2840.3125

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนตัวเลขหน้าจุดทศนิยม นำเลขฐานสิบเป็น ตัวตั้ง ตัวเลขฐานใหม่เป็น ตัวหาร หารสั้นจนได้ 0 เพื่อ หาเศษ เรียงเศษที่ได้จาก ล่างขึ้นบน

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนตัวเลขหลังจุดทศนิยม นำเลขฐานสิบหลังจุดทศนิยมเป็น ตัวตั้ง ตัวเลขฐานใหม่เป็น ตัวคูณ คูณจนได้ 0 (หรือตามจำนวนทศนิยมที่กำหนด) เพื่อ หาจำนวนเหน้าทศนิยม เรียงจำนวนเต็มที่ได้จาก บนลงล่าง

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 24 เป็นเลขฐานสอง 2 เศษ 2 1 2 2 6 2 3 2 1 1 1 ดังนั้น 24 เปลี่ยนเป็นเลขฐานสองได้เท่ากับ 110002

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 11.75 เป็นเลขฐานสอง เลขหน้าทศนิยม เลขหลังทศนิยม 2 เศษ .75  2 5 1 2 คูณเฉพาะเลขที่อยู่หลังทศนิยม 2 2 1.5 1  2 2 1 1.0 1 ดังนั้น 11.75 เปลี่ยนเป็นเลขฐานสองได้เท่ากับ 1011.112

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 17.25 เป็นเลขฐานแปด เลขหน้าทศนิยม เลขหลังทศนิยม 8 เศษ .25  8 2 1 8 2 2.0 ดังนั้น 17.25 เปลี่ยนเป็นเลขฐานแปดได้เท่ากับ 21.28

การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 472.125 เป็นเลขฐานสิบหก เลขหน้าทศนิยม เลขหลังทศนิยม 16 เศษ .125 16 29  8 16 16 1 13 = D 2.00 1 ดังนั้น 472.125 เปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบหกได้เท่ากับ 1 D8.216

การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ วิธีทำ วิธีที่ 1 แปลงเป็นเลขฐานสิบ  ฐานที่ต้องการ วิธีที่ 2 เปลี่ยนฐานสอง  ฐาน 8 , ฐาน 16 แยกเลขฐานสอง โดยเริ่มจากจุดทศนิยม ไปทางซ้าย หรือ ทางขวา ฐาน 8 แยกเลขฐานสองครั้งละ 3 ตัว ฐาน 16 แยกเลขฐานสองครั้งละ 4 ตัว

การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 1110101.10112 เป็นเลขฐานแปด 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 ฐานสอง . 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 ฐานแปด . 1 6 5 5 4 ดังนั้น 1110101.10112 = 1 65.548

การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 1110101.10112 เป็นเลขฐานสิบหก 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 ฐานสอง . 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ฐานสิบหก . 7 5 B ดังนั้น 1110101.10112 = 75.B 16

การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 165.548 เป็นเลขฐานสอง 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 ฐานแปด . 1 6 5 5 4 ฐานสอง . 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 ดังนั้น 165.548 = 1110101.101112

การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ การเปลี่ยนเลขฐานใด ๆ ไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ตัวอย่าง จงเปลี่ยน 75.B16 เป็นเลขฐานสอง 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 ฐานสิบหก . 7 5 B ฐานสอง . 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ดังนั้น 75.B16 = 1110101.10112

การคำนวณเลขฐาน  คำนวณได้เฉพาะเลขฐานเดียวกัน การบวกเลขฐาน บวกกันแล้วน้อยกว่าฐาน  ใส่ค่าที่บวกได้ บวกกันแล้วมากกว่าฐาน  ใส่ค่าที่เกินจาก ฐาน  ทด

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1101.112 + 110.12 1 1 1 1 1 1 0 1 . 1 1 1 + 1 + 1 = 11 ใส่ 1 ทด 1 1 + 1 = 10 ใส่ 0 ทด 1 1 + 1 = 10 ใส่ 10 1 + 1 = 10 ใส่ 0 ทด 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 ใส่ 0 ทด 1 + 1 1 0. 1 10 1 . 1 ดังนั้น 1101.112 + 110.12 = 10100.012

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ 546.28 + 1748 1 1 1 + 4 + 7= 12 เกิน 8 ไป 4 ใส่ 4 ทด 1 6 + 4= 10 เกิน 8 ไป 2 ใส่ 2 ทด 1 5 4 6 . 2 1 + 5 + 1= 7 2 + 0 = 2 + 1 7 4 7 4 2 . 2 ดังนั้น 546.28 + 1748 = 742.28

การคำนวณเลขฐาน 4 A 0 3 C D 8 6 D ตัวอย่าง จงหาค่าของ 4A016 + 3CD16 1 เกิน 16 ไป 6 ใส่ 6 ทด 1 + 1 + 4 + 3= 8 0 + D = D 3 C D 8 6 D ดังนั้น 4A016 + 3CD16 = 86D16

การคำนวณเลขฐาน การลบเลขฐาน ถ้าตัวตั้งมากกว่าตัวลบ ใส่ผลลัพธ์ได้เลย ถ้าตัวตั้งมากกว่าตัวลบ ใส่ผลลัพธ์ได้เลย ตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบจะต้องยืม ส่วนที่ยืมมา นั้นจะมีค่าเท่ากับฐาน

ตัวหน้าสุดที่ถูกยืม เหลือ 0 การคำนวณเลขฐาน ถูกยืมไปอีกจึงเหลือ 1 ตัวถัดมายืม กลายป็น 2 ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1011.012 - 111.12 ตัวหน้าสุดที่ถูกยืม เหลือ 0 2 1 2 2 2 0 ลบ 1 ไม่ได้ ยืมตัวหน้าไม่มี ยืมตัวหน้าสุดอีกที 0 ลบ 1 ไม่ได้ ยืมตัวหน้ามาเป็น 2 2 – 1 = 1 0 ลบ 1 ไม่ได้ ยืมตัวหน้ามาเป็น 2 2 – 1 = 1 1 0 1 1 . 0 1 1 - 0 = 1 - 1 1 1 . 1 1 – 1 = 0 1 1 . 1 1 ตัวที่ถูกยืมไป 1 เหลือ 0 ตัวที่ถูกยืมไป 1 เหลือ 0 ยืมได้ 2 2 – 1 = 1 ดังนั้น 1011.012 - 111.12 = 11.112

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ D7.A16 - 7C.916 12 C 23 7 ลบ C ( 12) ไม่ได้ ยืมตัวหน้ามาเป็น 7+16=23 D 7 . A A - 9 = 10 – 9 = 1 - D ถูกยืมไป 1 เหลือ C 7 C .9 C = 12 5 B . 1 23 – 12 = 11 = B 12 – 7 = 5 ดังนั้น D7.A16 - 7C.916 = 5B.1 16

การคำนวณเลขฐาน การคูณเลขฐานต่าง ๆ ตั้งหลักของตัวตั้งและตัวคูณให้ตรงกัน คูณเช่นเดียวกับระบบฐานสิบ ใช้ตารางช่วย

การคำนวณเลขฐาน ตารางคูณเลขฐานสอง 1

ตารางคูณเลขฐานแปด 1 2 3 4 5 6 7 11 10 14 20 12 17 24 31 23 30 36 44 16 25 34 43 52 61

ตารางคูณเลขฐานสิบหก ?? การบ้าน !!

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ 10112  1112 1 0 1 1 1  1 = 1  1 1 1 1 1 1 1 1+0+1+1 = 11 ใส่ 1 ทด 1 1+1+0+1 = 11 ใส่ 1 ทด 1 1 + 1 = 10 ใส่ 0 ทด 1 1 + 1 = 10 ใส่ 0 ทด 1 1 + 1 = 10 ใส่ 10 1  1 = 1 1 1 1 1 0 1 1 + 1  0= 0 1 0 1 1 + 1  1 = 1 10 1 1 1 ดังนั้น 10112  1112 = 10011012

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ 468  328 2 1 4 6 8 34 = 14 บวกที่ทด 2 14+2 = 16 ใส่ 16 24 = 10 บวกที่ทด 1 10+1 = 11 ใส่ 11  3 2 8 36 = 22 ใส่ 2 ทด 2 26 = 14 ใส่ 4 ทด 1 1 1 4 + 1 6 2 1 7 3 4 ดังนั้น 468  328 = 17348

การคำนวณเลขฐาน ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3B916  2A16 7 1 5 1 3 B 9 16 23 = 6 บวกที่ทด 1 6+1 = 7 ใส่ 7 A3 = 1E บวกที่ทด 7 1E+7 = 25 ใส่ 25 2B = 16 บวกที่ทด 1 16+1 = 17 ใส่ 7 ทด 1 AB = 6E บวกที่ทด 5 6E+5 = 73 ใส่ 3 ทด 7  29 = 12 ใส่ 2 ทด 1 2 A 16 A9 = 5A ใส่ A ทด 5 2 5 3 A + 7 7 2 9 C 5 A ดังนั้น 3B916  2A16= 9C5A 16

การคำนวณเลขฐาน การหาร ใช้วิธีหารยาวธรรมดา  ใช้ตารางช่วย เปลี่ยนให้เป็นฐานสิบก่อน หารยาวใน ฐานสิบ แล้วเปลี่ยนฐานกลับคืน

การคำนวณเลขฐาน 1 1 . 1 ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1000012  1102 1 1 0 - 1 ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1000012  1102 1 1 . 1 1 1 0 - 1 1 1 0 1 - 1 1 1 1 0 - ดังนั้น 1000012  1102 = 101.12

การคำนวณเลขฐาน 4 2 . 6 6 6 … ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3648  78 - 3 4 2 4 - ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3648  78 4 2 . 6 6 6 … - 3 4 2 4 - 1 6 6 - 5 2 6 ดังนั้น 3648  78 = 42.68

End . . .