Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation

งานนำเสนอเรื่อง: "Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation
Numerical Analysis

2 Problem type ถ้ามีข้อมูลจากการวัด ซึ่งแทนความสัมพันธ์ของตัวแปรต้นและตัวแปรตาม แล้ว ต้องการทราบค่าตัวแปรตาม ณ จุดอื่นๆ ในช่วงของการวัด ต้องการทราบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่แทนข้อมูล

3 Theory of Weierstrass

4 Interpolation: Overview

5 Interpolation: Overview

6 Interpolation: Overview

7 Lagrange Polynomial

8 Lagrange Polynomial

9 Lagrange Polynomial

10 Lagrange Polynomial

11 Lagrange Polynomial: Example

12 Lagrange Polynomial: Example

13 Lagrange Polynomial: Example

14 Divided Difference

15 Divided Difference

16 Divided Difference

17 Newton Divided Difference: Example

18 Newton Divided Difference: Example
xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

19 Newton Divided Difference: Example

20 Forward Divided Difference

21 Forward Divided Difference

22 Forward Divided Difference

23 Backward Divided Difference

24 Backward Divided Difference

25 Backward Divided Difference

26 Newton Divided Difference: Example

27 Example (Newton Divided Difference)
xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 Example (Newton Divided Difference)

28 Newton Divided Difference: Example

29 Newton Divided Difference: Example
xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

30 Newton Divided Difference: Example

31 Hermite Interpolation
การที่พหุนามมีดีกรีสูงขึ้นจะทำให้ค่าประมาณดีขึ้น การประมาณค่าในช่วง ของ Hermite นอกจากจะใช้ค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดแล้ว ยังใช้ค่า อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ณ จุดที่กำหนดนั้นด้วย สำหรับข้อมูลจำนวน n+1 ตัว พหุนาม Hermite จะมีดีกรี 2n+1

32 Hermite Interpolation

33 Hermite Interpolation

34 Hermite Interpolation

35 Hermite Interpolation

36 Hermite Interpolation

37 Hermite Interpolation: Example

38 Hermite Interpolation: Example

39 Hermite Interpolation: Example

40 Cubic Spline Interpolation
ความแม่นยำในการประมาณอาจสูงขึ้น เมื่อใช้พหุนามที่มีดีกรีสูง แต่เมื่อ ดีกรีที่สูงขึ้นมากอาจจะมีการกวัดแกว่งของเส้นโค้งสูงขึ้นด้วย ซึ่งจะส่งผลให้ ค่าประมาณมีความคลาดเคลื่อนมากขึ้นก็ได้ วิธีหนึ่งที่ใช้แก้ปัญหาคือ แบ่ง ช่วงทั้งหมดออกเป็นช่วงย่อยๆ แล้วสร้างพหุนามประจำแต่ละช่วงย่อย เรียกว่า “การประมาณโดยพหุนามเป็นช่วงๆ”” ถ้าให้ทุกสองคู่ของจุดแทนช่วงหนึ่งช่วง การเชื่อมจุดของข้อมูลด้วยเส้นตรงก็ คือวิธีที่ง่ายที่สุด แต่ก็จะทำให้เส้นโค้งไม่เรียบ แนวทางอื่นคือ การใช้พหุนาม Hermite แต่ก็ต้องมีข้อมูลของอนุพันธ์ อันดับหนึ่งของทุกจุด

41 Cubic Spline Interpolation
การประมาณโดยพหุนามเป็นส่วนๆ ที่พบบ่อยที่สุดคือ การใช้พหุนามกำลัง สามระหว่างคู่ของจุด ที่เรียกว่า Cubic Spline พหุนามกำลังสาม มีค่าคงตัว 4 ค่า โดยทั่วไปแล้วอนุพันธ์ของ Cubic Spline ไม่จำเป็นต้องเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริง แม้ที่จุดนิยาม

42 Cubic Spline Interpolation

43 Cubic Spline Interpolation

44 Cubic Spline Interpolation

45 Cubic Spline Interpolation

46 Cubic Spline Interpolation

47 Cubic Spline Interpolation

48 Cubic Spline Interpolation

49 Cubic Spline: Example

50 Cubic Spline: Example

51 Cubic Spline: Example

52 Cubic Spline: Example

53 Cubic Spline: Example

54 Cubic Spline: Example

55 Cubic Spline: Example

56 Cubic Spline: Example

57 Cubic Spline: Example

58 Cubic Spline: Example

59 Cubic Spline: Example

60 Cubic Spline: Example

61 Least Square Method ในกรณีที่ค่าข้อมูลที่วัดมานั้น อาจมีความคลาดเคลื่อน การประมาณค่าฟังก์ชันภายใต้ เงื่อนไขที่ว่า ค่าที่ได้จากการวัดจะต้องเท่ากับค่าประมาณของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ ก็ อาจจะทำให้ค่าประมาณยิ่งคลาดเคลื่อนไปจากค่าที่ควรจะเป็น นอกจากนี้ ถ้ามีข้อมูลจำนวนหนึ่ง เช่น n+1 และใช้การประมาณพหุนามในช่วงเช่น พหุ นามลากรองจ์ พหุนามผลต่างสืบเนื่องของนิวตัน ก็จะได้พหุนามดีกรี n ซึ่งอาจมีการกวัด แกว่งของเส้นโค้งแทนที่จะเป็นโค้งของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ภายใต้สมมุติฐานเหล่านี้ เราอาจสังเกตลักษณะของการเรียงตัวของข้อมูลแล้วจึงสร้างพหุ นามตัวประมาณที่มีดีกรีที่เหมาะสม ที่ประมาณได้ดีที่สุด (ในบางลักษณะ) โดยไม่จำเป็น จะต้องผ่านจุดข้อมูลทุกจุด ซึ่งจะต้องหาสัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้น

62 Least Square Method

63 Least Square Method

64 Least Square Method

65 Least Square Method

66 Least Square Method: Example

67 Least Square Method: Example

68 Least Square Method: Example

69 Least Square Method

70 Least Square Method: Example

71 Least Square Method: Example