บทที่ 2 กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ (ต่อ) บทที่ 2 กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ (ต่อ) Operations Research โดย อ. สุรินทร์ทิพ ศักดิ์ภูวดล

การหาค่าต่ำสุดด้วยวิธีกราฟ ต.ย. กิจการแห่งหนึ่งต้องการผลิตอาหารสำเร็จรูปออกจำหน่าย อาหารสำเร็จรูปที่ผลิตจะต้องประกอบด้วยวิตามิน A อย่างน้อย 900 หน่วย และวิตามิน B อย่างน้อย 1000 หน่วย การผลิตอาหารสำเร็จรูปจะต้องใช้เนื้อไก่และเนื้อหมู เนื้อไก่ 1 หน่วยให้วิตามิน A 3 หน่วย และ วิตามิน B 2 หน่วยเนื้อหมู 1 หน่วยจะให้วิตามิน A 2 หน่วย และวิตามิน B 4 หน่วย ต้นทุนเนื้อไก่ 1 หน่วยเท่ากับ 25 บาท ต้นทุนเนื้อหมู 1 หน่วยเท่ากับ 80 บาท ต้องการทราบส่วนผสมของเนื้อไก่และเนื้อหมูที่จะผลิตอาหารสำเร็จรูปให้ได้ต้นทุนต่ำสุด

ไก่(X1) หมู(X2) V. A 3 2 900 V. B 4 1000

X1 แทนจำนวนหน่วยของเนื้อไก่ ที่ใช้ในการผลิตอาหารสำเร็จรูป เขียนเป็นตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นเป็น Minimize Z = 25X1 + 80X2 ภายใต้ข้อจำกัด 3X1 + 2X2 >= 900 (วิตามิน A) 2X1 + 4X2 >= 1000 (วิตามิน B) X1>=0 และ X2 >=0

1. หาจุดตัดแกน X1, X2 จากสมการ 1.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1=300 >>> (300,0) 1.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0, แทนสมการได้ X2= 450 >>> (0,450) 2. หาจุดตัดแกน X1, X2 จากสมการ 2X1 + 4X2 = 1000 2.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1=500 >>> (500,0) 2.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0, แทนสมการได้ X2= 250 >>> (0,250)

บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 3X1+2X2 >=900, 800 700 600 500 400 300 200 100 2X1 + 4X2 = 1000 2.1 หาจุดตัดแกน X1 ได้ (500,0) 2.2 หาจุดตัดแกน X2 ได้ (0,250) (0,450) 3X1 + 2X2 = 900 (0,250) 2X1 + 4X2 = 1000 (300,0) (500,0) X1 100 200 300 400 500 600 700 800 บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 3X1+2X2 >=900, 2X1+4X2 >= 1000, X1>=0, X2 >= 0

การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ วิธีที่1 การเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z1= 30000 Z1 = 25X1 + 80X2 =30000 ได้จุดตัดแกน X1 คือ (1200,0) ได้จุดตัดแกน X2 คือ (0,375) ความชัน = (375-0)/(0-1200) = -(375/1200) = -0.3125 หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z2= 25000 Z2 = 25X1 + 80X2 =25000 ได้จุดตัดแกน X1 คือ (1000,0) ได้จุดตัดแกน X2 คือ (0,312.5) ความชัน = (312.5-0)/(0-1000) = -(312.5/1000) = -0.3125

แสดงฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z1 = 30000, Z2= 25000 Z1 = 25X1 + 80X2 =30000 ได้จุดตัดแกน X1 คือ (1200,0) ได้จุดตัดแกน X2 คือ (0,375) ความชัน = -0.3125 หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z2= 25000 Z2 = 25X1 + 80X2 =25000 ได้จุดตัดแกน X1 คือ (1000,0) ได้จุดตัดแกน X2 คือ (0,312.5) ความชัน = -0.3125 X2 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Z1 = 25X1 + 80X2 =30000 Z2 = 25X1 + 80X2 =25000 Z1 = 30000 2X1 + 4X2 = 1000 C (0,450) Z2 = 25000 จุดที่ให้คำตอบที่ดีที่สุด (0,250) B (300,0) (500,0) X1 A 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 แสดงฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z1 = 30000, Z2= 25000

หาจุดที่ให้คำตอบที่ดีที่สุดคือ (500,0) ค่าของ X1, X2 คำนวณได้จากการแก้สมการ 2 เส้นตัดกันทำให้เกิดจุด A คือ 2X1+4X2 = 1000 ----(1) X2 = 0 ----(2) แทนค่า X2 ใน (1) ได้ 2X1 = 1000 X1= 500 หาจุดที่ให้คำตอบที่ดีที่สุดคือ (500,0) แทนค่าในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Minimize Z = 25X1 + 80X2 = 25(500) + 80(0) = 12500

ดังนั้น การผลิตอาหารสำเร็จรูปจะต้องใช้เนื้อไก่เท่ากับ 500 หน่วย และไม่ใช้เนื้อหมูเลย โดยมีต้นทุนต่ำสุดเท่ากับ 12500 บาท

คำตอบที่ดีที่สุดเมื่อฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นค่าต่ำสุด X2 900 800 700 600 500 400 300 200 100 C (0,450) จุดที่ให้คำตอบที่ดีที่สุด Z = 12500 (0,250) (200,150) B (300,0) (500,0) X1 A 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 คำตอบที่ดีที่สุดเมื่อฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นค่าต่ำสุด

การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ วิธีที่ 2 การหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด

บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 3X1+2X2 >=900, 800 700 600 500 400 300 200 100 C (0,450) 3X1 + 2X2 = 900 (0,250) ( , ) 2X1 + 4X2 = 1000 B (300,0) (500,0) A X1 100 200 300 400 500 600 700 800 บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 3X1+2X2 >=900, 2X1+4X2 >= 1000, X1>=0, X2 >= 0

หาจุด B 3X1 + 2X2 = 900 ----(1) 2X1 + 4X2 = 1000 ----(2) A = (500,0), B = ?, C= (0,450) B เกิดจากการตัดกันของเส้น 2 เส้น หาจุด B 3X1 + 2X2 = 900 ----(1) 2X1 + 4X2 = 1000 ----(2) 2* สมการ(1) 6X1 + 4X2 = 1800 ----(3) (3)- (2) 4X1 = 800 , X1= 200 นำค่า X1=200 ไปแทนใน (2) 2(200) + 4X2 = 1000 4X2 = 600, X2=150 จุดตัด B คือ (200,150)

การหาคำตอบสามารถแสดงได้ดังตาราง จุดยอด ค่าของ (X1,X2) ต้นทุน Z = 25X1+80X2 A (500,0) 12500*** B (200,150) 17000 C (0,450) 36000 จากตาราง จุดที่ให้ต้นทุนต่ำสุดคือ (500,0) ต้นทุนเท่ากับ 12500 ดังนั้น การผลิตอาหารสำเร็จรูปจะต้องใช้เนื้อไก่เท่ากับ 500 หน่วย และไม่ใช้เนื้อหมูเลย โดยมีต้นทุนต่ำสุดเท่ากับ 12500 บาท

ปัญหาลักษณะพิเศษของกำหนดการเชิงเส้น 1. ปัญหาที่ไม่มีคำตอบ (infeasibility) 2. ปัญหาที่คำตอบไม่มีขอบเขต (unboundness) 3. ปัญหาที่มีฟังก์ชันข้อจำกัดมากเกินความจำเป็น (redundancy) 4. ปัญหาที่มีคำตอบที่ดีที่สุดหลายคำตอบ (multiple solutions)

เสริมความรู้ของบทเรียน ความชัน (Slope) ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (X1,Y1) และจุด (X2,Y2) คือ m = (Y2-Y1) (X2-X1)

แบบฝึกหัด การหาค่าสูงสุดด้วยวิธีกราฟ ต.ย. บริษัทนันทิกาเฟอร์นิเจอร์ ซึ่งผลิตโต๊ะและเก้าอี้ออกจำหน่าย โดยที่ทั้งโต๊ะและเก้าอี้ ต้องใช้ไม้ 2 ประเภทและแรงงานในการผลิตโต๊ะแต่ละตัวต้องใช้ไม้ประเภทที่หนึ่ง 5 ตารางเมตร ประเภทที่สอง 1 ตารางเมตรและใช้เวลาในการผลิต 4 ชั่วโมง ส่วนเก้าอี้แต่ละตัวต้องใช้ไม้ประเภทที่หนึ่ง 3 ตารางเมตร ไม้ประเภทที่สอง 2 ตารางเมตร และแรงงาน 1ชั่วโมง โดยที่เมื่อผลิตแล้วออกจำหน่ายจะได้กำไร 10 บาทต่อโต๊ะ 1 ตัว และ 5 บาทต่อเก้าอี้ 1 ตัว ถ้าแต่ละสัปดาห์มีวัตถุดิบคือไม้ประเภทที่หนึ่ง เพียง(ไม่เกิน) 150 ตารางเมตร ไม้ประเภทที่สองเพียง 50 ตารางเมตรและแรงงาน 60 ชั่วโมงเท่านั้น สมชายซึ่งเป็นเจ้าของอยากทราบว่าจะผลิตโต๊ะและเก้าอี้อย่างละกี่ตัวเพื่อให้ได้กำไรสูงสุด โดยใช้วัตถุดิบและแรงงานที่มีอยู่