บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

เนื้อหาในบทที่ 1 ความรู้พื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์ เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

ความรู้พื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์ ระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system) เส้นจำนวนสองเส้นที่ตั้งฉากกันบนระนาบเดียวกันที่จุด 0 เส้นจำนวนสองเส้นนี้จะเรียกว่า แกนโคออดิเนต โดยเส้นจำนวนที่อยู่ในแนวนอน จะเรียกว่า แกน X (X-axis) และเส้นจำนวนที่อยู่ในแนวดิ่งจะเรียกว่า แกน Y (Y-axis) โดยจุดที่แกน x และ แกน y ตัดกันจะเรียกว่า จุดกำเนิด (origin point) แกน Y จุดกำเนิด แกน X www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

แกนโคออดิเนตจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน ซึ่งเรียกว่า 4 จตุภาค (quadrant) จตุภาค 2 ( -,+) จตุภาค1 (+,+) แกนโคออดิเนตจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน ซึ่งเรียกว่า 4 จตุภาค (quadrant) จตุภาค 3 (- ,-) จตุภาค 4 (+,-) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

พิกัด x คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน y ในการระบุตำแหน่งในระบบพิกัดจะแทนด้วย พิกัด x และ พิกัด y สัญลักษณ์ (x,y) x . A(x, y) y พิกัด x คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน y พิกัด y คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน x www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

จงระบุตำแหน่งของจุดต่อไปนี้บนระนาบพิกัดฉาก A(1,3) B(2,-1) C(-2,2) และ D(-1,-2) . (1,3) (-2,2) . (2,-1) (-1,-2) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด กำหนดจุด A(x1,y1) และ B(x2,y2) เราสามารถหาระยะห่างของจุดสองจุดได้โดยอาศัยทฤษฏีบทปิทาโกรัส ลากเส้นผ่านจุด A ในขนานกับแกน x และลากเส้นผ่านจุด B ขนาดกับแกน y เส้นทั้งสองตัดกันที่จุด C ซึ่งมีพิกัด (x2,y1) โดย BC = y2-y1 และ AC = x2 - x1 พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยทบ.ปิทาโกรัส จะได้ว่า C(x2,y1) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 1 จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด P(-1,3) และ Q(3,5) วิธีทำ Q P หน่วย www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

จุดแบ่งส่วนของเส้นตรง กำหนดให้ A(x0,y0) เป็นจุดแบ่งของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด P(x1,y1) และ Q(x2,y2) โดยมีอัตราส่วน PA:AQ=m:n ลากเส้นตรงขนานกับแกน Y และผ่านจุด Q และ A ลากเส้นตรงขนานกับแกน X และผ่านจุด P และ A Q(x2,y2) เส้นขนานตัดกันที่จุด B , C และ D A(x0,y0) B(x2,y0) โดยมีพิกัด (x2,y0) , (x2,y1) และ (x0,y1) ตามลำดับ จาก ADP QBA จะได้ว่า P(x1,y1) D(x0,y1) C(x2,y1) พิจารณา www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

พิจารณา เพราะฉะนั้น www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 2 จงหากึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง P(-2,0) และ Q(3,4) A(x0,y0) ดังนั้น PA : AQ = 1:1 จะได้ว่า Q A(x0,y0) P www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 3 กำหนดส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด P(1,2) และ Q(6,7) โดยจุด A แบ่ง PQ ออกเป็นอัตราส่วน PA:AQ=2:3 จงหาพิกัดของจุด A วิธีทำ Q กำหนดให้ เป็นจุดแบ่งของ PQ A(x0,y0) A โดยมีอัตราส่วน PA : AQ = 2:3 จะได้ว่า P www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

การเลื่อนขนาน การเลื่อนขนานเป็นการเลื่อนพิกัดฉากกับแกนอ้างอิงระบบมุมฉากสองชุด คือระนาบ XY และ ระนาบX’Y’ ระนาบ XY จะมีจุดกำเนิด คือ จุด (0,0) ระนาบ X’Y’ จะมีจุดกำเนิด คือ จุด (h,k) Y’ X’ (h,k) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

การเลื่อนขนาน ถ้าให้แกนอ้างอิงระบบพิกัดฉาก XY เลื่อนขนานไปที่จุด (h,k) จุด P(x,y) ในแกนระบบพิกัด XY เมื่อเทียบกับแกนระบบพิกัด X’Y’ จะเป็นจุด P’(x’,y’) โดยที่ x’=x-h และ y’=y-k (h,k) X’ P(x,y) P’(x’,y’) ระบบพิกัด X’Y’ มีจุดกำเนิด O’(0,0) แต่จะเป็นจุด (h,k) ในระบบพิกัด XY แล้วจุด P จะมีพิกัด (x’,y’) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi 14

กำหนดจุด P (x,y) ในแกนพิกัด XY เมื่อเลื่อนขนานจุดไปยังระบบพิกัด X’Y’ แล้ว จุด P(x,y) ในแกนพิกัด XY จะเท่ากับ P’(x,y) ในแกนพิกัด X’Y ‘ หรือเท่ากับ P’’(x+h,y+k) ในแกนพิกัด XY X’ (h,k) P’(x’,y’) P(x,y) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 2 จงเลื่อนขนานจุดยอดของสามเหลี่ยมคือ A(-1,2) B(1,-4) และ C(2,3) จากระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (0,0) ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (3,2) วิธีทำ จากโจทย์ (h,k) = (3,2) พิกัด P(x,y) = P’(x-h,y-k) A B C จุด A(-1,2) บนระบบแกน XY จะเป็นจุด A’(-1-3,2-2)=(-4,0) บนระบบแกน X’Y’ จุด B(1,-4) บนระบบแกน XY (h,k) จะเป็นจุด B’(1-3,-4-2)=(-2,-2) บนระบบแกน X’Y’ จุด C(2,3) บนระบบแกน XY จะเป็นจุด C’(2-3,3-2)=(-1,1) บนระบบแกน X’Y’ www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 2 จงเลื่อนขนานจุดยอดของสามเหลี่ยมคือ A(-1,2) B(1,-4) และ C(2,3) จากระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (0,0) ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (3,2) จุด A(-1,2) ระบบแกน XY A B C จะเลื่อนไปเป็นจุด A’’(-1+3,2+2)=(2,4) จุด B(1,-4) ระบบแกน XY จะเลื่อนไปเป็นจุด B’’(1+3,-4+2)=(4,-2) (h,k) จุด C(2,3) ระบบแกน XY จะเลื่อนไปเป็นจุด C’’(2+3,3+2)=(5,5) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi

Example 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ (2,4) พิจารณาสมการ จะได้ว่า กราฟ เป็นการเลื่อนขนาน ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิด (2,4) www.teacher.ssru.ac.th/serisa_pi