หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น

งานนำเสนอเรื่อง: "หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น
ผศ.ปราโมทย์ พรหมอินทร์

2 หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น
ตอนที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก ตอนที่ อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม

3 แนวคิดอินทิกรัลสามชั้น
แบ่ง G ออกเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากย่อยๆ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็น โดยที่

4 เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

5 เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ให้ f(x,y,z) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของสามตัวแปร ซึ่งนิยามบนบริเวณทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก G ในปริภูมิสามมิติ xyz โดยที่ z s r c d y a b x

6 ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนบริเวณ G โดยที่ จะได้ว่า การคำนวณค่าอินทิกรัลสามชั้น หาอินทิกรัลจำกัดเขตเทียบกับตัวแปรย่อยที่ละตัวจากตัวแปรชั้นในสุดก่อน

7 ตัวอย่าง 11.1.1 จงหาค่าอินทิกรัลของ
โดยที่ วิธีทำ จากโจทย์วาดกราฟของ G ได้ดังภาพ จากทฤษฎีบท เราจะได้ว่า

8

9 การหา เมื่อ G เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

10 การหา เมื่อ G เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้ (ต่อ)

11 คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้
ค่าอินทิกรัลของ โดยที่ คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

12 คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้
ค่าอินทิกรัลของ โดยที่ คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

13 เรื่องที่ 11.1.2 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก
เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก

14 บทนิยาม ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง และให้ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ ดังภาพ จะได้ว่า

15 ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิว และพื้นผิว โดยที่ สำหรับทุกๆจุด ที่อยู่ในบริเวณ R โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ xz ดังภาพ จะได้ว่า

16 ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิว และพื้นผิว โดยที่ สำหรับทุกๆจุด ที่อยู่ในบริเวณ R โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ yz ดังภาพ จะได้ว่า

17 ตัวอย่าง11.1.6 จงหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ G เป็นทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวทรงกระบอก ระนาบ และระนาบ

18 โดยการพิจารณาขอบเขตบริเวณ G เราจะได้ว่า

19

20 บทนิยาม พิกัดทรงกระบอก คือ ระบบพิกัดที่ระบุตำแหน่งของจุด ในรูป โดยที่ เป็นการบอกพิกัดในระนาบ xy ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดฉาก

21 ทฤษฎีบท11.2.1 ให้ G เป็นทรงตัน ซึ่งปิดล้อมด้วยพื้นที่ผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง ในระบบพิกัดทรงกระบอก โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตัน G บนระนาบ xy ถ้า ต่อเนื่องบน G จะได้ว่า

22 ตัวอย่าง11.2.1 จงหาปริมาตรรูปทรงตัน G ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน พื้นผิวด้านล่างคือระนาบ xy และพื้นผิวด้านข้างปิดล้อมด้วยทรงกระบอก

23 พิจารณาในระบบพิกัดทรงกระบอก พื้นผิวด้านบนคือ และพื้นผิวด้านล่างคือ
พิจารณาในระบบพิกัดทรงกระบอก พื้นผิวด้านบนคือ และพื้นผิวด้านล่างคือ จะได้ว่า ปริมาตรของทรงตันนี้หาได้จาก

24 ลูกบาศก์หน่วย

25 เรื่องที่ 11.2.2 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม
เรื่องที่ อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม

26 บทนิยาม พิกัดทรงกลม คือ ระบบพิกัดที่ระบุตำแหน่งของจุด P ในรูป โดยที่ เป็นระยะจากจุดกำเนิดไปยังจุด P คือมุมที่วัดจากแกน x ไปยังภาพฉายของจุด P บนระนาบ xy คือมุมที่เวคเตอร์ ทำกับแกน z ดังภาพ

27 ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดทรงกลม
และระบบพิกัดฉาก

28 ถ้า ต่อเนื่องบน G ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม โดยที่ จะได้ว่า
ทฤษฎีบท11.2.1 ถ้า ต่อเนื่องบน G ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม โดยที่ จะได้ว่า

29 วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม
เมื่อ G เป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี ในอัฐภาคที่ 1

30 วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม
เมื่อ G เป็นทรงกลมที่มีรัศมี

31 วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม
เมื่อ G เป็นกรวยกลมที่ตัดจากทรงกลมรัศมี ด้วยกรวย

32 ตัวอย่าง11.2.6 จงหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ G เป็นทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง

33

34