หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของ ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก c2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2 c b a

สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า กำลังสองของความยาวของด้าน ด้านหนึ่ง เท่ากับ ผลบวกของกำลัง สองของความยาวของด้านอีกสอง ด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก

ลองทำดู

1) บันไดอันหนึ่งยาว 50 ฟุต พาดถึง หน้าต่างสูง 48 ฟุต ถ้ากลับบันไดไป พาดกับกำแพงอีกด้านหนึ่งซึ่งอยู่ตรง ข้ามกับหน้าต่าง ปลายบันไดจะจรด กำแพงสูงจากพื้นดินได้เพียง 14 ฟุต อยากทราบว่าผนังตึกอยู่ห่างกำแพง กี่ฟุต

วิธีทำ ให้ AB เป็นความยาวของบันได AC เป็นระยะห่างพื้นดินถึงหน้าต่าง AD เป็นระยะปลายบันไดที่จรด กำแพงถึงพื้นดิน A 50 48 A 50 14 C D B

จากDABC จะได้ BC2 = AB2 - AC2 = 502 - 482 = 2500 - 2304 = 196 BC = 14 = 502 - 482 = 2500 - 2304 = 196 BC = 14 จากDABD จะได้ BD2 = AB2 - AD2 = 502 - 142

ดังนั้น ผนังตึกอยู่ห่างกำแพง 62 ฟุต = 2,500 - 196 = 2,304 BD = 48 CD = CB + BD = 14 + 48 = 62 A B 48 C D 50 14 ดังนั้น ผนังตึกอยู่ห่างกำแพง 62 ฟุต

2) ชายคนหนึ่งออกเดินทางไปทาง ทิศใต้ได้ 27 ไมล์ ก็เลี้ยวไปทางทิศ ตะวันตกได้ 24 ไมล์ แล้วเลี้ยวไปทาง ทิศเหนืออีก 20 ไมล์ ชายคนนี้จะอยู่ ห่างจากที่เดิมกี่ไมล์

วิธีทำ ให้ชายคนนั้นเริ่มเดินทางจากA ไปทางทิศใต้ถึง B เป็นระยะ 27 ไมล์ เลี้ยวไปทิศตะวันตก ถึง C 24 ไมล์ D E 27 เลี้ยวไปทิศเหนือ ถึง D 20 ไมล์ 20 B C 24 ลาก DE ตั้งฉากกับAB ที่ E

จากDADE จะได้ AD2 = AE2 - DE2 = (27 - 20)2 + 242 = 72 + 242 = 49 + 576 = (27 - 20)2 + 242 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 AD = 25 ชายคนนี้อยู่ห่างจากที่เดิม 25 ไมล์ A B 27 C D 24 20 E

3) จากรูป ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มี AB = 16 ซม. BG = 21 ซม. และ FG = 12 จงหาความยาวของ AF A B 16 D C 21 H G 12 E F

วิธีทำ DABC เป็นรูปD มุมฉาก จะได้ AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 162 + 122 G F E D C 21 16 12 H 20

นั่นคือ AF ยาว 29 เซนติเมตร DAHF เป็นรูปD มุมฉาก จะได้ AF2 = AH2 + HF2 AF2 = 212 + 202 AF2 = 441 + 400 AF2 = 841 AF2 = 29 × 29 AF = 29 นั่นคือ AF ยาว 29 เซนติเมตร A B G F E D C 21 16 12 H 20

4) จากรูปให้หาพื้นที่ส่วนแรเงา A B 9 C E D 8 4

วิธีทำ DBAC เป็นรูปD มุมฉาก จะได้ BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 92 + (4+8)2 = 225 = 15 × 15 BC = 15 A B 9 C E D 8 4

ดังนั้น ด้าน DC ยาว = 7.5 DCDE เป็นรูปD มุมฉาก DE2 = CE2 - CD2 = 82 - 7.52 = 64 - 56.25 = 7.75 DE = 2.78 A B 9 C E D 8 4 7.5 2.78

2 = 1 12 9 พื้นที่รูปDBAC = 54 ตารางหน่วย 2 = 1 2.78 7.5 × 1 12 9 พื้นที่รูปDBAC A B 9 C E D 8 4 = 54 ตารางหน่วย 7.5 2.78 2 = × 1 2.78 7.5 พื้นที่รูปDCDE = 10.425

พื้นที่รูป AEDB (ส่วนที่แรเงา) = พท.รูปDBAC - พท.รูปDCDE = 54 - 10.425 = 43.575 A B 9 C E D 8 4 พื้นที่ส่วนที่แรเงา 43.575 ตารางหน่วย ตอบ 43.575 ตารางหน่วย

5) จากรูปด้าน BC ยาวเป็นครึ่งหนึ่ง ของด้าน DC ให้ DE = 6 เซนติเมตร และ EC = 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ ส่วนที่แรเงา A B C D E 8 6

วิธีทำ DDEC เป็นรูปD มุมฉาก DC2 = DE2 + EC2 DC2 = 62 + 82 = 100 = 10 × 10 DC = 10 A B C D E 8 6 10

BC ยาวเป็นครึ่งหนึ่ง DC ดังนั้น BC ยาว 5 ซม. ABCD เป็นรูป  ผืนผ้า มีด้าน DC ยาว 10 ซม. BC ยาวเป็นครึ่งหนึ่ง DC ดังนั้น BC ยาว 5 ซม. A B C D E 8 6 10 พื้นที่  ผืนผ้า = กว้าง × ยาว = 5 × 10 = 50 ตร.ซม.

= พท.รูปABCD - พท.รูปDDEC = 50 - 24 = 26 ตารางเซนติเมตร × 1 6 8 พื้นที่รูปDDEC A B C D E 8 6 = 24 ตร.ซม. พื้นที่ส่วนที่แรเงา = พท.รูปABCD - พท.รูปDDEC = 50 - 24 = 26 ตารางเซนติเมตร 10

6) จงแสดงว่าพื้นที่ของ จัตุรัสที่ สร้างขึ้นบนด้านทแยงมุมของจัตุรัส ที่กำหนดให้จะเท่ากับ 2 เท่าของพื้นที่ ของ จัตุรัสที่กำหนดให้นี้ A B C D E F

วิธีทำ ให้ABCDเป็น  จัตุรัส มี AC เป็นเส้นทแยงมุม และ ACEFเป็นจัตุรัสบนด้านAC พื้นที่  จัตุรัส = ด้าน ×ด้าน พื้นที่ของ ABCD = BC2 พื้นที่ของ ACEF = AC2 A B C D E F

ดังนั้น พื้นที่ ACEF เป็น 2 เท่า ของพื้นที่ ABCD DABC เป็นรูปD มุมฉาก จะได้ AC2 = AB2 + BC2 เนื่องจาก AB = BC AC2 = BC2 + BC2 AC2 = 2BC2 A B C D E F ดังนั้น พื้นที่ ACEF เป็น 2 เท่า ของพื้นที่ ABCD