หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้ง สามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของ รูปสามเหลี่ยมออกไป มุม ภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เท่ากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไม่ใช่มุม ประชิดของมุมภายนอกนั้น

B A C D D C B ˆ จะได้ = C A B ˆ C B A ˆ +

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมี มุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่และ ด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากัน คู่หนึ่ง แล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปใดมีขนาด ของมุมเท่ากันสองคู่ และมีด้านที่อยู่ ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนี้เท่ากันทุกประการนั้นมี ความสัมพันธ์แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.) A X C Y Z B จะได้ D ABC @ D XYZ แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

68 1.จากรูป กำหนดให้ AB//CD จงหาค่า x AB//CD เนื่องจาก E C B 64 68 x AB//CD เนื่องจาก 68 C A B ˆ E = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) = 68 C A B ˆ (สมบัติการเท่ากัน)

A E C B 64 68 x 68 = 180 C B A ˆ + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180 68 = 64 + x 180 68 = 64 - x 180 = x 48

เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y E C A ˆ AB//CD 2. จากรูป กำหนดให้ มี D E C ˆ และ เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y B A x 105 D y E C

+ + - 105 105 90 105 90 (ขนาดมุมภายนอก ของรูปDเท่ากับ ผลบวกของขนาด B C E D ˆ + = 105 A (ขนาดมุมภายนอก x 105 ของรูปDเท่ากับ D y ผลบวกของขนาด E C ของมุมภายในที่ ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) + = 105 90 y - = 105 90 y

- = = = = 105 90 15 y 90 15 90 90 15 75 y (ขนาดของมุมฉาก) y D C A ˆ D 90 y B y = 15 A x D C A ˆ = + y 90 105 D (ขนาดของมุมฉาก) 75 y 15 E C 15 D C A ˆ = + 90 D C A ˆ = 90 - 15 D C A ˆ = 75

75 เนื่องจาก AB//CD (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี x 105 D D C A ˆ x = 75 y E C (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) x = 75 (สมบัติการเท่ากัน)

เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y E C A ˆ AB//CD 2. จากรูป กำหนดให้ มี D E C ˆ และ เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y B A x 105 D y E C

C D B ˆ E + = 180 B (ขนาดของมุมตรง) A E D C ˆ + = 180 105 x 105 D 75 E D C ˆ - = 180 105 y E C E D C ˆ = 75 90 = 75 + y 180 (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180

= = = = 90 75 180 15 y 90 15 90 90 15 75 y (ขนาดของมุมฉาก) y D C A ˆ D = 75 - y 180 B y = 15 A x D C A ˆ = + y 90 105 D 75 (ขนาดของมุมฉาก) 75 y 15 E C 15 D C A ˆ = + 90 D C A ˆ = 90 - 15 D C A ˆ = 75

75 เนื่องจาก AB//CD (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี x 105 D D C A ˆ x = 75 y E C (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) x = 75 (สมบัติการเท่ากัน)

3. จากรูป จงหาค่า x และ y 1 ˆ + 120 = 180 (ขนาดของมุมตรง) 1 ˆ = 60 120 2 y 1 60 3 ˆ = 100 x 3 100 5 4 (ขนาดของมุมตรงข้าม) 80 100 6 4 ˆ + 100 = 180 130 (ขนาดของมุมตรง) 4 ˆ = 80

6 ˆ + 130 = 180 (ขนาดของมุมตรง) 6 ˆ = 50 2 120 y 1 60 5 ˆ 6 + = 180 4 x 3 100 (ผลรวมของมุมภายในD) 5 4 80 100 = 180 80 5 ˆ + 50 6 130 5 ˆ = 50 5 ˆ x + = 180 (ขนาดของมุมตรง)

50 180 130 360 130 60 100 360 70 180 x x 2 ˆ 3 1 x (ผลรวมของมุมภายใน) + 50 = 180 x = 130 120 2 y 2 ˆ 3 + = 360 1 x 1 60 130 x 100 3 (ผลรวมของมุมภายใน) 5 4 50 + 130 60 2 ˆ 100 = 360 100 6 130 2 ˆ = 70 2 ˆ y + = 180 (ขนาดของมุมตรง)

y + 70 = 180 y = 110 120 2 y 70 1 นั่นคือ x = 130 x 130 3 5 4 100 y = 110 6 130

DG//AC 4. จากรูป กำหนดให้ จงหาค่า x และ y A C B D G E F 48 x y 54

(ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภาย A C B D G E F 48 x y 54 DG//AC เนื่องจาก B C A ˆ E D = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภาย ในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด มีขนาดเท่ากัน)

54 54 x 54 (กำหนดให้) (สมบัติการเท่ากัน) ดังนั้น B C A ˆ E B D ˆ = = = G E F 48 x y 54 = 54 B C A ˆ (กำหนดให้) = 54 E B D ˆ (สมบัติการเท่ากัน) = x 54 ดังนั้น

54 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) A C B D G E F 48 x y 54 B C A ˆ G = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) = 54 B C A ˆ (กำหนดให้)

54 180 G B F ˆ C y 54 48 y 180 54 48 y 180 y 78 (สมบัติการเท่ากัน) + A C B D G E F 48 x y 54 = 54 C B G ˆ (สมบัติการเท่ากัน) = 180 G B F ˆ + C y 54 (ขนาดของมุมตรง) 54 = 48 + y 180 54 = 48 - y 180 = y 78

5.จากรูป กำหนดให้ จงหาค่า x AB//CD 5.จากรูป กำหนดให้ จงหาค่า x A O B 22 x F C 85 D สร้างเพื่อการพิสูจน์ OC ลาก ตัด AB ที่จุด O

= 85 85 เนื่องจาก AB//CD จะได้ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี O B 22 85 เนื่องจาก AB//CD x F จะได้ O C D ˆ A = C 85 D (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) O C D ˆ = 85 (กำหนดให้) ดังนั้น C O A ˆ = 85 (สมบัติการเท่ากัน)

C F A ˆ C F A ˆ O เนื่องจาก เป็น มุมภายนอก DAFO ดังนั้น + B เนื่องจาก C F A ˆ เป็น 22 85 มุมภายนอก DAFO x F C F A ˆ ดังนั้น = O + C 85 D (ขนาดมุมภายนอกของรูปDเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

O B A 22 85 x F 107 C 85 D x = 85 22 + x = 107