สื่อคอมพิวเตอร์ช่วยสอน วิชา ค 42101 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1 จัดทำโดย นางปรีชาวรรณ เฟื่องสวัสดิ์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเบญจมราชานุสรณ์

รายการ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ชื่อด้าน ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม ทั่วไป ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของ มุม 30o , 45o , 60o

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติ หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่กำหนดให้ได้ หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติจากการเปิดตาราง และ นำไปใช้ได้ หาความยาวด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ หาระยะทางและความสูงโดยใช้ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ menu

ชื่อด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ? ? ? menu back

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มี เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม B C B ด้านประชิดมุม B menu back

ถ้าเราเปลี่ยนสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นแบบใหม่ ดังรูป P Q R กำหนดให้ P เป็นจุดสังเกต นักเรียนคิดว่าชื่อด้านที่ถูกต้อง จะเป็นเช่นไร menu back

ดูชื่อด้านที่ถูกต้องกันค่ะ ถูกกันไหมคะ ดูชื่อด้านที่ถูกต้องกันค่ะ ถูกกันไหมคะ P ด้านประชิดมุม P Q ด้านตรงข้ามมุม P ด้านตรงข้ามมุมฉาก R menu back

ไปทำกิจกรรมที่ 4 ใบงานที่ 1 และแบบฝึกหัดที่ 1 ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 4 ใบงานที่ 1 และแบบฝึกหัดที่ 1 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ sine ? ? cosine ? tangent menu back

ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ บทนิยาม ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ประกอบด้วย ความยาวด้านตรงข้ามมุมสังเกต ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก sine ของมุมสังเกต = ความยาวด้านประชิดมุมสังเกต ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก cosine ของมุมสังเกต = ความยาวด้านตรงข้ามมุมสังเกต ความยาวด้านประชิดมุมสังเกต tangent ของมุมสังเกต = menu back

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ A เป็นจุดสังเกต ดังรูป ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม A A C ด้านประชิดมุม A จากบทนิยาม จะได้ว่า sine A หรือ sin A = BC AB cosine A หรือ cos A = AC AB tangent A หรือ tan A = BC AC menu back

ถ้าเราเปลี่ยนสามเหลี่ยมมุมฉากรูปใหม่ ดังนี้ ถ้าเราเปลี่ยนสามเหลี่ยมมุมฉากรูปใหม่ ดังนี้ P Q R กำหนดให้ P เป็นจุดสังเกต นักเรียนคิดว่าค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม P จะเป็นเช่นไร menu back

หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม P ต้องรู้ความยาวด้านก่อน ดังนี้ Q ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม P R ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม P ที่ถูกต้อง คือ QR PQ QR sin P = cos P = tan P = PR PR PQ menu back

ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติผกผัน บทนิยาม ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติผกผัน ประกอบด้วย ความยาวด้านประชิดมุมสังเกต ความยาวด้านตรงข้ามมุมสังเกต 1 cotangent ของมุมสังเกต = = tan A ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวด้านประชิดมุมสังเกต 1 secant ของมุมสังเกต = = cos A ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ความยาวด้านตรงข้ามมุมสังเกต 1 cosine ของมุมสังเกต = = sin A back menu

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ A เป็นจุดสังเกต ดังรูป ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม A A C ด้านประชิดมุม A จากบทนิยาม จะได้ว่า cotangent A หรือ cot A = AC BC secant A หรือ sec A = AB AC cosecant A หรือ csc A = AB BC back menu

ถ้าเราเปลี่ยนสามเหลี่ยมมุมฉากรูปใหม่ ดังนี้ P Q R กำหนดให้ P เป็นจุดสังเกต นักเรียนคิดว่าค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติผกผันของมุม P จะเป็นเช่นไร back menu

หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติผกผันของมุม P มีดังนี้ Q ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม P R ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม P ที่ถูกต้อง คือ cot P = PQ sec P = PR csc P = PR QR PQ QR back menu

ไปทำกิจกรรมที่ 5 , 6 ใบงานที่ 2 , 3 และ แบบฝึกหัดที่ 2 , 3 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

การแทนค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยจำนวนจริง เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปของจำนวนได้ โดยดำเนินตามขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 ใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีพิธากอรัสหาความยาวด้าน ที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขั้นที่ 2 หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติโดยใช้บทนิยาม ขั้นที่ 3 แทนค่าความยาวด้านที่ได้จากขั้นที่ 1 ลงใน อัตราส่วนที่ได้ในขั้นที่ 2 ขั้นที่ 4 หากอัตราส่วนที่ได้ในขั้นที่ 3 มีตัวส่วนติดกรณฑ์ ให้ทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ menu back

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และความยาวด้านดังรูป ดูตัวอย่าง กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และความยาวด้านดังรูป B 5 3 C A จงหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A menu back

จากทฤษฎีพิธากอรัส จะได้ว่า B 5 จากบทนิยาม จะได้ 3 BC 3 sin A = = AB 5 A C AC 4 cos A = = จากทฤษฎีพิธากอรัส จะได้ว่า AB 5 AB2 = BC2 + AC2 BC 3 tan A = = 4 AC2 = AB2 – BC2 AC AC 4 = 52 – 32 cot A = = BC 3 = 25 – 9 AB 5 AC = 16 sec A = = 4 AC = 4 AB 5 csc A = = BC 3 back menu

ไปทำกิจกรรมที่ 7 ใบงานที่ 4 และแบบฝึกหัดที่ 4 – 6 ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 7 ใบงานที่ 4 และแบบฝึกหัดที่ 4 – 6 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

กำหนดให้ 5 sin A = 3 จงหาค่า tan A การหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติอาจหาได้จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ กำหนดให้ 5 sin A = 3 จงหาค่า tan A 5 จากโจทย์กำหนดให้ 5 sin A = 3 3 3 จะได้ sin A = A 5 จากความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ค่าที่ได้จากโจทย์ให้คิดเป็นค่าอัตราส่วนอย่างต่ำ และหาความยาวด้านที่เหลือได้ 4 หากวาดภาพประกอบจะมีความเข้าใจเพิ่มขึ้น (ดังรูป) 3  tan A = 4 menu back

กำหนดให้ 20 tan A = 21 จงหาค่า sin A – cos A จะได้ 21 tan A = 20 29 21 A ค่าอัตราส่วนอย่างต่ำ ทำให้หาความยาวด้านที่เหลือได้ 21 (ดังรูป) 20 sin A – cos A 21 20 = 29 29 1  sin A – cos A = 29 menu back

ไปทำกิจกรรมที่ 8 ใบงานที่ 5 และแบบฝึกหัดที่ 7ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 8 ใบงานที่ 5 และแบบฝึกหัดที่ 7ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30o , 45o , 60o menu back

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีความยาวด้านดังรูป 2 2 B C 2 จะได้ว่า  A =  B =  C = 60o menu back

แบ่งครึ่งสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยลากเส้นจากจุด A ไปตั้งฉากกับด้าน BC ดังรูป A A 2 2 2 จะได้ D C 1 B C 2 A 2 B D 1 menu back

นำ  ADC มาหาความยาวของ AD และ ขนาดของมุม A ดังรูป A  D = 90o 2 จะได้  C = 60o D C  A = 30o 1 จาก ท.พิธากอรัสจะได้ AC2 = AD2 + DC2 AD2 = AC2 – DC2 = 22 – 12 = 4 – 1 AC =  3 menu back

นำ  ADC มาหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติดังนี้ A 1 sin A = sin 30o = 2 2  3  3 cos A = cos 30o = 2 D C 1 1  3 tan A = tan 30o = = 3  3 cot A = cot 30o =  3 2 2  3 sec A = sec 30o = =  3 3 csc A = csc 30o = 2 menu back

นำ  ADC มาหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติดังนี้ A sin C = sin 60o = 2  3 1 cos C = cos 60o = 2 D C 1 tan C = tan 60o =  3 1  3 = cot C = cot 60o =  3 3 sec C = sec 60o = 2 2 2  3 csc C = csc 60o = =  3 3 menu back

กำหนด  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีความยาวด้านดังรูป 1 45o B C 1 จะได้ว่า  A =  C = 45o menu back

นำ  ABC มาหาความยาวของ AC A  D = 90o 1 จะได้  C = 45o 45o B C  A = 45o 1 จาก ท.พิธากอรัสจะได้ AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 12 = 1 + 1 AC = 2 menu back

นำ  ABC มาหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติดังนี้ 1  2 sin A = sin C = sin 45o = =  2 2 A 1  2 cos A = cos C = cos 45o = =  2  2 2 1 tan A = tan C = tan 45o = 1 45o B C 1 cot A = cot C = cot 45o = 1 sec A = sec C = sec 45o =  2 csc A = csc C = csc 45o =  2 menu back

จากค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30o , 45o , 60o สรุปได้ดังตาราง sin cos tan cot sec csc มุม 1 1 =  2  3 2  2 2 2 1  3  2 1 = 2 2 2  2 1 =  3 1  3 3  3 1  3 = 1  3  3 3 2 = 2  3  2 2  3 3 2 2  3 = 2  2 menu  3 3 back

ไปทำกิจกรรมที่ 9 – 10 ใบงานที่ 6 ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 9 – 10 ใบงานที่ 6 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

จงหาค่าของ 2 sin 30o cos 30o tan 30o เราสามารถนำค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30o , 45o , 60o มาประยุกต์ ดังนี้ ตัวอย่าง จงหาค่าของ 2 sin 30o cos 30o tan 30o วิธีทำ จากโจทย์ 2 sin 30o cos 30o tan 30o 1 แทนค่า จะได้ = 2  3 1 × × × 2 2  3 1 = 2 menu back

ดูตัวอย่างใหม่ กันดีกว่านะ ดูตัวอย่างใหม่ กันดีกว่านะ ตัวอย่าง จงหาค่าของ 2 ( sin2 30o + cos2 30o ) + tan 45o วิธีทำ จากโจทย์ 2 ( sin2 30o + cos2 30o ) + tan 45o 2 2 แทนค่า จะได้ = 2 1  3 × + + 1 2 2 1 3 = 2 + + 1 4 4 = 3 menu back

ไปทำกิจกรรมที่ 11 ใบงานที่ 7 และ แบบฝึกหัดที่8 ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 11 ใบงานที่ 7 และ แบบฝึกหัดที่8 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back

หรือจะเป็นการแก้สมการดังนี้ ตัวอย่าง จงแก้สมการ x2 tan2 60o = cot2 60o วิธีทำ จากโจทย์ x2 tan2 60o = cot2 60o 2 2 1 แทนค่า จะได้ x2 =  3  3 1 3x2 = 3 9x2 – 1 = 0 3x + 1 3x – 1 = 1 1 x = –  , menu 3 3 back

หรือตัวอย่างใหม่ อย่างนี้ หรือตัวอย่างใหม่ อย่างนี้ ตัวอย่าง จงแก้สมการ x2 tan2 60o – cot 45o x = csc2 45o วิธีทำ จากโจทย์ x2 tan2 60o – cot 45o x = csc2 45o 2 2 แทนค่า จะได้ x2 1 . x  3 – =  2 3x2 – x = 2 3x2 – x – 2 = 3x + 2 x – 1 = 2 x = – 1  , 3 menu back

ไปทำกิจกรรมที่ 12 ใบงานที่ 8 และ แบบฝึกหัดที่ 9 ในเอกสารได้เลยค่ะ ไปทำกิจกรรมที่ 12 ใบงานที่ 8 และ แบบฝึกหัดที่ 9 ในเอกสารได้เลยค่ะ menu back