(Applications of Derivatives) การประยุกต์อนุพันธ์ (Applications of Derivatives)

 QA303 T48 2005  QA303 ท94   

1. ค่าสุดขีดของฟังก์ชัน (Extreme Values of Functions) 2 1. ค่าสุดขีดของฟังก์ชัน (Extreme Values of Functions) 2. ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมและสมการเชิงอนุพันธ์ (The Mean Value Theorem and Differential Equations) 3. ลักษณะของกราฟ (The Shape of a Graph) 4. การแก้ปัญหาโดยการเขียนกราฟของสมการเชิงอนุพันธ์อิสระ (Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations) 5. แบบจำลองและค่าที่เหมาะที่สุด (Modeling and Optimization) 6. การประมาณค่าฟังก์ชันโดยใช้วิธีการเชิงเส้น (Linearization) และ ผลต่างอนุพันธ์ (Differentials) 7. วิธีของนิวตัน (Newton’s Method)

1.ค่าสุดขีดของฟังก์ชัน (Extreme Values of Functions) หนึ่งในประโยชน์ของการศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ การหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันบนช่วงที่ต้องการ พิจารณา และระบุตำแหน่งของค่าเหล่านี้ได้ เมื่อเราสามารถ หาค่าเหล่านี้ได้ เราก็สามารถแก้ปัญหาได้

ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ หรือโดยรวม Absolute (Global) Extreme Values ค่าที่มากสุดและค่าที่น้อยสุดของฟังก์ชัน ทั้งที่อยู่ในช่วงเฉพาะที่ และครอบคลุมโดยรวม การระบุค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ที่เป็นแบบเฉพาะที่หรือเป็นค่าแบบครอบคลุมทั้งหมด

ค่าสุดขีด (สัมพัทธ์) เฉพาะที่ (Local (Relative) Extreme Values)

โจทย์ หากต้องการวางสายไฟฟ้าจากหม้อแปลงไฟฟ้าภายนอก บริเวณกำแพงบ้านเข้ามาภายในบ้านด้วยท่อร้อยสายไฟใต้ดิน โดยค่า ร้อยสายไฟฟ้าใต้ดินราคา 50,000 บาทต่อเมตร ค่าเดินสายไฟฟ้า บนดิน 30,000 บาทต่อเมตร ซึ่งสามารถเดินได้เฉพาะนอกบ้าน ดังนั้นควรจะเดินสายอย่างไรจึงประหยัดที่สุด 12 m 20 m

สร้างสมการความสัมพันธ์ของโจทย์นี้ 12 m X Y 20_Y 20 m X2 = 122+(20-y) 2

และสมการของราคาค่าเดินสายไฟ X2 = 122+(20-y) 2 X =  122+(20-y) 2 และสมการของราคาค่าเดินสายไฟ ราคา = C = 50,000 X + 30,000 Y C = 50,000  122+(20-y)2 + 30,000 Y จากนั้นหากต้องการเสียค่าใช้จ่ายที่ต่ำสุดเราควร derivative ราคาให้เท่ากับ 0 C’ = (50,000  122+(20-y)2 + 30,000 Y)’ = 0

C’ = (50,000  122+(20-y)2 + 30,000 Y)’ = 0 0 = [50,000 {122+(20-y)2 } 1/2+ 30,000 Y]’ 0 = 50,000 (1/2) (2) (20-y)(-1) . {122+(20-y)2 } -1/2+ 30,000 Y 0 = -50,000 (20-y) {122+(20-y)2 } -1/2 + 30,000 50,000 (20-y) {122+(20-y)2 } -1/2 = 30,000

50,000 (20-y) {122+(20-y)2 } -½ = 30,000 50,000 (20-y) = 30,000{122+(20-y)2 } ½ (50,000/30,000) (20-y) = {122+(20-y)2 } ½ (5/3) (20-y) = {122+(20-y)2 } ½ {(5/3) (20-y)}2 = [{122+(20-y)2 } ½]2 (25/9) (20-y)2 = 122+(20-y)2 (25/9) (20-y)2 - (20-y)2= 122 (25/9 – 1) (20-y)2= 122 (16/9) (20-y)2= 144 (20-y)2= 144 . (9/16) = 81  (20-y)2= 81 = 9 x =±9

เพราะฉะนั้น y = 11 จากความยาวสูงสุด 20 m และต้องเสียค่าใช้จ่าย ราคา = C = 50,000 X + 30,000 Y X =  122+(20-y) 2 C = 50,000  122+(20-11) 2 + 30,000 (11) C = 1,080,000 บาท

2.ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมและสมการเชิงอนุพันธ์ (The Mean Value Theorem and Differential Equations)

3. ลักษณะของกราฟ (The Shape of a Graph)

จงหาจุดมากที่สุดของกราฟ ทดสอบจุดวิกฤตที่จุด x =±2 f’’ (-2) = -12 < 0 ; f มีจุด local maximum ที่จุด x=-2 f’’ (2) = 12 > 0 ; f มีจุด local minimum ที่จุด x=2

4. การแก้ปัญหาโดยการเขียนกราฟของสมการเชิงอนุพันธ์อิสระ (Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations)

5. แบบจำลองและค่าที่เหมาะที่สุด (Modeling and Optimization) การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดในบางสิ่งหมายถึงการ หาค่าสูงสุด หรือต่ำสุดในคุณลักษณะบางอย่างของสิ่งนั้น ในเรื่องนี้เราจะหาคำตอบด้วยการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

โจทย์ ในการออกแบบกล่องขนาด 12 x 12 นิ้ว จะต้อง ออกแบบโดยตัดขอบเท่าไรจึงจะได้ปริมาตรในกล่องได้ สูงสุดเท่าไร 12 12

ในการหาปริมาตรจากการพับกล่อง = กว้าง x ยาว x สูง 12 12 12 -2x x x x ในการหาปริมาตรจากการพับกล่อง = กว้าง x ยาว x สูง V(X) = (12-2X) x (12-2X) x (X) V(X) = 144X-48X2+4X3

จากโจทย์ ค่า x จะมีค่า 0 < X < 6 เนื่องจากการพับที่ขอบไม่สามารถเกิน 6 นิ้ว เพราะกระดาษมีขนาด 12 นิ้ว ไม่สามารถเล็กเท่ากับ ศูนย์ และมีขนาดเกิน 6 นิ้ว จาก V(X) = 144X-48X2+4X3 ต้องการหาค่าสุงสุด V’(X) = 0 = (144X-48X2+4X3)’ V’(X) = 0 = 144-96X+12X2 V’(X) = 0 = 12(12-8X+X2) V’(X) = 0 = 12(2-X)(6-X) X = 2 , 6 ดังนั้นจากขอบเขตของกระดาษ ค่า 2 เท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้จริง

V(X) = 144X-48X2+4X3 เมื่อ X = 2 V(2) = 144 (2)-48 (2) 2+4 (2) 3 V(2) = 128 sq.in

โจทย์ หากต้องการออกแบบกระป๋องเครื่องดื่มขนาด 1ลิตร จะต้องออกแบบอย่างไรจึงจะใช้วัสดุประหยัดที่สุด 1 L

A(r) = r2+2rh+r2 V(r) = 1000 = r2 h 1 L r h การใช้วัสดุในการทำกระป๋องต้องคำนวนหาพื้นที่ผิวของกระป๋องในการผลิต = พื้นที่ฝา + พื้นที่ด้านข้าง + พื้นที่ก้น A(r) = r2+2rh+r2 V(r) = 1000 = r2 h h 1 L

A(r) = r2+2rh+r2 V(r) = 1000 = r2 h r h 1 L

ถ้าต้องการหาพื้นที่ผิวต่ำสุดโดยการDerivative h 1 L

r h 1 L

โจทย์ ในการก่อสร้างบ้าน สถาปนิกต้องเตรียมการในการสั่งของ ก่อสร้างโดยต้องใช้ไม้ 5 ลบ.ม.ต่อวันในการก่อสร้าง โดยมีค่า ขนส่งครั้งละ 5,000 บาทต่อครั้ง ค่าเก็บไม้ 10 บาทต่อ วันต่อหนึ่งชิ้น สถาปนิกรายนี้ควรจะสั่งไม้ครั้งละเท่าไรจึงจะ คุ้มค่าที่สุดและจำนวนเท่าไร คำแนะนำ:สร้างสมการการสั่งของ

สร้างสมการการสั่งของ ค่าสั่งไม้ = ค่าส่งของในแต่ละครั้ง + ค่าเก็บของในแต่ละวัน เมื่อให้ X เป็นจำนวนวัน ค่าส่งของในแต่ละครั้ง = 5000 บาท ค่าเก็บของในแต่ละวัน = จำนวนที่เก็บไว้ในสตอก x จำนวนวัน x ค่าเก็บ = (5x/2) . X . 10 ค่าสั่งไม้ = ค่าส่งของในแต่ละครั้ง + ค่าเก็บของในแต่ละวัน = 5000+ (5x/2) . X . 10 = 5000 +25X2

หาต้องการหาค่าต่ำสุด จากการ Derivative C’(x)=0 = (5000/X+25X)’ สร้างสมการการสั่งของ ค่าสั่งไม้ต่อวัน C(x) = ค่าส่งของในแต่ละครั้ง + ค่าเก็บของในแต่ละวัน X ค่าสั่งไม้ต่อวัน C(x) = (5000 +25X2)/X C(x) = 5000/X+25X หาต้องการหาค่าต่ำสุด จากการ Derivative C’(x)=0 = (5000/X+25X)’

= 710.11 บาท ค่าสั่งไม้ต่อวัน = 5000/X+25X = 5000/14.14+25x14.14 ดังนั้นจากการคำนวนจะได้ว่าสถาปนิกควรจะสั่งไม้ทุกๆประมาณ 14วัน เพื่อประหยัดค่าใช้จ่าย และต้องใช้เงินประมาณ 710.11 เพื่อสั่งไม้ ในแต่ละวัน

6. การประมาณค่าฟังก์ชันโดยใช้วิธีการเชิงเส้น (Linearization) และผลต่างอนุพันธ์ (Differentials)

7. วิธีของนิวตัน (Newton’s Method)