CHAPTER 1 Major Sources of Errors in Numerical Methods SCC- Suthida Chaichomchuen std@kmitnb.ac.th

What is Numerical methods? กลุ่มของวิธีการต่าง ๆ ที่เป็นขั้นเป็นตอน ซึ่งในแต่ละวิธีจะนำไปใช้แก้ปัญหาที่มีลักษณะจำเพาะในตัวเองที่แตกต่างกันออกไป เป็นระเบียบวิธีที่มีการดำเนินการทางเลขคณิตแบบง่าย ๆ เป็นหลัก (+,-,*,/) รวมทั้งการใช้เหตุผลตามหลักตรรกวิทยาร่วมด้วย

Why to study numerical methods? ไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่สามารถแก้ปัญหาได้ทุกชนิด ไม่มีวิธีใดที่จะไม่ก่อให้เกิดค่าผิดพลาด (error) ของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ ไม่มีวิธีใดที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาในทุกรูปแบบ

How to study? เนื้อหาขั้นตอนของระเบียบวิธีการเชิงตัวเลขแบบต่าง ๆ ความเข้าใจในการใช้ภาษาคอมพิวเตอร์

ทักษะด้านคอมพิวเตอร์ที่จำเป็นต้องมี การรู้จักคำสั่งบนเครื่องคอมพิวเตอร์ การเข้าใจกระบวนการแก้ไขไฟล์ของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ตนเองเขียนขึ้น การเข้าใจในการใช้และการเขียนภาษาคอมพิวเตอร์อย่างถูกต้อง ควรเขียนให้อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจน ไม่จำเป็นต้องซับซ้อน

ต้นเหตุของความผิดพลาด จากการจำลองแบบทางคณิตศาสตร์ (Mathematical modeling) จากการแพร่ขยาย (Propagation of errors) จากข้อมูล (Error from data) จากความเผลอเรอ (Blunder) จากการตัดปลาย (Truncation error) จากการปัดเศษ (Round-off error)

ความผิดพลาดจากการจำลองแบบทางคณิตศาสตร์ เป็นความผิดพลาดที่เกิดจากการจำลองรูปแบบของปัญหา ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ซึ่งจะมีผลต่อเวลาที่ใช้ในการคำนวณ รวมถึงจำนวนครั้งที่ต้องคำนวณ ซึ่งจะเป็นผลต่อค่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้น

ความผิดพลาดจากการแพร่ขยาย เป็นความผิดพลาดที่เกิดขึ้นขณะทำการคำนวณในขั้นตอนหนึ่ง ซึ่งจะมีผลไปสู่การคำนวณอีกขั้นตอนหนึ่ง

ความผิดพลาดจากข้อมูล เป็นความผิดพลาดที่เกิดจากการนำข้อมูล ซึ่งอาจเป็นตัวแทนของข้อมูลกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ซึ่งข้อมูลนั้น ๆ เมื่อนำไปใช้ในการคำนวณจะมีส่วนทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงไป

ความผิดพลาดจากความเผลอเรอ เป็นความผิดพลาดที่เกิดจากมนุษย์ เช่น การกรอกข้อมูลผิด การพิมพ์ตัวเลขผิด การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่มีส่วนผิด

ความผิดพลาดจากการตัดปลาย เป็นความผิดพลาดที่เกิดจากการตัดพจน์บางพจน์ของสมการที่ทำการคำนวณทิ้งไป เช่น การคำนวณฟังก์ชันต่าง ๆ ซึ่งเขียนอยู่ในรูปแบบอนุกรมอนันต์ ซึ่งในการคำนวณจริงมักจะใช้จำนวนพจน์ที่อยู่ในช่วงแรกของสมการเท่านั้น และตัดส่วนท้ายทิ้งไป ซึ่งส่วนที่ถูกตัดทิ้งจะก่อให้เกิดความผิดพลาดได้

ความผิดพลาดจากการปัดเศษ เนื่องจากคอมพิวเตอร์แบบต่าง ๆ กัน จะมีความสามารถในการเก็บจำนวนตัวเลขของค่า ๆ หนึ่งได้ไม่เท่ากัน

Taylor Series One-Dimensional Two-Dimensional

Summary of Taylor Series Most important tool for deriving numerical methods and analyzing errors If x=0 is called “Maclaurin Series”

Number Systems Decimal system Binary system Octal system Hexadecimal system

Base of Numbers : Radix 10 : Decimal system 2 : Binary system 8 : Octal system 16 : Hexadecimal system

Type of numbers in computer Integers Real numbers Complex numbers

Machine Epsilon The interval between any real number to the next real number Approximately equals Machine epsilon x R

Round-off Errors Round-off errors in storing a number in memory Effects of round-off errors Causes of round-off errors

Strategies for reduce round-off errors Double precision Grouping Changing definition of variables Rewriting the equation to avoid subtractions

To be continue in the next week