INC341 State space representation & First-order System Lecture 3

Review บทที่ 2 เราศึกษาการแปลง physical model ให้เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ โดยจะเขียนความสัมพันธ์ของ input/output ให้อยู่ในรูปของ transfer function ใน frequency domain ได้

Analysis and design of FCS Classical Control วิเคราะห์ระบบใน Frequency domain (Ch. 2) Modern Control วิเคราะห์ระบบใน Time domain (Ch. 3)

Chapter 3

Advantage and disadvantage of classical approach Pros: สามารถตรวจสอบ stability ของระบบ สามารถดูผลของ transient response Cons: ใช้ได้แต่เฉพาะ linear, time-invariant systems และระบบnon-linear ที่ทำการ linearization แล้วเท่านั้น ไม่สามารถวิเคราะห์ระบบที่เป็น nonlinear และระบบที่มี non-zero initial condition ได้

Modern approach เป็นขบวนการที่สามารถประยุกต์ใช้ได้กับการสร้าง, วิเคราะห์, และออกแบบระบบโดยทั่วไปได้ โดยไม่คำนึงว่าระบบจะเป็น linear, time-invariant หรือไม่ก็ตาม อีกทั้งยังสามารถกำหนด initial condition ให้กับระบบได้อีกด้วย

State space representation Classical Input Output System H(s) U(s) Y(s) Modern Input Output u(t) y(t)

State space representation (cont.) State equation Output equation called controllable canonical form

State space representation 2-Dimension

Easy 2-D example ต้องการเขียน differential equation ข้างล่างนี้ให้อยู่ในรูป state space form

Converting transfer function to state space Step 1: เริ่มต้นจากการแปลง transfer function ให้อยู่ในรูป differential equation ก่อน

Converting transfer function to state space (cont.) Step 2: กำหนด state vector ใน differential equation ซึ่งจำนวน state vector จะเท่ากับ order ของ differential equation (n)

Converting transfer function to state space (cont.) Step 3: จัดรูปใหม่ โดยเขียนให้อยู่ในรูปของ matrix A, B, C, และ D

Example 3.4 Insert Figure 3.10 here!!! Q: เริ่มทำยังไงก่อนดี???

Example 3.4 (cont.)

Example 3.4 (cont.)

Converting from state space to transfer function Take Laplace transform

Example 3.6 Q: what are A, B, C, D??? Q: หลังจากรู้ A, B, C, D แล้ว ต้องทำยังไงต่อ???

Example 3.6 (cont.)

General view for transformation differential equation classical approach modern approach transfer function state space

Matlab command Polynomial to transfer function: tf State space to transfer function: ss2tf Transfer function to state space: tf2ss Demo!!

Chapter 4

Overview หลังจากที่เราได้สมการทางคณิตศาสตร์ของระบบที่เราจะทำการศึกษาแล้ว ต่อมาเราจะวิเคราะห์ดูผลของระบบทั้งในช่วง transient และ steady state โดยเนื้อหาในบทนี้ จะครอบคลุมถึงการศึกษาผลของระบบในช่วง transient เท่านั้น เช่นว่า ถ้าเราใส่ step input ไปในระบบจะได้ผลตอบสนองอย่างไร

Order of transfer function Transfer function จะอยูในรูปเศษส่วน Polynomial เช่น Note: order ของระบบก็คือ order ของ transfer function หลังจากที่ clear factor เรียบร้อยแล้ว (เท่ากับจำนวน poles ของระบบ) Q: ระบบต่อไปนี้มี order เป็นเท่าไร???

Analysis and design tool เครื่องมือที่จะใช้พิจารณาการวิเคราะห์และออกแบบระบบก็คือ poles & zeros ของ transfer function ซึ่ง poles, zeros นี้สามารถบอกได้ถึง ความมีเสถียรภาพ (stability) ของระบบ ความไวในการเข้าสู่เสถียรภาพ

Poles and Zeros Poles คือค่า root ของตัวส่วน (denominator) ที่ทำให้ transfer function มีค่าเป็น infinity หรือกล่าวอีกในหนึ่งก็คือ ค่าของ s ที่ทำให้ตัวส่วน มีค่าเป็น 0 Zeros คือค่า root ของตัวเศษ (numerator) ที่ทำให้ transfer function มีค่าเป็น 0 หรือกล่าวอีกในหนึ่งก็คือ ค่าของ s ที่ทำให้ตัวเศษ มีค่าเป็น 0 เช่น Pole อยู่ที่ -5 Zero อยู่ที่ -2

Pole-Zero Plot jω s - plane -3+2j X O σ 2 -3-2j X Plot of poles, zeroes on the s-plane Useful for system analysis

Unit step u(t) แปลง Laplace ได้ 1/s Pole-zero plot

Poles จาก input จะให้ forced response Poles จาก transfer function จะให้ natural response Amplitude เป็นผลจากทั้ง Poles และ Zeros

Type of Systems First-order Systems Second-order Systems Higher-order Systems

First-order Systems

Time constant = 1/a = ระยะเวลาที่ response ขึ้นถึง 63% ของค่า final value Rise Time (Tr) = ระยะเวลาที่ใช้เพื่อให้ response ขึ้นจาก 0.1 ไป 0.9 ของค่า final value Settling Time (Ts) = ระยะเวลาที่ใช้เพื่อให้ response ขึ้นจาก 0 ไป 0.98 ของค่า final value

Matlab commands Poles of transfer function: pole Zeros of transfer function: zero Step input response: step

Type of Systems First-order Systems Second-order Systems Higher-order Systems เน้น

1st order review Time constant = 1/a Settling Time (Ts) = 4 เท่าของ time constant