ผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Scalar Product and Vector Product) สำหรับจำนวนจริงเรามีการดำเนินการบวกและการคูณ (ลบและหาร คือ การผกผันของการบวกและคูณตามลำดับ) สำหรับในการดำเนินการด้านเวกเตอร์ นอกจากจะมีการบวก ซึ่งมีลักษณะเหมือนกันกับการบวกตัวเลขปกติแล้ว ยังมีการ ดำเนินการคล้ายการคูณ แต่แตกต่างจากการคูณของตัวเลข

แนวคิด u u v v

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (หรือ ผลคูณจุด) Scalar Product (or Dot Product) ผลคูณเชิงสเกลาร์ หมายถึง ขนาดของเงาของเวกเตอร์หนึ่ง ที่ทาบบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง คูณกับขนาดของเวกเตอร์นั้น ที่ได้ชื่อว่าผลคูณเชิงสเกลาร์ เพราะว่าผลลัพท์ที่ได้จากการ คำนวณเป็นตัวเลข (สเกลาร์) และที่บางครั้งได้ชื่อว่าผลคูณจุด เพราะเรามักใช้สัญลักษณ์จุด (“ ”) ในการสื่อว่าเป็นการคูณ ประเภทนี้

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (หรือ ผลคูณจุด) Scalar Product (or Dot Product) v

จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v เมื่อ

พิจารณาสามเหลี่ยม กฎของ sine กฎของ cosine

v u+v v u u

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (หรือ ผลคูณจุด) Scalar Product (or Dot Product) และถ้า u=<u1,u2,u3> และ v=<v1,v2,v3> แล้ว

จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v เมื่อ

ทฤษฎีบทของผลคูณเชิงสเกลาร์ ถ้า u,v และ w เป็นเวกเตอร์ และ เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว

จริงหรือไม่?

จงหาค่าต่อไปนี้

จงหามุมระหว่าง u และ v เมื่อ

ให้ u=<1,-3,4> v=<1,5,2> จงหา โคไซน์ของมุมระหว่าง u,v ส่วนประกอบสเกลาร์ของ u ในทิศทางของ v

u v เวกเตอร์ภาพฉายของเวกเตอร์ u บนเวกเตอร์ v Projection of u on v projvu

u v เวกเตอร์ภาพฉายของเวกเตอร์ u บนเวกเตอร์ v Projection of u on v projvu

Projvu = Projuv = เวกเตอร์ภาพฉายของเวกเตอร์ u บนเวกเตอร์ v เมื่อ

u v เวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ภาพฉาย projvu

ถ้าระบบนี้เป็นระบบสมดุล จงหาแรงตึงของเส้นเชือกทั้งสองเส้น 50kg

แนวคิด

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (หรือ ผลคูณไขว้) Vector Product (or Cross Product) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ หมายถึง เวกเตอร์อีกเวกเตอร์หนึ่งซึ่ง ตั้งฉากกับเวกเตอร์ u และv ตามทิศทางของกฎมือขวา ที่ได้ชื่อว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ เพราะว่าผลลัพท์ที่ได้จากการ คำนวณเป็นเวกเตอร์ และที่บางครั้งได้ชื่อว่าผลคูณไขว้ เพราะเรามักใช้สัญลักษณ์กากบาท หรือ ไขว้ (“ ”) ในการ สื่อว่าเป็นการคูณประเภทนี้

การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ u และ v ถ้า u=<u1, u2, u3> และ v=<v1, v2, v3> 1 3 2

ความสัมพันธ์ระหว่าง และ

จงหา

ถ้า u=<1,2,-2> และ v=<3,0,1> จงหา

การหาเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางเดียวกับทิศทาง จากจุด P1 ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2

ทฤษฎีบทของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ถ้า u,v และ w เป็นเวกเตอร์ และ เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว

ถ้า u=<3,5,-4> และ v=<-2,0,1> จงหา

จริงหรือไม่?

เมื่อใด

จงหาเวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุด (2,2,0) (-1,0,2) (0,4,3)

หมายเหตุ เวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับระนาบมีหลายเวกเตอร์

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (2,2,0) (-1,0,2) (0,4,3)

จงหาค่าต่อไปนี้

u w v

ทฤษฎีบท ถ้า u,v,w เป็นเวกเตอร์ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ 0 ใน ระบบ 3 มิติ แล้ว ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelepiped) ซึ่งมีเวกเตอร์ u,v และ w เป็นส่วนประกอบของด้าน จะมี ปริมาตร ลูกบาศก์หน่วย และ ก็ต่อเมื่อ u,v และ w อยู่ในระนาบเดียวกัน

จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีเวกเตอร์ u=<1,2,-1>, v=<-2,0,3>, w=<0,7,-4> เป็นส่วนประกอบ

ถ้า จงหา

1) u=<1,-2,1>, v=<3,0,-2>, w=<5,-4,0> จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้อยู่ในระนาบเดียวกันหรือไม่ 1) u=<1,-2,1>, v=<3,0,-2>, w=<5,-4,0> 2) u=5i-2j+k, v=4i-j+k, w=i-j 3) u=<4,-8,1>, v=<2,1,-2>, w=<3,-4,12>