การประมาณค่าอินทิกรัล Numerical Integration

การประมาณค่าอินทิกรัล ในการคำนวณค่าอินทิกรัล จากความรู้เรื่องแคลคูลัส ถ้าให้ แทนปฏิยานุพันธ์ของ f(x) จะได้ว่า

การประมาณค่าอินทิกรัล แต่มีบางครั้งที่เราไม่สามารถหาค่าอินทิกรัลได้ แม้จะใช้ เทคนิคต่างๆในการอินทิเกรต เช่น ดังนั้นเมื่อไม่สามารถหาคำตอบได้โดยตรงเราจึงใช้การ ประมาณค่าคำตอบโดยใช้ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขเข้ามาช่วย

2. Simpson’s 1/3-Rule : Quadratic 3. Simpson’s 3/8-Rule : Cubic การประมาณค่าอินทิกรัล 1. Trapezoid Rule 2. Simpson’s 1/3-Rule : Quadratic 3. Simpson’s 3/8-Rule : Cubic

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู : Trapezoid Rule x0=a x1 x2 x3 xn==b Area of Trapezoid: ดังนั้นหากต้องการค่าอินทิกรัลทั้งหมดให้นำพื้นที่สี่เหลี่ยมทุกอันมารวมกัน

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู : การประมาณค่าพื้นที่

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู : การประมาณค่าพื้นที่ h=b-a a b a b x1

ตัวอย่าง จงประมาณค่าอินทิกรัลต่อไปนี้โดยใช้วิธีกฏสี่เหลี่ยมคางหมู โดยใช้ n = 4 และ n = 8 (ให้ตอบเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

วิธีทำ กำหนดให้ n=4 : จะได้ว่าจำนวนช่วงหาได้จาก ดังนั้นจะได้ช่วงคือ X=0 X=8 X=2 X=4 X=6

วิธีทำ กำหนดให้ n=8 : จะได้ว่าจำนวนช่วงหาได้จาก ดังนั้นจะได้ช่วงคือ X=0 X=8 X=2 X=4 X=6 X=1 X=3 X=5 X=7

พิจารณาค่าจริง ค่าจริง ให้ u = x+1 du = dx จะเห็นได้ว่า หากเราแบ่งส่วนให้มากขึ้นค่าของผลลัพธ์ที่ได้จะยิ่งใกล้ค่าจริงมากขึ้น

ตัวอย่าง จงประมาณค่าอินทิกรัลต่อไปนี้โดยใช้วิธีกฏสี่เหลี่ยมคางหมู โดยใช้ n = 4 และ n = 8 (ให้ตอบเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

ตัวอย่าง จงประมาณค่าอินทิกรัลต่อไปนี้โดยใช้วิธีกฏสี่เหลี่ยมคางหมู โดยใช้ n = 4 และ n = 8 (ให้ตอบเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง) เมื่อกำหนดข้อมูลให้ดังตารางต่อไปนี้

x f(x) 0.0000 1.0000 0.1250 1.1331 0.2500 1.2840 0.3750 1.4550 0.5000 1.6487 0.6250 1.8682 0.7500 2.1170 0.8750 2.3989 2.7183

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule สูตรที่ใช้ในการ คำนวณคือ

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule กำหนดให้ โดยที่ f2(x) คือสมการพหุนามดีกรีสองที่กำหนดโดย

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule เลือกจุด 3 จุดมาใช้ในการคำนวณหาค่าสัมประสิทธิ์ a0 ,a1 และ a2 จาก และ

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule แก้สมการ 3 ตัวแปร เพื่อหา a0 ,a1 และ a2 จะได้ และ

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule จาก

กฎของซิมพ์สัน 1/3 : Simpson’s 1/3-Rule แทนค่า a0 ,a1 และ a2 จะได้ ดังนั้น

ตัวอย่าง จงใช้วิธีซิมป์สัน 1/3 ประมาณค่าคำตอบของ โดยใช้ n = 4 และ n = 6 (คิดทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

วิธีทำ กำหนดให้ n=4 : จะได้ว่าจำนวนช่วงหาได้จาก ดังนั้นจะได้ช่วงคือ X=0 X=2 X=0.5 X=1 X=1.5

วิธีทำ กำหนดให้ n=6 : จะได้ว่าจำนวนช่วงหาได้จาก ดังนั้นจะได้ช่วงคือ X=0 X=2 X=1/6 X=1/3 X=1/2 X=2/3 X=5/6

ตัวอย่าง จงใช้วิธีซิมป์สัน 1/3 ประมาณค่าคำตอบของ โดยใช้ n = 4 และ n = 6 (คิดทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

กฎของซิมพ์สัน 3/8 : Simpson’s 3/8-Rule การหาสูตรของซิมป์สัน 3/8 จะใช้หลักการเดียวกันกับซิมป์สัน 1/3 แต่จะใช้จุดเริ่มต้นในการคำนวณ 4 จุดและแก้สมการ 4 ตัวแปร กำหนดให้ โดยที่ f3(x) คือสมการพหุนามดีกรีสองที่กำหนดโดย

กฎของซิมพ์สัน 3/8 : Simpson’s 3/8-Rule เมื่อแก้สมการจะได้สูตรในการคำนวณซิมป์สัน 3/8 ดังนี้

ตัวอย่าง จงใช้วิธีซิมป์สัน 3/8 ประมาณค่าคำตอบของ โดยใช้ n = 6 (คิดทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

วิธีทำ กำหนดให้ n=6 : จะได้ว่าจำนวนช่วงหาได้จาก ดังนั้นจะได้ช่วงคือ X=0 X=3 X=0.5 X=1 X=1.5 X=2 X=2.5

ตัวอย่าง จงใช้วิธีซิมป์สัน 1/3 และ 3/8 ประมาณค่าคำตอบของ โดยใช้ n = 6 (คิดทศนิยม 4 ตำแหน่ง)