นางสาวนภัสญาณ์ ไก่งาม สื่อการเรียนการสอน เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดย นางสาวนภัสญาณ์ ไก่งาม โรงเรียนฟากกว๊านวิทยาคม

ประวัติของพีทาโกรัส

พีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เกาะซามอส (Samos) แห่งทะเลเอเจียน (Aegean) ใกล้กับเอเชียไมเนอร์ ท่านเป็นผู้มีประสบการณ์และได้รับความรู้จากการเดินทางไปอียิปต์และบาบิโลเนีย

ในขณะที่ศึกษาในประเทศอียิปต์ พีทาโกรัสพบว่าชาวอียิปต์ใช้เชือกที่มี 13 ปม ล้อมรอบไม้ 3 อัน ซึ่งปักอยู่บนพื้นที่นาเพื่อเป็นเส้นกั้นระหว่างที่นา รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้เชือกล้อมรอบไม้ 3 อัน นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

พีทาโกรัสได้ชื่อว่าเป็น"บิดาแห่งตัวเลข" พีทาโกรัสไม่เพียงแต่มีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์ เขายังได้สร้างสรรค์ความคิดหลายอย่างให้กับปรัชญา และศาสนา ในปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C

การพิสูจน์ทฤษฏีพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า "ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก" 

ของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ ของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c2 = a2 + b2

จากความสัมพันธ์ของด้านของรูปสามเหลี่ยม มุมฉากเราสามารถใช้หาด้านที่เหลือของด้านของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้จากความสัมพันธ์ดังกล่าว ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านที่เหลือ วิธีทำ จากความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 102 = a2 + 82 a2 = 102 - 82 a2 = 100 - 64 a2 = 36 a = 6 8 10

ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านที่เหลือ วิธีทำ จากความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า x2 = 42 + 32 x2 = 16 + 9 x2 = 25 x = 5

ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านที่เหลือ วิธีทำ จากความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 132 = 122 + b2 a2 = 132 - 122 a2 = 169 - 144 a2 = 25 a = 5

การเขียนความสัมพันธ์ของด้าน ของรูปสามเหลี่ยมตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เช่น จากความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 132 = 122 + 52 จากความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 252 = 242 + 72

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวคือ “ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีด้านยาว a,b,c หน่วย และ c2 = a2 + b2 จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้านที่ยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก” (ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด)

เทคนิค จากบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสามารถนำมาพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมที่กำหนดด้านให้ทั้งสามด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ โดยนำด้านที่ยาวที่สุดยกกำลังสองถ้าเท่ากับผลบวกของกำลังสองของสองด้านที่เหลือแสดงว่า สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ถ้าไม่เท่ากันแสดงว่าไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง สามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ ด้านที่ยาวที่สุดคือ 7.5 7.52 = 7.5 × 7.5 = 56.25 7.22 + 2.12 = 51.84 + 4.41 = 56.25 จะได้ว่า 7.52 = 7.22 + 2.12 นั่นคือ สามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง A 24 B 18 D 32 C ให้นักเรียนแสดงว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้ากำหนดด้านต่าง ๆ ดังรูป วิธีทำ ต้องหาความยาวของด้านทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม หาด้าน AB จาก AB2 = 242 + 182 AB2 = 576 + 324 AB2 = 900 AB = 30

วิธีทำ หาด้าน AC จาก AC2 = 242 + 322. AC2 = 576 + 1,024. AC2. = 1,600 วิธีทำ หาด้าน AC จาก AC2 = 242 + 322 AC2 = 576 + 1,024 AC2 = 1,600 AC = 40 นำความยาวของด้านที่ยาวที่สุดยกกำลังสอง BC2 = 502 BC2 = 2500 และ AB2 + AC2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500 แสดงว่า BC2 = AB2 + AC2 นั่นคือ สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส การนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ต้องวาดรูปออกมาก่อน เทคนิค บันไดยาว 17 ฟุต ยันฝาให้เชิงบันไดห่างจากฝา 8 ฟุต จงหาว่าจากพื้นดินถึงฝาได้กี่ฟุต วิธีทำ AC เป็นความยาวของบันได BC เป็นระยะห่างจากเชิงบันไดถึงฝา จะหาความยาวของ AB

นั่นคือ AC2 = AB2 + BC2 172 = AB2 + 82 AB2 = 172 - 82 AB2 = 289 – 64 AB2 = 225 AB = 15 ดังนั้น จากพื้นดินถึงบันไดมีความสูง 15 ฟุต

ตัวอย่าง ต้องการตั้งเสาโทรทัศน์สูง 12 เมตร โดยใช้ลวด 4 เส้นรั้งหัวเสา แล้วตรึงกับหลัก 4 หลัก ซึ่งปักห่างจากโคนเสา 5 เมตร ดังรูปต้องใช้ลวดยาวอย่างน้อยกี่เมตรในการตั้งเสานี้ วิธีทำ จากรูปให้ด้านที่เหลือยาว x เมตร จะได้ว่า x2 = 122 + 52 x2 = 144 + 25 x2 = 169 x = 13 จะได้ว่า ลวด 1 เส้น