แนวเดินและกราฟออยเลอร์ Walk and Eulerian Graph

บทนิยาม ให้ U และ V เป็นจุดยอดของกราฟ บทนิยาม ให้ U และ V เป็นจุดยอดของกราฟ แนวเดิน U-V (U-V walk) คือลำดับจำกัดของจุดยอดและเส้นเชื่อมสลับกัน U = U0 , e1 , U1 , e2 , U2 , e3 , U3 , … ,en , Un = V โดยเริ่มต้นที่จุดยอด U และไปสิ้นสุดที่จุดยอด V และแต่ละเส้นเชื่อม e1 จะเกิดกับจุดยอด Ui-1 และ Ui เมื่อ i  { 1 , 2 , 3 , … , n } ***เดินระหว่างจุดที่ไม่มีเส้นเชื่อมไม่ได้

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณากราฟที่กำหนดให้ 1 ตัวอย่างที่ 1 พิจารณากราฟที่กำหนดให้ 1. จงเขียนแนวเดินจาก A ไป B (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขียนแนวเดินจาก E ไป D (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… A B C D E F e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A , e2 , B หรือ A , e5 , F , e8 , C , e3 , B E , D หรือ E , A , F , C , F , E , D

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณากราฟที่กำหนดให้ 1 ตัวอย่างที่ 2 พิจารณากราฟที่กำหนดให้ 1. จงเขียนแนวเดินจาก A ไป F (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขียนแนวเดินจาก A ไป E (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… A B C D E F A , B , D , F หรือ A , C , B , D , E , F A , B , D , E หรือ A , C , B , D , F , D , E

B , C , D หรือ B , e2 , A , D C , C , D , A หรือ C , B , e1 , A ตัวอย่างที่ 3 พิจารณากราฟที่กำหนดให้ 1. จงเขียนแนวเดินจาก B ไป D (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… 2. จงเขียนแนวเดินจาก C ไป A (2แนวเดิน) ………………………………………………………………………………………………… B A C D e1 e2 B , C , D หรือ B , e2 , A , D C , C , D , A หรือ C , B , e1 , A

บทนิยาม ให้ U และ V เป็นจุดใด ๆ ในกราฟ G เรากล่าวว่าแนวเดิน U-V เป็นแนวเดินปิด (Closed walk) เมื่อ U=V A B C D E F ตัวอย่างแนวเดินปิด แนวเดิน B, C, D, B E, F , D, C, B, D, E เป็นต้น

แนวเดิน U-V เป็นแนวเดินเปิด (Opened walk) เมื่อ UV B C D E F ตัวอย่างแนวเดินเปิด แนวเดิน B, C, D, C, D E, F , D, C, B, D เป็นต้น

บทนิยาม แนวเดิน U-V ที่มีเส้นขอบไม่ซ้ำกัน เราเรียกแนวเดิน U-V นั้นว่า รอยเดิน (Trail) 2. แนวเดิน U-V ที่มีจุดยอดไม่ซ้ำกัน เราเรียกแนวเดิน U-V นั้นว่า วิถี (Path) 3. แนวเดินที่ประกอบด้วยทุกจุดในกราฟ G เราเรียกแนวเดินนั้นว่า แนวเดินแบบทอดข้ามของกราฟ G (Spanning walk)

บทนิยามเพิ่มเติม ให้ U และ V เป็นจุดใด ๆ ในกราฟ G เรากล่าวว่ารอยเดิน U-V เป็นรอยเดินปิด (Closed trail) เมื่อ U  V และ รอยเดิน U-V เป็นรอยเดินเปิด (Opened trail) เมื่อ UV

บทนิยาม (ต่อ) 4. วงจร (Circuit) คือ แนวเดินที่เส้นเชื่อมทั้งหมดแตกต่างกันโดยมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน 5. วัฏจักร (Cycle)คือแนวเดิน U0 ,U1 ,U2 , U3 , … , Un ซึ่ง n  3 , U0 = Un และ U1 ,U2 , U3 , … , Un เป็นจุดยอดที่แตกต่างกัน n จุด เรียกวัฏจักรที่มีความยาว n ว่า วัฏจักร n ( n-cycle )

จากรูป จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ ว่ามี แนวเดิน รอยเดิน วงจร วัฏจักร หรือ วิถี หรือไม่ 1. C , D , E , C เป็น แนวเดิน รอยเดิน วงจร วัฏจักร A B C D E 2. C , D , E , C , A เป็น แนวเดิน รอยเดิน 3. C , D , E , C , A , B , C เป็น แนวเดิน รอยเดิน วงจร 4. B , A , C , E , D เป็น แนวเดิน รอยเดิน วิถี

จุดเริ่มต้นจุดสิ้นสุด รายการ เส้นเชื่อม จุดเริ่มต้นจุดสิ้นสุด จุดภายใน ซ้ำ ไม่ซ้ำ แนวเดิน 1. แนวเดินปิด 2. แนวเดินเปิด รอยเดิน 3. รอยเดินปิด 4. รอยเดินเปิด วิถี วงจร วัฏจักร                     

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟที่กำหนดให้ และเติมเครื่องหมายลงในตารางให้ถูกต้อง A B C D E F รายการ แนวเดิน รอยเดิน วิถี วงจร วัฏจักร 1. A , B , C , D , E , B 2. B , C , D , E , F 3. D , C , A , B , D 4. D , E , F , D , C , B , D                    